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2019-2020年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 9.3《運(yùn)用公式法》教案 北京課改版 教學(xué)目標(biāo) 1.使學(xué)生會(huì)分析和判斷一個(gè)多項(xiàng)式是否為完全平方式，初步掌握運(yùn)用完全平方式把多項(xiàng)式分解因式的方法； 2.理解完全平方式的意義和特點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的判斷能力. 3．進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生全面地觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題和逆向思維的能力． 4．通過(guò)運(yùn)用公式法分解因式的教學(xué)，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)“把一個(gè)代數(shù)式看作一個(gè)字母”的換元思想。 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn) 重點(diǎn)：運(yùn)用完全平方式分解因式. 難點(diǎn)：靈活運(yùn)用完全平方公式公解因式. 教學(xué)過(guò)程 設(shè)計(jì) 一、復(fù)習(xí) 1.問(wèn)：什么叫把一個(gè)多項(xiàng)式因式分解?我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些因式分解的方法? 答：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解.我們學(xué)過(guò)的因式分解的方法有提取公因式法及運(yùn)用平方差公式法. 2.把下列各式分解因式： (1)ax4－ax2 (2)16m4－n4. 解 (1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1) (2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2 =(4m2+n2)(4m2－n2) =(4m2+n2)(2m+n)(2m－n). 問(wèn)：我們學(xué)過(guò)的乘法公式除了平方差公式之外，還有哪些公式? 答：有完全平方公式. 請(qǐng)寫出完全平方公式. 完全平方公式是： (a+b)2=a2+2ab+b2, (a－b)2=a2－2ab+b2. 這節(jié)課我們就來(lái)討論如何運(yùn)用完全平方公式把多項(xiàng)式因式分解. 二、新課 和討論運(yùn)用平方差公式把多項(xiàng)式因式分解的思路一樣，把完全平方公式反過(guò)來(lái)，就得到 a2+2ab+b2=(a+b)2； a2－2ab+b2=(a－b)2. 這就是說(shuō)，兩個(gè)數(shù)的平方和，加上(或者減去)這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的兩個(gè)公式就是完全平方公式.運(yùn)用這兩個(gè)式子，可以把形式是完全平方式的多項(xiàng)式分解因式. 問(wèn)：具備什么特征的多項(xiàng)是完全平方式? 答：一個(gè)多項(xiàng)式如果是由三部分組成，其中的兩部分是兩個(gè)式子(或數(shù))的平方，并且這兩部分的符號(hào)都是正號(hào)，第三部分是上面兩個(gè)式子(或數(shù))的乘積的二倍，符號(hào)可正可負(fù)，像這樣的式子就是完全平方式. 問(wèn)：下列多項(xiàng)式是否為完全平方式?為什么? (1)x2+6x+9； (2)x2+xy+y2； (3)25x4－10x2+1； (4)16a2+1. 答：(1)式是完全平方式.因?yàn)閤2與9分別是x的平方與3的平方，6x=2x3，所以 x2+6x+9=(x+3)2. (2)不是完全平方式.因?yàn)榈谌糠直仨毷?xy. (3)是完全平方式.25x4=(5x)2，1=1 ，10x2=25x21，所以 25x4－10x2+1=(5x－1)2. (4)不是完全平方式.因?yàn)槿钡谌糠? 請(qǐng)同學(xué)們用箭頭表示完全平方公式中的a，b與多項(xiàng)式9x2+6xy+y2中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)，其中a=?b=?2ab=? 答：完全平方公式為： 其中a=3x，b=y，2ab=2(3x)y. 例1 把25x4+10x2+1分解因式. 分析：這個(gè)多項(xiàng)式是由三部分組成，第一項(xiàng)“25x4”是(5x2)的平方，第三項(xiàng)“1”是1的平方，第二項(xiàng)“10x2”是5x2與1的積的2倍.所以多項(xiàng)式25x4+10x2+1是完全平方式，可以運(yùn)用完全平方公式分解因式. 解 25x4+10x2+1=(5x2)2+25x21+12=(5x2+1)2. 例2 把1－m+m2分解因式. 問(wèn)：請(qǐng)同學(xué)分析這個(gè)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，是否可以用完全平方公式分解因式?