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2019年高中數(shù)學(xué) 綜合檢測 新人教A版選修2-3 一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的) 1．下列四個(gè)命題： ①線性相關(guān)系數(shù)r越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；反之，線性相關(guān)性越弱； ②殘差平方和越小的模型，模型擬合的效果越好； ③用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸效果，R2越小，說明模型的擬合效果越好； ④在推斷H：“X與Y有關(guān)系”的論述中，用三維柱形圖，只要主對角線上兩個(gè)柱形高度的比值與副對角線上的兩個(gè)柱形高度的比值相差越大，H成立的可能性就越大． 其中真命題的個(gè)數(shù)是(　　) A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 [答案]　A [解析]?、賠有正負(fù)，應(yīng)為|r|越大，相關(guān)性越強(qiáng)，②正確，③R2越大，擬合效果越好，④應(yīng)為高度積的差的絕對值越大，H成立的可能性就越大，故選A. 2．(xx四川理，2)在x(1＋x)6的展開式中，含x3項(xiàng)的系數(shù)為(　　) A．30 B．20 C．15 D．10 [答案]　C [解析]　x3的系數(shù)就是(1＋x)6中的第三項(xiàng)的系數(shù)，即C＝15. 3．甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，比賽采取五局三勝制，無論哪一方先勝三局則比賽結(jié)束，假定甲每局比賽獲勝的概率均為，則甲以3∶1的比分獲勝的概率為(　　) A． B． C． D． [答案]　A [解析]　設(shè)甲勝為事件A，則P(A)＝，P()＝， ∵甲以3∶1的比分獲勝，∴甲前三局比賽中勝2局，第四局勝，故所求概率為P＝C()2＝. 4．隨機(jī)變量ξ的概率分布規(guī)律為P(X＝n)＝(n＝1、2、3、4)，其中a為常數(shù)，則P的值為(　　) A． B． C． D． [答案]　D [解析]　因?yàn)镻(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，所以＋＋＋＝1，所以a＝. 因?yàn)镻＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝，故選D. 5．若隨機(jī)變量ξ～N(－2,4)，則ξ在區(qū)間(－4，－2]上取值的概率等于ξ在下列哪個(gè)區(qū)間上取值的概率(　　) A．(2,4] B．(0,2] C．[－2,0) D．(－4,4] [答案]　C [解析]　此正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝－2對稱，∴ξ在區(qū)間(－4，－2]上取值的概率等于ξ在[－2,0)上取值的概率． 6．有6張卡片分別標(biāo)有1、2、3、4、5、6，將其排成3行2列，要求每一行的兩張卡片上的數(shù)字之和均不等于7，則不同的排法種數(shù)是(　　) A．192 B．384 C．432 D．448 [答案]　B [解析]　將1、2、3、4、5、6中數(shù)字之和等于7的兩個(gè)數(shù)字分成一組，記A＝{1,6}，B＝{2,5}，C＝{3,4}．依題意進(jìn)行分步計(jì)數(shù)． 第一步，排第一行的兩個(gè)數(shù)字，先從A、B、C三組中選取2組(有C種選法)，再從每組中選取一個(gè)數(shù)(有CC種選法)，最后將這兩個(gè)數(shù)排在第一行(有A種排法)，故第一行的排法種數(shù)為CCCA＝24種． 第二步，排第2行，從A、B、C中第一次未選到的那一組中選取1數(shù)(有C種選法)，從第一次選取的兩組中剩余的兩數(shù)中選取一數(shù)(有C種選法)，將此二數(shù)排在第二行(有A種排法)，故第二行共有排法CCA＝8種． 第三步，將余下兩數(shù)排在第三行，有A＝2種排法， 由分步計(jì)數(shù)原理知，共有不同排法2482＝384種． 7．變量X與Y相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,1)、(11.3,2)、(11.8,3)、(12.5,4)、(13,5)；變量U與V相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,5)、(11.3,4)、(11.8,3)、(12.5,2)、(13,1)．r1表示變量Y與X之間的線性相關(guān)系數(shù)，r2表示變量V與U之間的線性相關(guān)系數(shù)，則(　　) A．r20，U與V是負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)r2<0，故選C. 8．設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布X～B(n，p)，則等于(　　) A．p2 B．(1－p)2 C．1－p D．以上都不對 [答案]　B [解析]　因?yàn)閄～B(n，p)，(D(X))2＝[np(1－p)]2，(E(X))2＝(np)2，所以＝＝(1－p)2.故選B. 9．(xx大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中)把15個(gè)相同的小球放入編號為1、2、3的三個(gè)不同盒子中，使盒子里的球的個(gè)數(shù)大于它的編號數(shù)，則不同的放法種數(shù)是(　　) A．56 B．72 C．28 D．63 [答案]　C [解析]　先給1號盒子放入1球，2號盒子放入2球，3號盒子放入3球，再將剩余9個(gè)小球排成一列，之間形成8個(gè)空檔，從中任意選取2個(gè)空檔用插板隔開，依次對應(yīng)放入1、2、3號盒子中，則不同放法種數(shù)為C＝28種． 