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2019-2020年高二數(shù)學下學期期末考試試題 理（含解析）新人教A版 【試卷綜析】本試卷是高二理科期末試卷，本試卷以基礎(chǔ)知識和基本技能為載體，以能力測試為主導，在注重考查學科核心知識的同時，突出考查考綱要求的基本能力，重視學生科學素養(yǎng)的考查.知識考查注重基礎(chǔ)、注重常規(guī)、注重主干知識，兼顧覆蓋面.試題重點考查：不等式性質(zhì)、基本不等式、絕對值不等式、不等式的證明、概率、離散隨機變量的分布列、期望與方差、二項式定理、獨立性檢驗思想、回歸方程的建立與回歸分析、正態(tài)分布、排列組合、導數(shù)的綜合應用、復數(shù)等；考查學生解決實際問題的綜合能力，是份較好的試卷. 一．選擇題：（每小題5分，共40分，每題只有一個選項正確） 1．在復平面上，復數(shù)的對應點所在象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【知識點】復數(shù)的代數(shù)運算、復數(shù)的幾何意義 【答案解析】C解析：因為=－1－2i，所以對應的點在第三象限，則選C. 【思路點撥】復數(shù)的代數(shù)運算是高考?？伎键c之一，熟記復數(shù)的代數(shù)運算規(guī)則是解題的關(guān)鍵. 2. ,則=( ) A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【知識點】正態(tài)分布 【答案解析】A解析：由正態(tài)分布的性質(zhì)得P(－2≤ξ≤2)=2 P(－2≤ξ≤0)=0.8，所以= =0.1，則選A 【思路點撥】因為正態(tài)分布的對稱軸為y軸，可由正態(tài)分布圖像的性質(zhì)解答. 3. 在驗證吸煙與否與患肺炎與否有關(guān)的統(tǒng)計中，根據(jù)計算結(jié)果，認為這兩件事情無關(guān)的可能性不足1%，那么的一個可能取值為(　　) A．6.635 B． 5.024 C．7.897 D．3.841 P(k2>k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 K 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.83 【知識點】獨立性檢驗 【答案解析】C解析：由表格知 ，則的取值應大于6.635，所以選C 【思路點撥】本題可先結(jié)合表格找出認為這兩件事情無關(guān)的可能性為1%時對應的的值，再對選項與此參考值進行比較即可. 4．5人站成一排，甲乙兩人必須站在一起的不同站法有 （ ） A．12種 B．24種 C． 48種 D．60種 【知識點】排列的應用 【答案解析】C解析：可先排甲乙兩人有種排法，再把甲乙兩人與其他人做排列有=24種排法，由分步乘法原理得一共有224=48種排法，所以選C. 【思路點撥】本題屬于相鄰排列問題，可先排必須相鄰的元素，再把排好的相鄰元素看成一個元素與剩余的元素一起做全排列即可. 5. 一個袋中裝有大小相同的5個白球和3個紅球，現(xiàn)在不放回的取2次球，每次取出一個球，記“第1次拿出的是白球”為事件，“第2次拿出的是白球”為事件，則事件與同時發(fā)生的概率是( ) A． B． C． D． 【知識點】概率的求法 【答案解析】D解析：因為從袋中不放回的取2次球，一共有種方法，其中兩次都為白球有種取法，所以所求的概率為，則選D. 【思路點撥】本題主要考查的是古典概型的求法，利用古典概型計算公式，只需分別求出總的情況種數(shù)與所求事件包含的基本事件個數(shù)，代入公式即可. 6．下列各式中，最小值是2的是( ) A． B． C． D．2-3x- 【知識點】基本不等式 【答案解析】C解析：因為A，B選項中的 式子的值可以取負值，故排除，又 而 不成立，所以等號不成立，不能得到最小值為2，故排除，所以選C. 【思路點撥】在應用基本不等式求最值時，必須注意滿足三個要素：一正，二定，三相等，本題通過三個要素用排除法即可確定選項. 7．圓上有10個點，過每三個點畫一個圓內(nèi)接三角形，則一共可以畫的三角形個數(shù)為（ ） A．720 B．360 C．240 D．120 【知識點】組合數(shù)的應用 【答案解析】D解析：因為圓上任意三點不共線，所以任過三點都可以畫一個圓內(nèi)接三角形，則一共可以畫的三角形個數(shù)為=120個，所以選D. 【思路點撥】通過分析條件，把實際問題歸結(jié)為組合數(shù)問題是解題的關(guān)鍵. 8.設曲線在點處的切線與直線垂直，則（ ） A. 2 B. C. D. 【知識點】導數(shù)的應用 【答案解析】B解析：因為 所以切線的斜率為，因為在點處的切線與直線垂直，則有，得a=－2，所以選B. 【思路點撥】借助于導數(shù)的幾何意義，即可求出切線斜率，再利用直線垂直的條件即可求出a值. 二、填空題（本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，共30分，把答案填在答題卡相應橫線上） （一）必做題（9～13題） 9.的展開式中的常數(shù)項是 。 