有幾種解法? 答：這個(gè)多項(xiàng)式由三部分組成，第一項(xiàng)“1”是1的平方，第三項(xiàng)“m2”是的平方，第二項(xiàng)“－m”是1與m/4的積的2倍的相反數(shù)，因此這個(gè)多項(xiàng)式是完全平方式，可以用完全平方公式分解因式. 解法1 1－m+m2=1－21+（）2=（1－）2. 解法2 先提出 ，則 1－m+m2=(16－8m+m2) =(42－24m+m2) =(4－m)2. 三、課堂練習(xí)(投影) 1.填空： (1)x2－10x+（ ）2=（ ）2； (2)9x2+（ ）+4y2=（ ）2； (3)1－（ ）+m2/9=（ ）2. 2.下列各多項(xiàng)式是不是完全平方式?如果是，可以分解成什么式子？如果不是，請(qǐng)把多 項(xiàng)式改變?yōu)橥耆椒绞? (1)x2－2x+4； (2)9x2+4x+1； (3)a2－4ab+4b2； (4)9m2+12m+4； (5)1－a+a2/4. 3.把下列各式分解因式： (1)a2－24a+144； (2)4a2b2+4ab+1； (3)19x2+2xy+9y2； (4)14a2－ab+b2. 答案： 1.(1)25，(x－5) 2； (2)12xy，(3x+2y) 2； (3)2m/3，（1－m3）2. 2.(1)不是完全平方式，如果把第二項(xiàng)的“－2x”改為“－4x”，原式就變?yōu)閤2－4x+4，它是完全平方式；或把第三項(xiàng)的“4”改為1，原式就變?yōu)閤2－2x+1，它是完全平方式. (2)不是完全平方式，如果把第二項(xiàng)“4x”改為“6x”，原式變?yōu)?x2+6x+1，它是完全平方式. (3)是完全平方式，a2-4ab+4b2=(a－2b)2. (4)是完全平方式，9m2+12m+4=(3m+2) 2. (5)是完全平方式，1－a+a2/4=（1－a2）2. 3.(1)(a－12) 2； (2)(2ab+1) 2； (3)(13x+3y) 2； (4)（12a－b）2. 四、小結(jié) 運(yùn)用完全平方公式把一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的主要思路與方法是： 1.首先要觀察、分析和判斷所給出的多項(xiàng)式是否為一個(gè)完全平方式，如果這個(gè)多項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，再運(yùn)用完全平方公式把它進(jìn)行因式分解.有時(shí)需要先把多項(xiàng)式經(jīng)過(guò)適當(dāng)變形，得到一個(gè)完全平方式，然后再把它因式分解. 2.在選用完全平方公式時(shí)，關(guān)鍵是看多項(xiàng)式中的第二項(xiàng)的符號(hào)，如果是正號(hào)，則用公式a2+2ab+b2=(a+b) 2；如果是負(fù)號(hào)，則用公式a2－2ab+b2=(a－b) 2. 五、作業(yè) 把下列各式分解因式： 1.(1)a2+8a+16； (2)1－4t+4t2； (3)m2－14m+49； (4)y2+y+1/4. 2.(1)25m2－80m+64； (2)4a2+36a+81； (3)4p2－20pq+25q2； (4)16－8xy+x2y2； (5)a2b2－4ab+4； (6)25a4－40a2b2+16b4. 3.(1)m2n－2mn+1； (2)7am+1－14am+7am－1； 4.(1) x －4x； (2)a5+a4+ a3. 答案： 1.(1)(a+4)2； (2)(1－2t)2； (3)(m－7) 2； (4)（y+12）2. 2.(1)(5m－8) 2； (2)(2a+9) 2； (3)(2p－5q) 2； (4)(4－xy) 2； (5)(ab－2) 2； (6)(5a2－4b2) 2. 3.(1)(mn－1) 2； (2)7am－1(a－1) 2. 4.(1) x(x+4)(x－4)； (2)14a3 (2a+1) 2. 課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明 1.利用完全平方公式進(jìn)行多項(xiàng)式的因式分解是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，因此在教學(xué)設(shè)計(jì)中，重點(diǎn)放在判斷一個(gè)多項(xiàng)式是否為完全平方式上，采取啟發(fā)式的教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生積極思考問(wèn)題，從中培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì). 2.本節(jié)課要求學(xué)生掌握完全平方公式的特點(diǎn)和靈活運(yùn)用公式把多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的方法.在教學(xué)設(shè)計(jì)中安排了形式多樣的課堂練習(xí)，讓學(xué)生從不同側(cè)面理解完全平方公式的特點(diǎn).例1和例2的講解可以在老師的引導(dǎo)下，師生共同分析和解答，使學(xué)生當(dāng)堂能夠掌握運(yùn)用平方公式進(jìn)行完全因式分解的方法.