10．通過隨機(jī)詢問72名不同性別的大學(xué)生在購買食物時(shí)是否看營養(yǎng)說明，得到如下列聯(lián)表： 性別與讀營養(yǎng)說明列聯(lián)表 女 男 合計(jì) 讀營養(yǎng)說明 16 28 44 不讀營養(yǎng)說明 20 8 28 總計(jì) 36 36 72 請問性別和讀營養(yǎng)說明之間在多大程度上有關(guān)系？(　　) A．99%的可能性 B．99.75%的可能性 C．99.5%的可能性 D．97.5%的可能性 [答案]　C [解析]　由題意可知a＝16，b＝28，c＝20，d＝8，a＋b＝44，c＋d＝28，a＋c＝36，b＋d＝36，n＝a＋b＋c＋d＝72， 代入公式K2＝得K2＝≈8.42，由于K2≈8.42>7.879， 我們就有99.5%的把握認(rèn)為性別和讀營養(yǎng)說明之間有關(guān)系，即性別和讀營養(yǎng)說明之間有99.5%的可能是有關(guān)系的． 11．假設(shè)每一架飛機(jī)的引擎在飛行中出現(xiàn)故障的概率為1－p，且各引擎是否有故障是獨(dú)立的，已知4引擎飛機(jī)中至少有3個(gè)引擎正常運(yùn)行，飛機(jī)就可成功飛行；2個(gè)引擎飛機(jī)要2個(gè)引擎全部正常運(yùn)行，飛機(jī)才可成功飛行．要使4個(gè)引擎飛機(jī)更安全，則p的取值范圍是(　　) A． B． C． D． [答案]　B [解析]　4個(gè)引擎飛機(jī)成功飛行的概率為Cp3(1－p)＋p4,2個(gè)引擎飛機(jī)成功飛行的概率為p2，要使Cp3(1－p)＋p4>p2，必有5.024， 因此，我們有97.5%的把握認(rèn)為成績優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)． 21．(本題滿分12分)(xx福建理，16)某聯(lián)歡晚會(huì)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎(jiǎng)方案，方案甲的中獎(jiǎng)率為，中獎(jiǎng)可以獲得2分；方案乙的中獎(jiǎng)率為，中獎(jiǎng)可以獲得3分；未中獎(jiǎng)則不得分．每人有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響，晚會(huì)結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎(jiǎng)品． (1)若小明選擇方案甲抽獎(jiǎng)，小紅選擇方案乙抽獎(jiǎng)，記他們的累計(jì)得分為X，求X≤3的概率； (2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)，問：他們選擇何種方案抽獎(jiǎng)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大？ [解析]　(1)由已知得，小明中獎(jiǎng)的概率為，小紅中獎(jiǎng)的概率為，且兩人中獎(jiǎng)與否互不影響． 記“這2人的累計(jì)得分X≤3”的事件為A， 則事件A包含有“X＝0”，“X＝2”，“X＝3”三個(gè)兩兩互斥的事件， 因?yàn)镻(X＝0)＝(1－)(1－)＝， P(X＝2)＝(1－)＝， P(X＝3)＝(1－)＝， 所以P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝， 即這2人的累計(jì)得分X≤3的概率為. (2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計(jì)得分為X1，都選擇方案乙所獲得的累計(jì)得分為X2，則X1、X2的分布列如下： X1 0 2 4 P X2 0 3 6 P 所以E(X1)＝0＋2＋4＝， E(X2)＝0＋3＋6＝. 因?yàn)镋(X1)>E(X2)， 所以他們都選擇方案甲進(jìn)行投資時(shí)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大． 22．(本題滿分14分)電視傳媒公司為了解某地區(qū)觀眾對某體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，其中女性有55名，下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖： 將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”． (1)根據(jù)已知條件完成下面的22列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)？ 非體育迷 體育迷 合計(jì) 男 女 10 55 合計(jì) (2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率．現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)． 附：K2＝. P(K2≥k) 0.05 0.01 k 3.841 6.635 [分析]　(1)根據(jù)頻率分布直方圖及條件超過40分鐘的觀眾稱為“體育迷”則可求出體育迷人數(shù)25人，即可完成22列聯(lián)表，再求出K2即可． (2)由(1)知體育迷有25人，則被抽到的概率為，從觀眾中隨機(jī)抽出3名是3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，X服從二項(xiàng)分布，則可以求出分布列，期望，方差． [解析]　(1)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而22列聯(lián)表如下： 非體育迷 體育迷 合計(jì) 男 30 15 45 女 45 10 55 合計(jì) 75 25 100 將22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得 K2＝＝ ＝≈3.030. 