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2019年高考數學新一輪復習 詳細分類題庫 考點54 坐標系與參數方程（文、理）（含詳解，13高考題） 一、選擇題 1.（xx安徽高考理科Ｔ7）在極坐標系中，圓的垂直于極軸的兩條切線方程分別為 （ ） A. B. C. D. 【解題指南】 將極坐標轉化為平面直角坐標得出圓的方程。 【解析】選B. 由ρ=2cosθ可得x2+y2=2x?(x-1)2+y2=1,所以圓的圓心為(1,0),半徑為1,與x軸垂直的圓的切線方程分別是x=0,x=2,在以原點為極點的極坐標系中,與之對應的方程是θ=(ρ∈R)和ρcosθ=2. 二、填空題 2.（xx江西高考理科Ｔ15）設曲線C的參數方程為（t為參數），若以直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則曲線C的極坐標方程為_______. 【解題指南】將曲線C的參數方程化為普通方程，通過極坐標的定義建立曲線C的參數方程將其代入直角坐標方程，化簡整理可得極坐標方程. 【解析】由得，將，代入中化簡得. 【答案】 . 3.（xx北京高考理科Ｔ9）在極坐標系中，點(2，)到直線ρsinθ=2的距離等于 【解題指南】轉化為直角坐標進行計算。 【解析】極坐標系中點對應直角坐標系中坐標為，極坐標系直線對應直角坐標系中直線方程為，所以距離為1. 【答案】 1. 4. （xx湖南高考理科Ｔ9） 在平面直角坐標系中，若右頂點，則常數 . 【解題指南】先把直線和橢圓的參數方程化為普通方程,然后把橢圓的右頂點坐標代入直線方程即可. 【解析】直線的普通方程是，橢圓C的普通方程是，其右頂點為（3,0），代入直線方程得 【答案】3. 5.（xx廣東高考理科Ｔ14）已知曲線的參數方程為（t為參數），在點處的切線為，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則的極坐標方程為_______. 【解題指南】本題考查參數方程與極坐標，可首先轉化為直角坐標計算. 【解析】曲線是圓，點處的切線為，其極坐標方程為，化簡得 【答案】. 6.（xx廣東高考文科Ｔ14）已知曲線的極坐標方程為．以極點為原點，極軸為軸的正半軸建立直角坐標系，則曲線的參數方程為 ． 【解題指南】本題考查參數方程與極坐標，可首先轉化為直角坐標計算. 【解析】曲線是圓，其參數方程為（為參數）. 【答案】 （為參數）. 7. （xx湖北高考理科Ｔ16）在直角坐標系xOy中,橢圓C的參數方程為(φ為參數,a>b>0),在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸)中,直線l與圓O的極坐標方程分別為 (m為非零數)與ρ=b.若直線l經過橢圓C的焦點,且與圓O相切,則橢圓C的離心率為　　　　. 【解題指南】先將參數方程,極坐標方程轉化成普通方程,再利用相切找到關系. 【解析】橢圓的方程焦點， 即直線l的普通方程為x+y-m=0,經過焦點,m=c,圓O的方程為x2+y2=b2,直線與圓相切, 【答案】 8. （xx陜西高考理科Ｔ15）如圖, 以過原點的直線的傾斜角為參數, 則圓的參數方程為 . 【解題指南】利用普通方程化為參數方程的公式，將圓的普通方程化為參數方程. 【解析】 所以圓的參數方程為 【答案】 . 9. （xx湖南高考文科Ｔ11）在平面直角坐標系xOy中，若直線（s為參數）和直線（t為參數）平行，則常數a的值為________ 【解題指南】本題先把兩直線的參數方程化成普通方程，然后利用兩直線的平行關系求出參數 【解析】先把兩直線的參數方程化成普通方程.直線，直線.因為兩直線平行，所以，故，經檢驗，符合題意。 【答案】4. 10. （xx重慶高考理科Ｔ15）在直角坐標系中，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系．若極坐標方程為的直線與曲線（為參數）相交于、兩點，則 【解題指南】 可將極坐標轉化為平面直角坐標系下的坐標進行計算. 【解析】極坐標方程為的直線為,所以,解得,又，所以直線與曲線（為參數）的兩個交點、的坐標為,故. 【答案】 . 11.（xx上海高考理科T7）在極坐標系中，曲線與的公共點到極點的距離為__________ 【解析】聯立得，又，故所求為． 【答案】. 