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2019年高考數學二輪復習 三角函數的圖象與性質 1．(xx陜西高考)函數f(x)＝cos的最小正周期是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B．π C．2π D．4π 【解析】　∵T＝，∴T＝＝π，故選B. 【答案】　B 2．(xx全國大綱高考)設a＝sin 33，b＝cos 55，c＝tan 35，則(　　) A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b 【解析】　b＝cos 55＝sin 35>a＝sin 33，c＝tan 35＝>b＝sin 35. ∴c>b>a. 【答案】　C 3．(xx四川高考)為了得到函數y＝sin(2x＋1)的圖象，只需把函數y＝sin 2x的圖象上所有的點(　　) A．向左平行移動個單位長度 B．向右平行移動個單位長度 C．向左平行移動1個單位長度 D．向右平行移動1個單位長度 【解析】　∵y＝sin(2x＋1)＝sin [2(x＋)]，∴只需將y＝sin 2x的圖象向左平移個單位即可，故選A. 【答案】　A 4．(xx四川高考)已知函數f(x)＝sin. (1)求f(x)的單調遞增區(qū)間； (2)若α是第二象限角，f＝coscos 2α，求cos α－sin α的值． 【解】　(1)因為函數y＝sin x的單調遞增區(qū)間為，k∈Z， 由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z， 得－＋≤x≤＋，k∈Z. 所以，函數f(x)的單調遞增區(qū)間為 ，k∈Z. (2)由已知，有sin ＝cos(cos 2α－sin 2α)， 所以sin αcos＋cos αsin ＝(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)． 當sin α＋cos α＝0時，由α是第二象限角，知α＝＋2kπ，k∈Z. 此時，cos α－sin α＝－. 當sin α＋cos α≠0時，有(cos α－sin α)2＝. 由α是第二象限角，知cos α－sin α<0， 此時cos α－sin α＝－. 綜上所述，cos α－sin α＝－或－. 從近三年高考來看，該部分高考命題的熱點考向為： 1．三角函數的概念、誘導公式及基本關系 ①本考向主要涉及三角函數的定義、同角三角函數間的基本關系式及誘導公式．該類問題出題背景選擇面廣，易形成知識交匯題，主要考查學生的運算能力和轉化能力． ②試題多以選擇題和填空題的形式出現，屬于中低檔題． 2．三角函數的圖象、解析式與變換 ①三角函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象解析式與變換，年年都會在高考中出現．試題背景大多是給出圖象或解析式中某些量滿足的一些條件，求解析式或另外一些量．多數考查周期、頻率、振幅、最值、對稱中心、對稱軸等概念以及圖象的變換． ②試題主要以選擇題、填空題為主，屬低、中檔題；有時也出現在解答題的某一問中，考查學生的圖象變換的表述能力，屬于中檔題． 3．三角函數的性質 ①有關三角函數的單調性、奇偶性、周期性及最值問題(特別y＝Asin(ωx＋φ)的性質)在歷年高考中都會考查，是高考考查的重點內容．試題背景呈現多樣性、選擇面廣，往往與三角恒等變換、圖象性質、平面向量等交匯命題． ②三種題型都有可能出現，屬中、低檔題. 三角函數的概念、誘導公式及基本關系 【例1】　(1)(xx全國大綱高考)已知角α的終邊經過點(－4,3)，則cos α＝(　　) A. B. C．－ D．－ (2)(xx遼寧五校第二次聯考)若θ∈(，π)，則＝(　　) A．sin θ－cos θ B．cos θ－sin θ C．(sin θ－cos θ) D．sin θ＋cos θ 【解析】　(1)由定義cos α＝＝＝－. 故選D. (2) ＝＝|sin θ－cos θ|，又θ∈(，π)， ∴sin θ－cos θ>0， 故原式＝sin θ－cos θ. 