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2019年高考數(shù)學(xué)試題分類(lèi)匯編 J單元 計(jì)數(shù)原理（含解析） 目錄 J單元　計(jì)數(shù)原理 1 J1　基本計(jì)數(shù)原理 1 J2　排列、組合 1 J3　二項(xiàng)式定理 1 J4 單元綜合 1 J1　基本計(jì)數(shù)原理 【理江蘇揚(yáng)州中學(xué)高二期末xx】7．某工廠將4名新招聘員工分配至三個(gè)不同的車(chē)間，每個(gè)車(chē)間至少分配一名員工，甲、乙 兩名員工必須分配至同一車(chē)間，則不同的分配方法總數(shù)為 ▲ （用數(shù)字作答）． 【知識(shí)點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用． 【答案解析】6 解析 ：解：把甲、乙兩名員工看做一個(gè)整體，4個(gè)人變成了3個(gè)，再把這3部分人分到3個(gè)為車(chē)間，有種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同分法的種數(shù)為=6， 故答案為：6． 【思路點(diǎn)撥】把甲、乙兩名員工看做一個(gè)整體，4個(gè)人變成了3個(gè)，再把這3部分人分到3個(gè)為車(chē)間，即可得出結(jié)論． 【理吉林長(zhǎng)春十一中高二期末xx】15.將排成一排，要求在排列中，順序?yàn)椤啊被颉啊保梢圆幌噜彛@樣的排法有 種． 【知識(shí)點(diǎn)】分步計(jì)數(shù)原理. 【答案解析】40解析 ：解：由題意知本題是一個(gè)分步計(jì)數(shù)問(wèn)題， 五個(gè)字母排成一列，先從中選三個(gè)位置給A、B、C且A、B、C有兩種排法，即，然后讓D、E排在剩余兩個(gè)位置上，有A22種排法； 由分步乘法計(jì)數(shù)原理所求排列數(shù)為=40． 【思路點(diǎn)撥】先從中選三個(gè)位置給A、B、C且A、B、C有兩種排法，即，然后讓D、E排在剩余兩個(gè)位置上，有種排法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果． J2　排列、組合 【理重慶一中高二期末xx】9、現(xiàn)安排甲乙丙丁戊5名學(xué)生分別擔(dān)任語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)學(xué)科的科代表，要求甲不當(dāng)語(yǔ)文課代表，乙不當(dāng)數(shù)學(xué)課代表，若丙當(dāng)物理課代表則丁必須當(dāng)化學(xué)課代表，則不同的選法共有多少種（ ） A、53 B、67 C、85 D、91 【知識(shí)點(diǎn)】排列組合；分類(lèi)計(jì)數(shù)原理. 【答案解析】B解析 ：解：由題意可進(jìn)行如下分類(lèi)：（1）丙當(dāng)物理課代表：甲當(dāng)數(shù)學(xué)課代表有2種選法；甲不當(dāng)數(shù)學(xué)課代表有1種選法；共計(jì)3種選法；（2）丙當(dāng)語(yǔ)文課代表：乙不當(dāng)數(shù)學(xué)課代表有3種選法，另外3人全排列，共計(jì)種選法；（3）丙當(dāng)數(shù)學(xué)課代表：與（2）相同共計(jì)種選法；（4）丙當(dāng)英語(yǔ)課代表：乙當(dāng)語(yǔ)文課代表有種選法；乙不當(dāng)語(yǔ)文課代表有種選法；共計(jì)14種選法；（5）丙當(dāng)化學(xué)課代表：與（4）相同共計(jì)14種選法；綜上所述：共有3+18+18+14+14=67種不同的選法. 故選：B. 【思路點(diǎn)撥】由題意對(duì)丙分類(lèi)討論，依次讓丙去當(dāng)各科課代表，再求和即可. 【理甘肅蘭州一中高二期末xx】15. 用1、2、3、4、5、6六個(gè)數(shù)組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中5、6均排在3的同側(cè)，這樣的六位數(shù)共有 個(gè)（用數(shù)字作答）． 【知識(shí)點(diǎn)】排列組合；分類(lèi)計(jì)數(shù)原理. 【答案解析】480解析 ：解：把3看成特殊元素，優(yōu)先排列： (1)3排在首位或末位時(shí)，共有個(gè)； （2）3排在第2位或第5位時(shí)，共有個(gè)； （3）3排在第3位或第4位時(shí)，共有個(gè)； 所以滿足題意的六位數(shù)共有480個(gè). 故答案為：480. 【思路點(diǎn)撥】把3看成特殊元素，優(yōu)先排列,分類(lèi)相加即可. 【江蘇鹽城中學(xué)高二期末xx】11．（理科學(xué)生做）現(xiàn)從8名學(xué)生中選出4人去參加一項(xiàng)活動(dòng)，若甲、乙兩名同學(xué)不能同時(shí)入選，則共有 ▲ 種不同的選派方案.（用數(shù)字作答） 【知識(shí)點(diǎn)】排列組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題. 【答案解析】55 解析 ：解：從8名學(xué)生中選出4人，共有種選法， 其中甲乙同時(shí)參加的有種選法， 所以從8名學(xué)生中選出4人，甲乙不同時(shí)參加的選法有70-15=55種， 故答案為55． 【思路點(diǎn)撥】所有選法共有種，減去甲乙同時(shí)參加的情況種即可. 【理江西鷹潭一中高二期末xx】4．5個(gè)人站成一排，若甲、乙兩人之間恰有1人，則不同的站法數(shù)有( ) A．18 B．26 C．36 D．48 【知識(shí)點(diǎn)】排列、組合的綜合應(yīng)用. 【答案解析】C解析 ：解：依題意，先分析甲乙兩人，甲乙兩人有2種站法， 再?gòu)钠渌?