南京航空航天大學(xué)計(jì)算方法期末考試.ppt
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第二章非線性方程的數(shù)值解法,常用方法1二分法2一般迭代法3牛頓迭代法4弦截法,根的隔離;誤差估計(jì);迭代收斂階,2一般迭代法,(1)迭代法,(1)把(1)等價(jià)變換為如下形式,(2)建立迭代格式,(3)適當(dāng)選取初始值x0,遞推計(jì)算出所需的解。,定理2.2(非局部收斂定理)如果在上連續(xù)可微且以下條件滿(mǎn)足:,命題2.2若在區(qū)間內(nèi),則對(duì)任何,迭代格式不收斂。,推論設(shè)x*=g(x*),若g(x)在x*附近連續(xù)可微且,則迭代格式xk+1=g(xk)在x*附近局部收斂。,(2)迭代法的收斂性,簡(jiǎn)單地代之以,(3)迭代法的誤差估計(jì),3牛頓迭代法,其迭代函數(shù)為,4弦截法,第三章線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法,解線性方程組的消去法解線性方程組的矩陣分解法3解線性方程組的迭代法,給定一個(gè)線性方程組,求解向量x。,(1)高斯消去法,1.解線性方程組的消去法,1)消元過(guò)程:對(duì)k=1,2,n依次計(jì)算,2)回代過(guò)程:,這一無(wú)回代的消去法稱(chēng)為高斯-若當(dāng)(Jordan)消去法,(2)高斯-若當(dāng)(Jordan)消去法,高斯-若當(dāng)(Jordan)消去法一般公式:,推論若系數(shù)矩陣嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu),即有,(3)選主元素的消去法,主元素的選取通常采用兩種方法:一種是全主元消去法;另一種是列主元消去法。,2解線性方程組的矩陣分解法,一、非對(duì)稱(chēng)矩陣的三角分解法,解兩個(gè)三角形方程組。,矩陣的Crout分解的計(jì)算公式,(3-12),注:,3.3.3對(duì)稱(chēng)正定矩陣的三角分解,定義3.1若n階方矩陣A具有性質(zhì)且對(duì)任何n維向量成立,則稱(chēng)A為對(duì)稱(chēng)正定矩陣。,定理3.4若A為對(duì)稱(chēng)正定矩陣,則(1)A的k階順序主子式(2)有且僅有一個(gè)單位下三角矩陣L和對(duì)角矩陣D使得(3-16)這稱(chēng)為矩陣的喬里斯基(Cholesky)分解。(3)有且僅有一個(gè)下三角矩陣,使(3-17)這稱(chēng)為分解矩陣的平方根法。,3解線性方程組的迭代法,迭代法思想:(1)Ax=b(3-1),(2)建立迭代格式,這稱(chēng)為一階定常迭代格式,M稱(chēng)為迭代矩陣。,約化便得,從而可建立迭代格式,對(duì)(3-23),以分量表示即,(1)、Jacob迭代法,則雅可比迭代格式(3-24)可用矩陣表示為,用矩陣表示為,對(duì)雅可比迭代格式修改得,(2)Gauss-Seidel迭代法,例3.10分別用雅可比迭代法和高斯-塞德?tīng)柕ㄇ蠼饩€性方程組,解,相應(yīng)的迭代公式為,雅可比迭代,高斯-塞德?tīng)柕?令取四位小數(shù)迭代計(jì)算,由雅可比迭代得,由高斯-塞德?tīng)柕?定理3.5若一階定常迭代格式(3-26)的迭代矩陣滿(mǎn)足條件,則該迭代格式對(duì)任何初始向量均收斂。,迭代法的收斂性,定理3.8一階定常迭代格式對(duì)任何初始向量均收斂的充分必要條件為其迭代矩陣的譜半徑小于1,即,這里為M的特征值,第四章函數(shù)的插值與擬合法,1插值多項(xiàng)式的構(gòu)造2最小二乘法,定義4.1設(shè)y=f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù),在a,b內(nèi)n+1個(gè)互不相同的點(diǎn)上取值.求一代數(shù)多項(xiàng)式P(x),使得,則稱(chēng)P(x)為f(x)的插值函數(shù),1插值多項(xiàng)式,定理4.1在n+1個(gè)互異點(diǎn)上滿(mǎn)足插值條件(4-1)的次數(shù)不超過(guò)n次的插值多項(xiàng)式存在且惟一。,兩種插值多項(xiàng)式形式,(1)拉格朗日插值多項(xiàng)式,下列列表函數(shù)的多項(xiàng)式Ln(x),線性插值(n=1),,拋物插值(n=2),(2)牛頓均差插值多項(xiàng)式,Ln(x)和N(x)插值多項(xiàng)式的余項(xiàng),例:已知列表函數(shù),并計(jì)算f(0.5)的計(jì)算值。,解:,(1)由數(shù)據(jù)表,構(gòu)造均差表,又解:,2數(shù)據(jù)的多項(xiàng)式最小二乘擬合,已知一組數(shù)據(jù):,-這個(gè)多項(xiàng)式稱(chēng)為這組數(shù)據(jù)的最小二乘擬合多項(xiàng)式,求最小二乘多項(xiàng)式的步驟,例4.5試對(duì)以下數(shù)據(jù)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合,解,- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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