【答案】　(1)D　(2)A 【規(guī)律感悟】　三角函數的定義是求三角函數值的基礎，同角三角函數間的關系、誘導公式以及三角函數式的化簡在運算中起著重要的作用，解題要時注意依據已知條件正確地選擇公式，并注意應用公式所具備的條件． (1)當角的終邊經過的點不固定時，需要進行分類討論，特別是當角的終邊在過坐標原點的一條直線上時，根據定義求三角函數值時，要把這條直線看做兩條射線，分別求解． (2)在利用誘導公式和同角三角函數關系式時，一定要特別注意符號．一定要理解“奇變偶不變，符號看象限”的意思；同角三角函數的平方關系中，開方后的符號要根據角所在的象限確定． [創(chuàng)新預測] 1．(1)(xx河南三市三模)已知角θ的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊落在直線y＝3x上，則cos 2θ＝ (　　) A. B. C．－ D．－ 【解析】　由已知條件知：①當終邊落在第一象限時，在直線y＝3x上取一點P(1,3)，則cos θ＝，cos 2θ＝2cos2θ－1＝－. ②當終邊落在第三象限時，在直線y＝3x上取一點P(－1，－3)，則cos θ＝－，此時cos 2θ＝－.故選D. 【答案】　D (2)(xx遼寧五校聯考)已知cos(＋α)＝，且α∈(，)，則tan α＝(　　) A. B. C．－ D． 【解析】　因為cos(＋α)＝，所以sin α＝－，顯然α在第三象限，所以cos α＝－，故tan α＝.故選B. 【答案】　B 【例2】　(1)(xx衡水中學二調)已知函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，|φ|<)的部分圖象如圖所示，為了得到g(x)＝sin 2x的圖象，則只需將f(x)的圖象(　　) A．向右平移個長度單位 B．向右平移個長度單位 C．向左平移個長度單位 D．向左平移個長度單位 (2)(xx福建高考)將函數f(x)＝sin(2x＋θ)(－<θ<)的圖象向右平移φ(φ>0)個單位長度后得到函數g(x)的圖象，若f(x)，g(x)的圖象都經過點P(0，)，則φ的值可以是(　　) A. B. C. D. 【解析】　(1)由題中圖象可知A＝1，T＝4(－)＝π，則ω＝2.因為圖象過點(，－1)，所以sin(2＋φ)＝－1.則＋φ＝2kπ－(k∈Z)，φ＝2kπ－(k∈Z)，因為|φ|<，所以φ＝.則f(x)＝sin(2x＋)＝sin 2(x＋)，所以向右平移個長度單位．故選A. (2)先求出解析式中的字母的取值，再利用代入法確定答案． ∵P(0，)在f(x)的圖象上，∴f(0)＝sin θ＝. ∵θ∈(－，)，∴θ＝，∴f(x)＝sin(2x＋)， ∴g(x)＝sin[2(x－φ)＋]． ∵g(0)＝，∴sin(－2φ)＝. 驗證，φ＝π時， sin(－2φ)＝sin(－π)＝sin(－π)＝成立． 【答案】　(1)A　(2)B 【規(guī)律感悟】　1.確定函數y＝Asin(ωx＋φ)＋B解析式的方法： (1)給出y＝Asin(ωx＋φ)的圖象求解析式，常根據“五點法”中的五個點求解，其中一般把第一個零點作為突破口，可以從圖象的升降找準第一個零點的位置． (2)給出y＝Asin(ωx＋φ)＋B的圖象求解析式，參數A、B， A＝，B＝； 參數ω、φ的確定方式參照(1)． 2．函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象變換的技巧及注意事項： (1)函數圖象的平移變換規(guī)則是“左加右減”． (2)在變換過程中務必分清先相位變換，還是先周期變換． (3)變換只是相對于其中的自變量x而言的，如果x的系數不是1，就要把這個系數提取后再確定變換的單位長度和方向． [創(chuàng)新預測] 2．(1)(xx江蘇高考)已知函數y＝cosx與y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)，它們的圖象有一個橫坐標為的交點，則φ的值是________． 【解析】　根據題意，將x＝代入可得 cos＝sin， 即sin＝，∴＋φ＝kπ(k∈Z)．又∵φ∈[0，π)，∴φ＝. 【答案】　 (2)(xx浙江高考)為了得到函數y＝sin 3x＋cos 3x的圖象，可以將函數y＝cos 3x的圖象(　　) A．向右平移個單位 B．向右平移個單位 C．向左平移個單位 D．