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2019年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次月考試題 理 一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分。下列各小題中，所給出的四個(gè)答案中有且僅有一個(gè)是正確的，把答案填在答題卡中相應(yīng)的位置上） 1．在平均變化率的定義中，自變量在處的增量應(yīng)滿足（ ） A． B． C． D． 2．已知命題：，則該命題的否定為（ ） A． B． C． D． 3．三棱柱中，若，，， 則（ ） A． B． C． D． 4．函數(shù)在是減函數(shù)，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 5．計(jì)算：（ ） A．－1 B．1 C．8 D．－8 6．若函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在第四象限， 則導(dǎo)函數(shù)的圖象是右圖中的（ ） 7．“”是“函數(shù)在處有極值”的（ ） A．充分不必要條件 B． 必要不充分條件 C． 充要條件 D． 既不充分也不必要條件 8．若在內(nèi)可導(dǎo)，且，則 的值為（ ） A B C D 9．方程表示的曲線為（ ） A．拋物線 B．橢圓 C．雙曲線 D．圓 10．已知函數(shù)的圖像如圖所示，的導(dǎo)函數(shù)， 則下列數(shù)值排序正確的（ ） A． B． C． D． 11．在棱長為的正方體內(nèi)任取一點(diǎn)，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離小等于的概率為（ ） A． B． C． D． 12．已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且，若、、成等比數(shù)列，則等于（ ） A． B． C． D． 二、填空題：（本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在答題卡中相應(yīng)的橫線上） 13．已知向量，若，則 * * * * * ； 14．一條長為的鐵絲截成兩段，分別彎成兩個(gè)正方形，要使兩個(gè)正方形的面積和最小，則兩個(gè)正方形的邊長各是* * * * * ，* * * * *； 15．已知點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的射影是，，則的最小值是* * * * * ； 16．給出以下四個(gè)命題： ① 所有的正方形都是矩形； ② ，使得； ③ 在研究變量和的線性相關(guān)性時(shí)，線性回歸直線方程必經(jīng)過點(diǎn)； ④ 方程表示橢圓的充要條件是． 其中正確命題的序號(hào)是* * * * * * * * (寫出所有正確命題的序號(hào)). 三、解答題：（本大題共6小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟） 17．（本小題滿分12分） 如圖，直三棱柱，底面中，，，棱，分別是的中點(diǎn)． (1) 求的值； (2) 求直線與平面所成的角的正弦值． 18．（本小題滿分12分） 設(shè)向量，，其中． （1）請列出有序數(shù)組的所有可能結(jié)果； （2）記“使得成立的”為事件，求事件發(fā)生的概率． 19．（本小題滿分12分） 已知函數(shù)在時(shí)有極值，其圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行． （1）求的值和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）若當(dāng)時(shí)，恒有，試確定的取值范圍． 20．（本小題滿分12分） 正四棱柱中，， 點(diǎn)在上，且． (1) 證明：平面； (2) 求二面角的余弦值． 22.（本小題滿分13分） 已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）過橢圓的右焦點(diǎn)作與坐標(biāo)軸不垂直的直線，交橢圓于、兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，求的取值范圍； （3）設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得、、三點(diǎn)共線？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．  1－12． DCD BCA BCA BDA 13． 14． 15． 16．① ③ 注：14題對一個(gè)得2分 17．（本小題滿分12分） 解：（1）由， 得，即 ∴ 以為原點(diǎn)，分別以所在直線 為軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系， 則，∴ ，， 有． ……6分 （2），，，， 設(shè)平面的法向量， 則，?。? 設(shè)直線與平面所成的角為， ∴， 故直線與平面所成的角的正弦值是． ……………………12分 18．（本小題滿分12分） 解：(1) 有序數(shù)組的所有可能結(jié)果為： （1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4）， （3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共有16個(gè)． ……6分 (2) ∵ ，∴ 由，得，即．由于， 故事件A包含的基本條件為（2, 1）和（3,4）共2個(gè)． 又基本事件的總數(shù)為16，∴ ． 故事件發(fā)生的概率是． …………………12分 （2） 由（1）得：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， ∴ 當(dāng)時(shí)取得極小值是，又∴， ∴ 當(dāng)時(shí)，恒有． ……………………12分 注：（1）中單調(diào)區(qū)間也可是開區(qū)間；（2）中可由（1）列表得． 20．（本小題滿分12分） 解：（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、DC、DD1所在 的直線為軸、y軸、z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系． 則． ，． 有 ，， 故，．又，所以平面． ………… 6分（2）由（1）得是平面的一個(gè)法向量，設(shè)向量是平面的法向 量，則 ，令，則，， ∴ 取． ∴ 所以二面角的余弦值為． ………………………12分 21.（本小題滿分13分） 解：（1）依題意有． ……………………3分 （2）由（1）得，則在區(qū)間上有意義， 即對恒成立，得， 令 ，先證其單調(diào)遞增： 法1∵ 在上恒成立，故在遞增， 法2： 任取，則 因?yàn)?，則，故在遞增， 則，得．…8分 （3）構(gòu)造函數(shù) 結(jié)合圖象有： ①當(dāng)時(shí)，正根的個(gè)數(shù)為0； 如圖一 ②當(dāng)時(shí)，正根的個(gè)數(shù)為1； 如圖二 ③當(dāng)時(shí)，正根的個(gè)數(shù)為2； 如圖三 ……………………13分 22.（本小題滿分13分） 解：（1）設(shè)橢圓方程為，由題意， 又 ，∴，故橢圓方程為 ． …4分 （2）由（1）得右焦點(diǎn)，則，設(shè)的方程為（）代入，得，，∴， 設(shè)則，， 且， ． ∴ ，， 由，得，即 ， ∴ 當(dāng)時(shí)，有成立． …………………………9分 （3）在軸上存在定點(diǎn)，使得、、三點(diǎn)共線．依題意， 直線的方程為， 令，則 ， 點(diǎn)在直線上， ∴ ， ∴ ， ∴ 在軸上存在定點(diǎn)，使得、、三點(diǎn)共線．……………13分