【知識點】二項展開式的通項公式 【答案解析】60解析：因為 ，令 12－3r=0，得r=4，所以展開式中的常數(shù)項是. 【思路點撥】在二項展開式中遇到求展開式中的某項或某項的系數(shù)問題時，通常利用其展開式的通項公式進行解答. 10．從數(shù)字1、2、3、4、5中任取兩個不同的數(shù)字構(gòu)成一個兩位數(shù)，則這個兩位數(shù)大于40的概率為 【知識點】古典概型 【答案解析】 解析：從數(shù)字1、2、3、4、5中任取兩個不同的數(shù)字構(gòu)成一個兩位數(shù)可以得到個兩位數(shù)，若這個兩位數(shù)大于40，則有種情況，所以所求的概率為 . 【思路點撥】本題主要考查的是古典概型的求法，利用古典概型計算公式，只需分別求出總的情況種數(shù)與所求事件包含的基本事件個數(shù)，代入公式即可. 11．已知隨機變量ξ服從二項分布的值為 【知識點】二項分布 【答案解析】 解析： . 【思路點撥】熟記二項分布概率計算公式是解此題的關(guān)鍵. 12.不等式|x-1|+|x+2|≥5.的解集是 【知識點】絕對值不等式的解法 【答案解析】{x▏x≤－3或x≥2}解析：因為在數(shù)軸上到兩點距離之和為5的點為﹣3，2，所以在數(shù)軸上到兩點距離之和大于等于5的實數(shù)x的范圍是{x▏x≤－3或x≥2}. 【思路點撥】在解絕對值不等式時，若兩個絕對值中x的系數(shù)相等可利用絕對值的幾何意義直接求解，若兩個絕對值中x的系數(shù)不相等可用零點分段討論去絕對值解不等式. 13. 古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家研究過各種多邊形數(shù)。如三角形數(shù)1,3,6,10，第n個三角形數(shù)為。記第n個k邊形數(shù)為N(n,k)(),以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達式： 三角形數(shù) N(n,3)= 正方形數(shù) N(n,4)= 五邊形數(shù) N(n,5)= 六邊形數(shù) N(n,6)= 可以推測N(n,k)的表達式，由此計算N(10,24)= ____________ 【知識點】歸納推理 【答案解析】1000解析：觀察所給的四個表達式，可發(fā)現(xiàn)n的二次項系數(shù)成等差數(shù)列，二次項系數(shù)與一次項系數(shù)和為1，則k=24時二次項系數(shù)為，所以N(10,24)= . 【思路點撥】本題主要考查的是歸納推理的應用，觀察發(fā)現(xiàn)所給式子之間的系數(shù)規(guī)律即式子內(nèi)部系數(shù)之間的關(guān)系時解題的關(guān)鍵. （二）選做題（14～15題，考生只能從中選做一題，若兩題都做，取14題得分為最后得分） 14．（坐標系與參數(shù)方程選做題）在直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程是（是參數(shù)），若以O為極點，x軸的正半軸為極軸，則曲線C的極坐標方程可寫為 . 【知識點】參數(shù)方程，極坐標 【答案解析】ρ=4cosθ解析：由曲線C的參數(shù)方程得 ，由直角坐標化成極坐標公式 代入整理得ρ=4cosθ 【思路點撥】把參數(shù)方程化成極坐標方程時，可先化成普通方程，再由普通方程化成極坐標方程. 15．（幾何證明選講選做題）如圖所示，圓的直徑， 為圓周上一點，．過作圓的切線，過作 的垂線，分別與直線、圓交于點，則 線段的長為 ． 【知識點】圓的性質(zhì)，切割線定理 【答案解析】3解析：因為，，所以∠ABC=60，AC= ，則 ∠ACD=60，AD= ，DC= ，由切割線定理得，即 ，所以AE=AD﹣DE=. 【思路點撥】觀察所給條件，可發(fā)現(xiàn)通過切割線定理建立已知與所求的關(guān)系，再利用圓的性質(zhì)求出AC與DC、AD，即可解答. 三、解答題（本大題共6小題，共80分，解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.） 16.（12分）一個布袋里有3個紅球，2個白球共５個球. 現(xiàn)抽取3次，每次任意抽取2個，并待放回后再抽下一次，求： （1）３次抽取中，每次取出的2個球都是1個白球和1個紅球的概率； （2）３次抽取中，有2次取出的2個球是1個白球和1個紅球，還有1次取出的2個球同色的概率； 【知識點】概率，n次獨立重復試驗的概率 【答案解析】(1)0.216(2)0.432解析：記事件A：“一次取出2個球是1個白球和1個紅球”，事件B：“一次取出的2個球都是白球”，事件C：“一次取出的2個球都是紅球”，A、B、C互相獨立 (1)因為 ，所以 (2)因為 ，所以所求事件的概率為 【思路點撥】根據(jù)n次獨立重復試驗發(fā)生K次的概率特征，利用公式直接計算所求事件的概率即可 17．