向左平移個單位 【解析】　因為y＝sin 3x＋cos 3x＝cos(3x－)，所以將y＝cos 3x的圖象向右平移個單位后可得到 y＝cos(3x－)的圖象． 【答案】　A 【例3】　(1)(xx北京高考)設函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數，A>0，ω>0)．若f(x)在區(qū)間上具有單調性，且f＝f＝－f，則f(x)的最小正周期為________． (2)(xx天津高考)已知函數f(x)＝cos xsin－cos 2x＋，x∈R. ①求f(x)的最小正周期； ②求f(x)在閉區(qū)間上的最大值和最小值． 【解析】　(1)因為f(x)在區(qū)間上單調且f＝f＝－f， 所以f(x)的圖象與x軸的一個交點為且與其相鄰的最值點的橫坐標為， ∴＝－＝，∴T＝π. 【答案】　π (2)【解】?、儆梢阎?，有 f(x)＝cos x－cos 2x＋ ＝sin xcos x－cos 2x＋ ＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋ ＝sin 2x－cos 2x ＝sin. 所以，f(x)的最小正周期T＝＝π. ②因為f(x)在區(qū)間上是減函數，在區(qū)間上是增函數． f＝－，f＝－，f＝. 所以，函數f(x)在閉區(qū)間上的最大值為，最小值為－. 【規(guī)律感悟】　函數y＝Asin(ωx＋φ)的性質及應用的求解思路： 第一步：先借助三角恒等變換及相應三角函數公式把待求函數化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式； 第二步：把“ωx＋φ”視為一個整體，借助復合函數性質求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的單調性及奇偶性、最值、對稱性等問題． [創(chuàng)新預測] 3．(1)(預測題)已知ω＞0，函數f(x)＝sin(ωx＋)在(，π)上單調遞減，則ω的取值范圍是(　　) A．[，] B．[，] C．(0，] D．(0,2] 【解析】　∵＜x＜π，∴＜ωx＜ωπ，＋＜ωx＋＜ωπ＋.只須∴≤ω≤.故選A. 【答案】　A (2)(xx福建高考)已知函數f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)． ①求f()的值； ②求函數f(x)的最小正周期及單調遞增區(qū)間． 【解】　法一?、賔()＝2cos (sin ＋cos ) ＝－2cos (－sin －cos ) ＝2. ②因為f(x)＝2sin xcos x＋2cos2 x ＝sin 2x＋cos 2x＋1 ＝sin(2x＋)＋1， 所以T＝＝π.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 所以f(x)的單調遞增區(qū)間為[kπ－，kπ＋]，k∈Z. 法二　f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x ＝sin 2x＋cos 2x＋1 ＝sin(2x＋)＋1. ①f()＝sin＋1 ＝sin＋1 ＝2. ②T＝＝π. 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 所以f(x)的單調遞增區(qū)間為[kπ－，kπ＋]，k∈Z. [總結提升]　通過本節(jié)課的學習，需掌握以下三點 失分盲點 1．(1)忽視符號判斷：在利用同角三角函數的平方關系時，若開方，要特別注意判斷符號． (2)忽視化簡求值原則：利用誘導公式進行化簡求值時，先利用公式化任意角的三角函數為銳角三角函數，其原則：負化正，大化小，化到銳角為終了． (3)忽視隱含條件：解題時容易忽視對條件的深刻挖掘，直接根據已知條件確定符號，擴大角的范圍致誤． (4)忽視函數名稱： 在平移變換中易忽視平移前后兩個函數的名稱變化，若不一致，應先利用誘導公式化為同名函數． (5)錯誤理解平移單位數： 由函數y＝Asin ωx的圖象得到y＝Asin(ωx＋φ)的圖象時，需平移的單位數是，而不是|φ|. 2．求y＝Asin(ωx＋φ)的單調區(qū)間時，注意以下幾點： (1)若ω<0，應先利用誘導公式將函數化為y＝－Asin(－ωx－φ)．