12.(xx天津高考理科T11)已知圓的極坐標方程為ρ=4cosθ,圓心為C,點P的極坐標為,則CP=　　　　　　　. 【解題指南】根據圓的極坐標方程及點P的坐標確定OP,OC的長度,在△POC中利用余弦定理計算. 【解析】如圖, 由圓的極坐標方程為ρ=4cosθ知OC=2,又因為點P的極坐標為,所以OP=4,∠POC=,在△POC中,由余弦定理得CP2=OP2+OC2-2OPOCcos=16+4-242=12,所以CP=. 【答案】 . 13. （xx陜西高考文科Ｔ15） 圓錐曲線 (t為參數)的焦點坐標是 . 【解題指南】消去參數t即可得拋物線方程，求其焦點坐標. 【解析】. 【答案】 (1, 0). 二、解答題 14.（xx遼寧高考文科Ｔ23）與（xx遼寧高考理科Ｔ23）相同 在直角坐標系中，以為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系。圓，直線的極坐標方程分別為 求與的交點的極坐標；設為的圓心，為與的交點連線的中點，已知直線的參數方程為求的值。 【解題指南】 利用極坐標和直角坐標的互化關系，將不熟悉的極坐標轉化為熟悉的直角坐標來探究. 【解析】由得， 圓的直角坐標方程為 直線的直角坐標方程分別為 由解得 所以圓，直線的交點直角坐標為 再由，將交點的直角坐標化為極坐標所以與的交點的極坐標 由知，點，的直角坐標為 故直線的直角坐標方程為 ① 由于直線的參數方程為 消去參數 ② 對照①②可得 解得 15. （xx新課標Ⅰ高考文科Ｔ23）與（xx新課標Ⅰ高考理科Ｔ23）相同 已知曲線C1的參數方程為 （為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為. （Ⅰ）把C1的參數方程化為極坐標方程； （Ⅱ）求C1與C2交點的極坐標（ρ≥0,0≤θ＜2π）。 【解析】將消去參數，化為普通方程, 即：. 將代入得 . （Ⅱ）的普通方程為. 由，解得或. 所以與交點的極坐標分別為， 16.（xx江蘇高考數學科Ｔ21）在平面直角坐標系xOy 中, 直線的參數方程為(t 為參數),曲線C 的參數方程為 (為參數).試求直線和曲線C的普通方程, 并求出它們的公共點的坐標. 【解題指南】選把參數方程轉化為普通方程再利用普通方程求解，主要考查參數方程與普通方程的互化以及直線與拋物線的位置關系等基礎知識, 考查轉化問題的能力 【解析】因為直線 的參數方程為(t 為參數), 由x = t+1 得t = x-1, 代入y = 2t, 得到直線 的普通方程為2x-y-2 = 0. 同理得到曲線 C 的普通方程為= 2x. 聯立方程組 , 解得公共點的坐標為(2, 2), (, -1). 17.（xx江蘇高考數學科Ｔ21）已知b>0, 求證: 【解題指南】本小題主要考查利用比較法證明不等式,利用作差法分解因式與0比較. 【證明】2a3-b3-(2ab2-a2b)= 2a(a2-b2)+b(a2-b2)= (a2-b2)(2a+b) = (a-b)(a+b)(2a+b). 因為 ab>0, 所以 a-b0, a+b>0, 2a+b>0,從而(a-b)(a+b)(2a+b) 0, 即 18.（xx福建高考理科Ｔ21）在直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.已知點A的極坐標為，直線的極坐標方程為，且點A在直線上。 （Ⅰ）求的值及直線的直角坐標方程； （Ⅱ）圓C的參數方程為，試判斷直線l與圓C的位置關系. 【解析】（Ⅰ）由點在直線上，可得 所以直線的方程可化為 從而直線的直角坐標方程為 （Ⅱ）由已知得圓的直角坐標方程為 所以圓心為，半徑 以為圓心到直線的距離，所以直線與圓相交 19.（xx新課標全國Ⅱ高考文科Ｔ23）與（xx新課標全國Ⅱ高考理科Ｔ23）相同 已知動點P，Q都在曲線C： 上，對應參數分別為t=α 與=2α（0＜α＜2π）,M為PQ的中點. （1）求M的軌跡的參數方程. （2）將M到坐標原點的距離d表示為的函數，并判斷M的軌跡是否過坐標原點. 【解題指南】(1)借助中點坐標公式，用參數表示出點M的坐標，可得參數方程. (2)利用距離公式表示出點M到原點的距離d,判斷d能否為0,可得M的軌跡是否過原點. 【解析】（1）依題意有因此 . M的軌跡的參數方程為 （2）M點到坐標原點的距離 . 當時，，故M的軌跡過坐標原點.