因?yàn)?.030<3.841，所以我們沒有充分理由認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)． (2)由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0.25，將頻率視為概率，即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率. 由題意知X～B(3，)，從而X的分布列為 X 0 1 2 3 P E(X)＝np＝3＝. D(X)＝np(1－p)＝3＝. 1．若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值是(　　) A．1 B．－1 C．0 D．2 [答案]　A [解析]　令x＝1，得a0＋a1＋…＋a4＝(2＋)4， 令x＝－1， a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－2＋)4. 所以，(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(2＋)4(－2＋)4＝1. 2．一袋中有5個(gè)白球、3個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個(gè)記下顏色后放回，直到紅球出現(xiàn)10次時(shí)停止，設(shè)停止時(shí)共取了X次球，則P(X＝12)等于(　　) A．C102 B．C92 C．C92 D．C102 [答案]　D [解析]　“X＝12”表示第12次取到的球?yàn)榧t球，前11次中有9次取到紅球，2次取到白球， ∴P(X＝12)＝C()9()2 ＝C()10()2，故選D. 3．如圖，將1、2、3填入33的方格中，要求每行、每列都沒有重復(fù)數(shù)字，下面是一種填法，則不同的填寫方法共有(　　) 1 2 3 3 1 2 2 3 1 A.6種 B．12種 C．24種 D．48種 [答案]　B [解析]　第一步，將1、2、3排在第一行，共A＝6種排法，對于每一種排法，第二行，都對應(yīng)2種排法，第三行，有唯一一種排法，∴共有12種． 4．某企業(yè)有兩個(gè)分廠生產(chǎn)某種零件，按規(guī)定內(nèi)徑尺寸(單位：mm)的值落在(29.94,30.06)的零件為優(yōu)質(zhì)品．從兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件中抽出500件，量其內(nèi)徑尺寸的結(jié)果如下表： 甲廠 分組 [29.86,29.90) [29.90,29.94) [29.94,29.98) [29.98,30.02) 頻數(shù) 12 63 86 182 分組 [30.02,30.06) [30.06,30.10) [30.10,30.14) 頻數(shù) 92 61 4 乙廠 分組 [29.86,29.90) [29.90,29.94) [29.94,29.98) [29.98,30.02) 頻數(shù) 29 71 85 159 分組 [30.02,30.06) [30.06,30.10) [30.10,30.14) 頻數(shù) 76 62 18 (1)試分別估計(jì)兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率； (2)由于以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填下面22列聯(lián)表，并問是否有99%的把握認(rèn)為“兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異”. 甲廠 乙廠 合計(jì) 優(yōu)質(zhì)品 非優(yōu)質(zhì)品 合計(jì) 附：K2＝， p(K2≥k) 0.05 0.01 k 3.841 6.635 [解析]　(1)甲廠抽查的產(chǎn)品中有360件優(yōu)質(zhì)品，從而甲廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率估計(jì)為＝72%； 乙廠抽查的產(chǎn)品中有320件優(yōu)質(zhì)品，從而乙廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率估計(jì)為＝64%. (2) 甲廠 乙廠 合計(jì) 優(yōu)質(zhì)品 360 320 680 非優(yōu)質(zhì)品 140 180 320 合計(jì) 500 500 1000 K2＝≈7.35>6.635， 所以有99%的把握認(rèn)為“兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異”． 5．某地區(qū)試行高考考試改革：在高三學(xué)年中舉行5次統(tǒng)一測試，學(xué)生如果通過其中2次測試即可獲得足夠?qū)W分升上大學(xué)繼續(xù)學(xué)習(xí)，不用參加其余的測試，而每個(gè)學(xué)生最多也只能參加5次測試．假設(shè)某學(xué)生每次通過測試的概率都是，每次測試通過與否互相獨(dú)立．規(guī)定：若前4次都沒有通過測試，則第5次不能參加測試． (1)求該學(xué)生考上大學(xué)的概率． (2)如果考上大學(xué)或參加完5次測試就結(jié)束，記該生參加測試的次數(shù)為ξ，求ξ的分布列及ξ的數(shù)學(xué)期望． [解析]　(1)記“該學(xué)生考上大學(xué)”為事件A，其對立事件為，則 P()＝C()()3()＋()4＝＋＝. ∴P(A)＝1－P()＝1－＝. (2)該生參加測試次數(shù)ξ的可能取值為2、3、4、5. P(ξ＝2)＝()2＝， P(ξ＝3)＝C＝， P(ξ＝4)＝C()2＋()4＝＋＝， P(ξ＝5)＝C()3＝. 故ξ的分布列為 ξ 2 3 4 5 P E(ξ)＝2＋3＋4＋5＝.