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2019-2020年九年級數(shù)學(xué)下冊 3.3 圓周角和圓心角的關(guān)系教案二 湘教版 教學(xué)目標 (一)教學(xué)知識點 1．掌握圓周角定理幾個推論的內(nèi)容． 2．會熟練運用推論解決問題． (二)能力訓(xùn)練要求 1．培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析及理解問題的能力． 2．在學(xué)生自主探索推論的過程中，經(jīng)歷猜想、推理、驗證等環(huán)節(jié)，獲得正確的學(xué)習(xí)方式． (三)情感與價值觀要求 培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和解決問題的能力． 教學(xué)重點 圓周角定理的幾個推論的應(yīng)用． 教學(xué)難點 理解幾個推論的“題設(shè)”和“結(jié)論”． 教學(xué)方法 指導(dǎo)探索法． 教具準備 投影片三張 第一張：引例(記作3．3．2A) 第二張：例題(記作3．3．2B) 第三張：做一做(記作3．3．2C) 教學(xué)過程 Ⅰ．創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課 [師]請同學(xué)們回憶一下我們前幾節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些和圓有關(guān)系的角？它們之間有什么關(guān)系？ [生]學(xué)習(xí)了圓心角和圓周角、一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．即圓周角定理． [師]我們在分析、證明上述定理證明過程中，用到了些什么數(shù)學(xué)思想方法？ [生]分類討論、化歸、轉(zhuǎn)化思想方法． [師]同學(xué)們請看下面這個問題：(出示投影片3．3．2A) 已知弦AB和CD交于⊙O內(nèi)一點P，如下圖． 求證：PAPB＝PCPD． [師生共析]要證PAPB＝PCPD，可證．由此考慮證明PA、PC為邊的三角形與以PD、PB為邊的三角形相似．由于圖中沒有這兩個三角形，所以考慮作輔助線AC和BD．要證△PAC∽△PDB．由已知條件可得∠APC與∠DPB相等．如能再找到一對角相等．如∠A＝∠D或∠C＝∠B．便可證得所求結(jié)論．如何尋找∠A＝∠D或∠C＝∠B．要想解決這個問題，我們需先進行下面的學(xué)習(xí)． Ⅱ．講授新課 [師]請同學(xué)們畫一個圓，以A、C為端點的弧所對的圓周角有多少個？(至少畫三個)它們的大小有什么關(guān)系？你是如何得到的？ [生]所對的圓周角有無數(shù)個，它們的大小相等，我是通過度量得到的． [師]大家想一想，我們能否用驗證的方法得到上圖中的∠ABC＝∠ADC＝∠AEC？(同學(xué)們互相交流、討論) [生]由圖可以看出，∠ABC、∠ADC和∠AEC是同弧()所對的圓周角，根據(jù)上節(jié)課我們所學(xué)的圓周角定理可知，它們都等于圓心角∠AOC的一半，所以這幾個圓周角相等． [師]通過剛才同學(xué)的學(xué)習(xí)，我們上面提出的問題∠A＝∠D或∠C＝∠B找到答案了嗎？ [生]找到了，它們屬于同弧所對的圓周角．由于它們都等于同弧所對圓心角的一半，這樣可知∠A＝∠D或∠C＝∠B． [師]如果我們把上面的同弧改成等弧，結(jié)論一樣嗎？ [生]一樣，等弧所對的圓心角相等，而圓周角等于圓心角的一半．這樣，我們便可得到等弧所對的圓周角相等． [師]通過我們剛才的探討，我們可以得到一個推論． 在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等． [師]若將上面推論中的“同弧或等弧”改為“同弦或等弦”，結(jié)論成立嗎？請同學(xué)們互相議一議． [生]如下圖，結(jié)論不成立．因為一條弦所對的圓周角有兩種可能，在弦不是直徑的情況下是不相等的． 