再結合y＝sin x的單調性求其單調區(qū)間． (2)別忘掉寫＋2kπ，或＋kπ等，別忘掉寫k∈Z. (3)書寫單調區(qū)間時，不要把弧度和度混在一起，如[0,90]應寫為[0，]． 3．y＝sin |x|不是周期函數，y＝cos |x|是以2π為最小正周期的函數，y＝|sin x|與y＝|cos x|都是以π為最小正周期的函數． 4．研究三角函數的性質或作三角函數圖象時，一定要將三角函數式化為y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式． 答題指導 (1)看到三角函數的化簡求值問題，想到同角三角函數關系式，誘導公式及兩角和與差及倍角的正弦、余弦、正切公式的應用，注意結合一些角的變換技巧，在變換中注意三角函數值符號的確定． (2)看到有關三角函數的問題時，想到三角函數的圖象及性質． (3)看到形如函數y＝Asin(ωx＋φ)形式的問題，想到整體思想方法的運用，清楚函數的平 移變換及伸縮變換規(guī)律. 三角函數圖象變換中的推理論證 1．在解答數學試題中起主要作用的數學能力是邏輯推理能力、空間想象能力和運算求解能力，運算求解實際是簡單的邏輯推理，邏輯推理能力在數學解題中占有重要地位．高考從不同的側面考查邏輯推理能力． 2．三角函數從解析式看是數的內容，但畫出其圖象后又是形的內容，三角函數的解析式和圖象從數與形兩個方面刻畫了同一種變化規(guī)律．在三角函數問題中有時要通過平移、伸縮變換由一個函數圖象得到另一個函數圖象，圖象變換的同時函數的解析式也隨之變化．在三角函數的圖象與解析式的變化中，從一個方面得到另一個方面不單純是運算，邏輯推理也占有重要成分． 方法規(guī)律 (1)利用三角函數的圖象與性質求三角函數值域的方法．(2)利用公式求三角函數的周期的方法．(3)利用整體代換求三角函數的單調區(qū)間的方法．(4)利用平移變換與伸縮變換求函數的解析式的方法． 【典例】　函數f(x)＝3sin(2x＋)的部分圖象如圖所示． (1)寫出f(x)的最小正周期及圖中x0，y0的值； (2)求f(x)在區(qū)間[－，－]上的最大值和最小值． 【解】　(1)f(x)的最小正周期為π， x0＝，y0＝3. (2)因為x∈[－，－]，所以2x＋∈[－，0]． 于是，當2x＋＝0，即x＝－時，f(x)取得最大值0； 當2x＋＝－，即x＝－時，f(x)取得最小值－3. 【規(guī)律感悟】　三角函數的性質是高考重點內容之一，本試題圍繞圖象、周期性、單調性、最值等來考查，全面考查分析問題、解決問題的能力以及運算能力、推理論證能力．題目特點常表現為通過周期性、奇偶性、對稱性來判斷函數解析式，再依據解析式研究單調性和最值． 建議用時 實際用時 錯題檔案 45分鐘 一、選擇題 1．(原創(chuàng)題)下列各選項中，與sin 2 015最接近的數是(　　) A．－　　　　　　　B. C. D．－ 【解析】　sin 2 015＝sin(2 160－145)＝－sin 145. ∵sin 145接近sin 150，∴sin 2 015最接近的數是－，故選A. 【答案】　A 2．已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，則tan α＝(　　) A．－1 B．－ C. D．1 【解析】　∴(cos α＋1)2＝0. ∴cos α＝－，sin α＝，∴tan α＝＝－1. 【答案】　A 3．(xx山東高考)將函數y＝sin(2x＋φ)的圖象沿x軸向左平移個單位后，得到一個偶函數的圖象，則φ的一個可能取值為(　　) A. B. C．0 D．－ 【解析】　利用平移規(guī)律求得解析式，驗證得出答案． y＝sin(2x＋φ)y＝sin[2(x＋)＋φ]＝ sin(2x＋＋φ)． 當φ＝時，y＝sin(2x＋π)＝－sin 2x，為奇函數； 當φ＝時，y＝sin(2x＋)＝cos 2x，為偶函數； 當φ＝0時，y＝sin(2x＋)，為非奇非偶函數； 當φ＝－時，y＝sin 2x，為奇函數．故選B. 【答案】　B 4．(xx遼寧高考)將函數y＝3sin的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數(　　) A．在區(qū)間上單調遞減 B．在區(qū)間上單調遞增 C．在區(qū)間上單調遞減 D．