人中，選出1人，站在甲乙之間，有3種選法，最后用捆綁法， 將甲乙及其中間站的人視為一個(gè)元素，與剩余兩人共3個(gè)元素全排列，有A33種排列方法；由分步計(jì)數(shù)原理可得，不同站法有種， 故選C． 【思路點(diǎn)撥】先分析甲乙兩人的站法數(shù)目，再?gòu)钠渌?人中，選出甲乙之間的一人，分析其選法，最后用捆綁法，將甲乙及其中間站的人視為一個(gè)元素，與剩余兩人共3個(gè)元素全排列，由分步計(jì)數(shù)原理分析可得答案． 【典型總結(jié)】本題考查排列、組合的綜合應(yīng)用，注意分析的順序一般是，先抽取，再排列 【理吉林一中高二期末xx】11. 將5名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級(jí)的3個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少1名，則不同的分配方案有（ ） A．30種 B．60種 C．90種 D．150種 【知識(shí)點(diǎn)】排列、組合的實(shí)際應(yīng)用．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán) 【答案解析】D 解析 ：解：將5名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級(jí)的3個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少1名，有2種情況： ①將5名教師分成三組，一組1人，另兩組都是2人，有=15種分組方法， 再將3組分到3個(gè)班，共有15?A33=90種不同的分配方案， ②將5名教師分成三組，一組3人，另兩組都是1人，有=10種分組方法， 再將3組分到3個(gè)班，共有10?A33=60種不同的分配方案， 共有90+60=150種不同的分配方案， 故選：D． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意，分兩種情況討論：①將5名教師分成三組，一組1人，另兩組都是2人，②將5名教師分成三組，一組3人，另兩組都是1人，由組合數(shù)公式計(jì)算可得每種情況下的分配方案數(shù)目，由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案． 【理吉林一中高二期末xx】5. 某同學(xué)忘記了自己的QQ號(hào)，但記得QQ號(hào)是由一個(gè)1，一個(gè)2，兩個(gè)5和兩個(gè)8組成的六位數(shù)，于是用這六個(gè)數(shù)隨意排成一個(gè)六位數(shù)，輸入電腦嘗試，那么他找到自己的QQ號(hào)最多嘗試次數(shù)為（ ） A．96 B．180 C．360 D．720 【知識(shí)點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理． 【答案解析】B 解析 ：解：根據(jù)題意，其QQ號(hào)由共6個(gè)數(shù)字組成，將這6個(gè)數(shù)字全排列，有種情況，而這6個(gè)數(shù)字中有兩個(gè)5和兩個(gè)8，則共可以組成個(gè)六位數(shù)， 那么他找到自己的QQ號(hào)最多嘗試180次， 故選：B． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意，先求出組成QQ號(hào)碼的4個(gè)數(shù)字的全排列為，分析可得這6個(gè)數(shù)字中有兩個(gè)5和兩個(gè)8，計(jì)算可得由這4個(gè)數(shù)字可以組成的四位數(shù)個(gè)數(shù)，即可得答案． J3　二項(xiàng)式定理 【文江蘇揚(yáng)州中學(xué)高二期末xx】17．（本小題滿分14分） 已知函數(shù)（為實(shí)數(shù)，），． ⑴若，且函數(shù)的值域?yàn)?，求的表達(dá)式； ⑵設(shè)，且函數(shù)為偶函數(shù)，求證：． 【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)；二項(xiàng)式定理的應(yīng)用． 【答案解析】⑴⑵ -5 解析 ：解：⑴由題意，， 則； ……3分 由通項(xiàng)，則，所以，所以；…7分 ⑵即求展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)， ， ……11分 所以展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為． ……14分 【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)2n=32求得n的值．在通項(xiàng)，令x的冪指數(shù)r=3，可得展開(kāi)式中含x3項(xiàng)的系數(shù)為 ，從而求得m的值． （2）本題即求（1+2x）5（1﹣x）6展開(kāi)式中含x2項(xiàng)的系數(shù)，利用通項(xiàng)公式展開(kāi)化簡(jiǎn)可得展開(kāi)式中含x2項(xiàng)的系數(shù)． 【理重慶一中高二期末xx】5、的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（ ） A、-40 B、-10 C、10 D、40 【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)． 【答案解析】D解析 ：解：展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：令，解得k=2， 即常數(shù)項(xiàng)為 故選：D． 【思路點(diǎn)撥】求出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，即可求出常數(shù)項(xiàng)． 