注意：(1)“同弧”指“同一個圓”． (2)“等弧”指“在同圓或等圓中”． (3)“同弧或等弧”不能改為“同弦或等弦”． [師]接下來我們看下面的問題： 如下圖，BC是⊙O的直徑，它所對的圓周角是銳角、直角，還是鈍角？你是如何判斷的？(同學(xué)們互相交流、討論) [生]直徑BC所對的圓周角是直角，因為一條直徑將圓分成了兩個半圓，而半圓所對的圓心角是∠BOC＝180，所以∠BAC＝∠90． [師]反過來，在下圖中，如果圓周角∠BAC＝90，那么它所對的弦BC經(jīng)過圓心O嗎？為什么？ [生]弦BC經(jīng)過圓心O，因為圓周角∠BAC＝90．連結(jié)OB、OC，所以圓心角∠BOC＝180，即BOC是一條線段，也就是BC是⊙O的一條直徑． [師]通過剛才大家的交流，我們又得到了圓周角定理的又一個推論： 直徑所對的圓周角是直角；90的圓周角所對的弦是直徑． 注意：這一推論應(yīng)用非常廣泛，一般地，如果題目的已知條件中有直徑時，往往作出直徑上的圓周角——直角；如果需要直角或證明垂直時，往往作出直徑即可解決問題． [師]為了進一步熟悉推論，我們看下面的例題．(出示投影片3．3．2B) [例]如圖示，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到C，使AC＝AB，BD與CD的大小有什么關(guān)系？為什么？ [師生共析]由于AB是⊙O的直徑，故連接AD．由推論直徑所對的圓周角是直角，便可得AD⊥BC，又因為△ABC中，AC＝AB，所以由等腰三角形的三線合一，可證得BD＝CD． 下面哪位同學(xué)能敘述一下理由？ [生]BD＝CD．理由是： 連結(jié)AD． ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB＝90， 即AD⊥BC． 又∵AC＝AB， ∴BD＝CD． [師]通過我們學(xué)習(xí)圓周角定理及推論，大家互相交流，討論一下，我們探索上述問題時，用到了哪些方法？試舉例說明． [生]在得出本節(jié)的結(jié)論過程中，我們用到了度量與證明的方法．比如說在研究同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；還學(xué)到了分類與轉(zhuǎn)化的方法．比如說在探索圓周角定理過程中，定理的證明應(yīng)分三種情況，在這三種情況中，第一種情況是特殊情況，是證明的基礎(chǔ)，其他兩種情況都可以轉(zhuǎn)化為第一種情況來解決．再比如說，學(xué)習(xí)圓周角定義時，可由前面學(xué)習(xí)到的圓心角類比得出圓周角的概念…… Ⅲ．P107 隨堂練習(xí) 1．為什么有些電影院的坐位排列(橫排)呈圓弧形？說一說這種設(shè)計的合理性． 答：有些電影院的坐位排列呈圓弧形，這樣設(shè)計的理由是盡量保證同排的觀眾視角相等． 2．如下圖，哪個角與∠BAC相等？ 答：∠BDC＝∠BAC． 3．如下圖，⊙O的直徑AB＝10cm，C為⊙O上的一點，∠ABC＝30，求AC的長． 解：∵AB為⊙O的直徑． ∴∠ACB＝90． 又∵∠ABC＝30， ∴AC＝AB＝10＝5(cm)． 4．小明想用直角尺檢查某些工件是否恰好為半圓形．根據(jù)下圖，你能判斷哪個是半圓形？為什么？ 答：圖(2)是半圓形、理由是：90的圓周角所對的弦是直徑． Ⅳ．下面我們一起來看一個問題：做一做(出示投影片3．3．2C) 船在航行過程中，船長常常通過測定角度來確定是否會遇到暗礁．如下圖，A、B表示燈塔，暗礁分布在經(jīng)過A、B兩點的一個圓形區(qū)域內(nèi)，C表示一個危險臨界點，∠ACB就是“危險角”．當(dāng)船與兩個燈塔的夾角大于“危險角”時，就有可能觸礁；當(dāng)船與兩個燈塔的夾角小于“危險角”時，就能避免觸礁． (1)當(dāng)船與兩個燈塔的夾角∠α大于“危險角”時，船位于哪個區(qū)域？為什么？ (2)當(dāng)船與兩個燈塔的夾角∠α小于“危險角”時，船位于哪個區(qū)域？為什么？ 分析：這是一個有實際背景的問題．