在區(qū)間上單調遞增 【解析】　y＝3sin的圖象y＝－3sin的圖象，由圖象知選B. 【答案】　B 5．(xx天津高考)已知函數f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，x∈R.在曲線y＝f(x)與直線y＝1的交點中，若相鄰交點距離的最小值為，則f(x)的最小正周期為(　　) A. B. C．π D．2π 【解析】　f(x)＝2sin(ωx＋)，由f(x)＝1，得sin(ωx＋)＝， ∴ωx＋＝＋2kπ或ωx＋＝＋2mπ(k，m∈Z)． ∴x1＝，x2＝＋. ∴|x2－x1|min＝. 取k＝0，m＝0，∴＝. ∴ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋)，∴T＝π.故選C. 【答案】　C 二、填空題 6．(xx大慶質檢)已知α∈(，π)，sin α＝，則tan 2α＝________. 【解析】　∵α∈(，π)，sin α＝，∴cos α＝－，tan α＝－2，tan 2α＝＝. 【答案】　 7．(xx重慶高考)將函數f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，－≤φ＜)圖象上每一點的橫坐標縮短為原來的一半，縱坐標不變，再向右平移個單位長度得到y＝sin x 的圖象，則f()＝________. 【解析】　y＝sin xy＝sin(x＋)y＝sin(x＋) ∴f()＝sin(＋)＝sin＝. 【答案】　 8．(xx遼寧三校聯考)已知函數f(x)＝|cos x|sin x，給出下列五個說法： ①f()＝；②若|f(x1)|＝|f(x2)|，則x1＝x2＋kπ(k∈Z)；③f(x)在區(qū)間上單調遞增；④函數f(x)的周期為π；⑤f(x)的圖象關于點(－，0)成中心對稱．其中正確說法的序號是________． 【解析】?、賔()＝f(671π＋) ＝|cos(671π＋)|sin(671π＋) ＝cos (－sin )＝－，正確． ②令x1＝－，x2＝，則|f(x1)|＝|f(x2)|，但x1－x2＝－＝－，不滿足x1＝x2＋kπ(k∈Z)，不正確． ③f(x)＝， ∴f(x)在上單調遞增，正確． ④f(x)的周期為2π，不正確． ⑤∵f(－π＋x)＝－|cos x|sin x， f(－x)＝－|cos x|sin x， ∴f(－π＋x)＋f(－x)≠0， ∴f(x)的圖象不關于點(－，0)成中心對稱，∴不正確． 綜上可知，正確說法的序號是①③. 【答案】?、佗? 三、解答題 9．(xx重慶高考)已知函數f(x)＝sin(ωx＋φ)的圖象關于直線x＝對稱，且圖象上相鄰兩個最高點的距離為π. (1)求ω和φ的值； (2)若f＝，求cos的值． 【解】　(1)因f(x)的圖象上相鄰兩個最高點的距離為π，所以f(x)的最小正周期T＝π，從而ω＝＝2. 又因為f(x)的圖象關于直線x＝對稱，所以 2＋φ＝kπ＋，k＝0，1，2，….因－≤φ<得k＝0， 所以φ＝－＝－. (2)由(1)得f＝sin＝， 所以sin＝. 由<α<得0<α－<， 所以cos＝＝＝. 因此cos＝sin α ＝sin ＝sincos＋cossin ＝＋ ＝. 10. 已知函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω＞0,0＜φ＜)的部分圖象如圖所示． (1)求函數f(x)的解析式； (2)求函數g(x)＝f(x－)－f(x＋)的單調遞增區(qū)間． 【解】　(1)由題設圖象知，周期T＝2(－)＝π，所以ω＝＝2. 因為點(，0)在函數圖象上，所以Asin(2＋φ)＝0， 即sin(＋φ)＝0. 又因為0＜φ＜，所以＜＋φ＜. 從而＋φ＝π，即φ＝. 又點(0,1)在函數圖象上，所以Asin＝1，解得A＝2. 故函數f(x)的解析式為f(x)＝2sin(2x＋)． (2)g(x)＝2sin[2(x－)＋]－2sin[2(x＋)＋] ＝2sin 2x－2sin(2x＋)＝2sin 2x－2(sin 2x＋cos 2x) ＝sin 2x－cos 2x＝2sin(2x－)． 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 所以函數g(x)的單調遞增區(qū)間是[kπ－，kπ＋]，k∈Z.