（12分 ）某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此作了四次試驗，得到的數(shù)據(jù)如下： 零件的個數(shù)x(個) 2 3 4 5 加工的時間y(小時) 2.5 3 4 4.5 (1)在給定的坐標系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖； (2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程＝x＋，并在坐標系中畫出回歸直線； (3)試預測加工10個零件需要多少時間？ 參考公式：回歸直線，其中[ 【知識點】回歸直線方程的建立，回歸分析, 【答案解析】（1）略（2）（3）8.05小時 解析：(1)散點圖如圖 (2)由表格計算得=52.5， ，=54，所以 ，所以 ，回歸直線如上圖； (3)將x=10代入回歸直線方程得 ，所以預測加工10個零件需要8.05小時 【思路點撥】依據(jù)回歸直線方程中參數(shù)的計算公式計算回歸直線的參數(shù)，即可得到回歸直線方程，再利用方程進行預測. 18．(本小題滿分14分) 同時拋擲4枚均勻的硬幣80次，設4枚硬幣正好出現(xiàn)2枚正面向上，2枚反面向上的次數(shù)為ξ． (Ⅰ) 求拋擲4枚硬幣，恰好2枚正面向上，2枚反面向上的概率； (Ⅱ) 求的數(shù)學期望和方差． [Z_xx_k] 【知識點】概率的求法，二項分布的性質(zhì) 【答案解析】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 解析：(Ⅰ) 設“拋擲4枚硬幣，恰好2枚正面向上”為事件A，所以拋擲4枚硬幣的基本事件總數(shù)是=16 ，其中事件A含=6個基本事件，所以 ,所以拋擲4枚硬幣，恰好2枚正面向上，2枚反面向上的概率為；(Ⅱ)隨機變量的取值為0,1，2,3，…，80，由(1)得：拋擲4枚硬幣，恰好2枚正面向上，2枚反面向上的概率為，又因為所拋擲的80次之間相互獨立，所以ξ ，則 ，所以 【思路點撥】在求隨機變量的期望與方差時，若其分布為二項分布可直接利用二項分布的期望與方差計算公式進行解答. 19（本小題14分）給出四個等式： 1＝1 1－4＝－(1＋2) 1－4＋9＝1＋2＋3 1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4) ……　　　　　　　　　　　 （1）寫出第5,6個等式，并猜測第n(n∈N)個等式 （2）用數(shù)學歸納法證明你猜測的等式． 【知識點】歸納推理、數(shù)學歸納法 【答案解析】（1）1－4＋9－16+25＝1＋2＋3＋4＋5, 1－4＋9－16+25－49＝－﹙1＋2＋3＋4＋5＋7﹚, 1－4＋9－16+25－…＋ ＝﹙1＋2＋3＋4＋…＋n﹚； （2）略 解析：（1）1－4＋9－16+25＝1＋2＋3＋4＋5, 1－4＋9－16+25－49＝－﹙1＋2＋3＋4＋5＋7﹚, 1－4＋9－16+25－…＋ ＝﹙1＋2＋3＋4＋…＋n﹚； （2）證明①當n=1時等式左邊=1，右邊=1，顯然等式成立； ②假設n=k時等式成立，即1－4＋9－16+25－…＋ ＝﹙1＋2＋3＋4＋…＋k﹚，則 1－4＋9－16+25－…＋ + ＝﹙1＋2＋3＋4＋…＋k﹚+= =﹙1＋2＋3＋4＋…＋k+k+1﹚,即n=k+1時等式成立 ； 由①②知，對于任意的正整數(shù)n等成均成立. 【思路點撥】在利用數(shù)學歸納法證明恒等式時，對于第二問可在假設的基礎(chǔ)上先通過兩邊填項湊出一邊，再證明另一邊相等. 20．（14分）設正數(shù)數(shù)列為等比數(shù)列，,記 （1）求和[Z#X#X#K] （2）證明: 對任意的 ,有成立. 【知識點】等差數(shù)列、等比數(shù)列、放縮法證明不等式 【答案解析】(1) (2)略； 解析：(1)設等比數(shù)列的公比為q，因為數(shù)列為正數(shù)等比數(shù)列，則有，所以 ； (2)因為 ，令 ，則 ，所以 【思路點撥】在證明和式或積式不等式時可先結(jié)合不等式的性質(zhì)觀察能否求和或求積，若不能求和或求積，則觀察能否用放縮法求和或求積進行證明，本題還可以用數(shù)學歸納法進行證明. 21. (本小題滿分14分)設函數(shù)，曲線在點（1，處的切線為. (Ⅰ)求； （Ⅱ）證明：. 【知識點】導數(shù)的綜合應用 【答案解析】(Ⅰ) a=1，b=2；( Ⅱ)略 解析：(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)， ，由題意得f(1)=2，f’(1)=e，解得a=1，b=2； ( Ⅱ)由(Ⅰ)知 ，從而f(x) ＞1等價于 ，設函數(shù)，則，所以當時，，當時，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，從而在的最小值為. 設函數(shù)，則，所以當時，，當時，，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，從而在的最大值為. 綜上：當時，，即. 【思路點撥】在利用導數(shù)解答曲線的切線問題時，注意抓住兩個要點：1、切線的斜率等于函數(shù)在切點的導數(shù)值，2、切點坐標滿足曲線方程和切線方程；在證明與函數(shù)有關(guān)的不等式時，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題進行解答.