由題意可知：“危險角”∠ACB實際上就是圓周角．船P與兩個燈塔的夾角為∠α，P有可能在⊙O外，P有可能在⊙O內(nèi)，當(dāng)∠α＞∠C時，船位于暗礁區(qū)域內(nèi)；當(dāng)∠α＜∠C時，船位于暗礁區(qū)域外，我們可采用反證法進行論證． 解：(1)當(dāng)船與兩個燈塔的夾角∠α大于“危險角”∠C時，船位于暗礁區(qū)域內(nèi)(即⊙O內(nèi))．理由是： 連結(jié)BE，假設(shè)船在⊙O上，則有∠α＝∠C，這與∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假設(shè)船在⊙O外，則有∠α＜∠AEB，即∠α＜∠C，這與∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O外．因此，船只能位于⊙O內(nèi)． (2)當(dāng)船與兩個燈塔的夾角∠α小于“危險角”∠C時，船位于暗礁區(qū)域外(即⊙O外)．理由是： 假設(shè)船在⊙O上，則有∠α＝∠C，這與∠α＜∠C矛盾，所以船不可能在∠O上；假設(shè)船在⊙O內(nèi)，則有∠α＞∠AEB，即∠α＞∠C．這與∠α＜∠C矛盾，所以船不可能在⊙O內(nèi)，因此，船只能位于⊙O外． 注意：用反證法證明命題的一般步驟： (1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立； (2)從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾． (3)由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確． Ⅴ．課時小結(jié) 本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了圓周角定理的2個推論，結(jié)合我們上節(jié)課學(xué)到的圓周角定理，我們知道，在同圓或等圓中，根據(jù)弦及其所對的圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系，實現(xiàn)了圓中這些量之間相等關(guān)系的轉(zhuǎn)化，而圓周角定理建立了圓心角與圓周角之間的關(guān)系，因此，最終實現(xiàn)了圓中的角(圓心角和圓周角)．線段(弦、弦心距)、弧等量與量之間相等關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，從而為研究圓的性質(zhì)提供了有力的工具和方法． Ⅵ．課后作業(yè) 課本P108 習(xí)題3．5 Ⅶ．活動與探究 1．如下圖，BC為⊙O的直徑，AD⊥BC于D，P是上一動點，連結(jié)PB分別交AD、AC于點E、F． (1)當(dāng)時，求證：AE＝EB； (2)當(dāng)點P在什么位置時，AF＝EF．證明你的結(jié)論． [過程](1)連結(jié)AB，證AE＝EB．需證∠ABE＝∠BAE． (2)執(zhí)果索因?qū)l件：要AF＝EF，即要∠A＝∠AEF，而∠AEF＝∠BED，而要∠A＝∠BED，只需∠B＝∠C，從而轉(zhuǎn)化為． [結(jié)果](1)證明：延長AD交⊙O于點M，連結(jié)AB、BM． ∵BC為⊙O的直徑，AD⊥BC于D． ∴． ∴∠BAD＝∠BMD． 又∵， ∴∠ABP＝∠BMD． ∴∠BAD＝∠ABP． ∴AE＝BE． (2)當(dāng)時，AF＝EF． 證明：∵， ∴∠PBC＝∠ACB． 而∠AEF＝∠BED＝90－∠PBC， ∠EAF＝90－∠ACB， ∴∠AEF＝∠EAF． ∴AF＝EF． 板書設(shè)計 3．3．2 圓周角和圓心角的關(guān)系(二) 一、推論一： 在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等． 二、推論二： 直徑所對的圓周角是直角；90的圓周角所對的弦是直徑． 三、例題 四、隨堂練習(xí) 五、做一做(反證法) 六、課時小結(jié) 七、課后作業(yè)