【理江蘇揚(yáng)州中學(xué)高二期末xx】17．（本小題滿分14分） 已知的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，且展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為． ⑴求的值； ⑵求展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)． 【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)；二項(xiàng)式定理的應(yīng)用． 【答案解析】⑴⑵ -5 解析 ：解：⑴由題意，， 則； ……3分 由通項(xiàng)，則，所以，所以；…7分 ⑵即求展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)， ， ……11分 所以展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為． ……14分 【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)2n=32求得n的值．在通項(xiàng)，令x的冪指數(shù)r=3，可得展開(kāi)式中含x3項(xiàng)的系數(shù)為 ，從而求得m的值． （2）本題即求（1+2x）5（1﹣x）6展開(kāi)式中含x2項(xiàng)的系數(shù)，利用通項(xiàng)公式展開(kāi)化簡(jiǎn)可得展開(kāi)式中含x2項(xiàng)的系數(shù)． 【理吉林長(zhǎng)春十一中高二期末xx】13.對(duì)任意實(shí)數(shù)，有, 則的值為 . 【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用;二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式;求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù);二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)． 【答案解析】 解析 ：解：∵， 則， 故答案為：8． 【思路點(diǎn)撥】由于，根據(jù)通項(xiàng)公式求得的值. 【理廣東惠州一中高三一調(diào)xx】5．在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是（ ） 【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)的公式. 【答案解析】A 解析 ：解：由二項(xiàng)式定理可知，展開(kāi)式的通項(xiàng)為，則得，所以含項(xiàng)的系數(shù)為，故選. 【思路點(diǎn)撥】先由二項(xiàng)式定理得通項(xiàng)，再根據(jù)未知量次數(shù)建立等式得，將值代回通項(xiàng)得系數(shù). 【典型總結(jié)】本題主要考查二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)的公式. 【江蘇鹽城中學(xué)高二期末xx】10．（理科學(xué)生做）已知展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為32，則其展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為 ▲ ． 【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理. 【答案解析】解析 ：解：因?yàn)檎归_(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為： ，解得，由二項(xiàng)式展開(kāi)式 整理得：，所以，故，則其展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為：. 故答案為：. 【思路點(diǎn)撥】先由所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和求出，然后欲求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)，則令x的指數(shù)可求得結(jié)果. 【理江西鷹潭一中高二期末xx】18．（本小題滿分12分）在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng). 【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．菁 【答案解析】. 解析 ：解：∵二項(xiàng)展開(kāi)式的前三項(xiàng)的系數(shù)分別為1，，n（n﹣1）…2分 ∴2?=1+n（n﹣1）， 解得n=8或n=1（不合題意，舍去）…4分 ∴Tr+1=???=?2﹣r?，當(dāng)4﹣∈Z時(shí)，Tr+1為有理項(xiàng)， 又0≤r≤8且k∈Z，∴r=0，4，8符合要求…8分 故有理項(xiàng)有3項(xiàng)，分別是：T1=x4，T5=x，T9=x﹣2，∵n=8， ∴展開(kāi)式中共9項(xiàng)，中間一項(xiàng)即第5項(xiàng)的系數(shù)最大，…12分 【思路點(diǎn)撥】二項(xiàng)展開(kāi)式的前三項(xiàng)的系數(shù)分別為1，，n（n﹣1）成等差數(shù)列，可求得n，利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式即可求得展開(kāi)式中的有理項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)． 【理江西鷹潭一中高二期末xx】14．若，則的值為 . 【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的運(yùn)用；賦值法. 【答案解析】-1 解析 ：解：由題意，令x=0時(shí)，則， 令x= 時(shí)，則 ∴． 【思路點(diǎn)撥】先令x=0,求出,再令x=,得到恒等式,移項(xiàng)即可得到所求的值． M3 15．觀察下列各式：，，，，，可以得出的一般結(jié)論是 . 【知識(shí)點(diǎn)】歸納推理． 【答案解析】 解析 ：解：1=12， 2+3+4=32， 3+4+5+6+7=52， 4+5+6+7+8+9+10=72， …， 由上述式子可以歸納：左邊每一個(gè)式子均有2n﹣1項(xiàng)，且第一項(xiàng)為n，則最后一項(xiàng)為3n﹣2 右邊均為2n﹣1的平方，即 故答案為： 【思路點(diǎn)撥】分析已知中1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，各式子左右兩邊的形式，包括項(xiàng)數(shù)，每一個(gè)式子第一數(shù)的值等，歸納分析后，即可得到結(jié)論． 【典型總結(jié)】歸納推理的一般步驟是：（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）． 【理吉林一中高二期末xx】15. 設(shè)常數(shù)，若的二項(xiàng)展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為，則 【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)． 【答案解析】-2 解析 ：解：，故． 【思路點(diǎn)撥】利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求得二項(xiàng)展開(kāi)式中的第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為7求得x7的系數(shù)，列出方程求解即可． 【理吉林一中高二期末xx】8. 在的二項(xiàng)式展開(kāi)式中,常數(shù)項(xiàng)是 （　?。? A．504 B．84 C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理. 【答案解析】B 解析 ：解： 由的二項(xiàng)式展開(kāi)式可得： ，若求常數(shù)項(xiàng)，即當(dāng)=0時(shí)，即r=6，故常數(shù)項(xiàng)是，故選B. 【思路點(diǎn)撥】由二項(xiàng)式定理可知，求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)即求通項(xiàng)中x的指數(shù)是0的項(xiàng)即可. 【理吉林一中高二期末xx】6. 在二項(xiàng)式（的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為M，各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為N，且M+N=72，則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)的值為（ ） A．18 B．12 C．9 D．6 【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)． 【答案解析】C 解析 ：解：由二項(xiàng)展開(kāi)式的性質(zhì)可得M=4n，N=2n ∴M+N=4n+2n=72 ∴n=3 ∵展開(kāi)式的通項(xiàng)為= 令可得r=1常數(shù)項(xiàng)為T(mén)2=3C31=9. 故選C． 【思路點(diǎn)撥】由二項(xiàng)展開(kāi)式的性質(zhì)可得M=4n，N=2n，由M+N=4n+2n=72 可得n=3，而展開(kāi)式的通項(xiàng)為=，令可得r，代入可求. 【理吉林一中高二期末xx】2. 已知等式，則的值分別為（　?。? A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式的展開(kāi)式. 【答案解析】D 解析 ：解：根據(jù)題意，由于等式，則，的值分別為,故選D． 【思路點(diǎn)撥】把變形為利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)比較系數(shù)即可. 【理吉林一中高二期末xx】1. 已知的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，則展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)是（ ） A．5 B．20 C．10 D．40 【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理. 【答案解析】C 解析 ：解：根據(jù)題意，該二項(xiàng)式的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，則有2n=32，可得n=5，則二項(xiàng)式的展開(kāi)式為T(mén)r+1= x2（5-r）?x-r=x10-3r，令10-3r=1解得r=3，∴展開(kāi)式中含x項(xiàng)的系數(shù)是，=10,故選C． 【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和求出n的值，然后利用二項(xiàng)式的展開(kāi)式找出x的指數(shù)為1時(shí)r的值，從而可求出展開(kāi)式中含x項(xiàng)的系數(shù)．