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1,5.1量綱分析,1.量綱分析基礎(chǔ),量綱——用以度量物理量單位的種類，用dim表示。代表被測(cè)物理量單位種類的一種符號(hào)，從符號(hào)可以看出它們的屬性。,基本量綱——國(guó)際單位制中7個(gè)基本物理量的量綱。[L]、[M]、[t]、[T]、[E]、[C]、[N],——量綱公式。a,b,c為量綱指數(shù)，量綱指數(shù)全為零時(shí)，B為無量綱量。無量綱量的值不隨單位制改變,量綱分析和相似原理是指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和理論基礎(chǔ),流體力學(xué)的常用基本量綱為[L]、[M]、[t]，其它任意物理量B的量綱可以用三個(gè)基本量綱的指數(shù)乘積的形式表示出來,5-1,2,流體力學(xué)常用物理量的量綱,5.1量綱分析,3,5.1量綱分析,量綱齊次性原理：完整物理方程中各項(xiàng)的量綱必須相同。,以單位重量的流體沿流線能量守恒形式的伯努利方程為例,方程左邊各項(xiàng)的量綱依次為,對(duì)于量綱齊次的方程用方程中的任一項(xiàng)去除其它項(xiàng)，可以使方程無量綱化，從而減少方程的變量個(gè)數(shù)。,4,2.Π定理（白金漢定理）,對(duì)于某個(gè)物理現(xiàn)象或過程，如果可以用n個(gè)變量來描述，寫成數(shù)學(xué)表達(dá)式為：f(x1,x2,x3,…,xn)=0,而這些變量含有m個(gè)基本量綱，則該現(xiàn)象可以用(n-m)個(gè)無量綱量數(shù)組的表達(dá)式來描述，即F(?1,?2,…?n-m)=0,無量綱量數(shù)組的組成方式：在n個(gè)變量中取m個(gè)量綱不同的量作為基本變量，并把基本變量與其它變量中的一個(gè)組成數(shù)組，共組成（n-m）個(gè)無量綱數(shù)組，例取x1,x2,x3為基本變量，則數(shù)組為：,………..,5.1量綱分析,5,應(yīng)用白金漢定理求某現(xiàn)象的無量綱數(shù)組的方法步驟：,（1）列與該物理現(xiàn)象相關(guān)的全部n個(gè)變量（2）找出基本量綱，設(shè)為m個(gè)（3）從n個(gè)變量中選出包含全部基本量剛的m個(gè)基本變量（4）用基本變量與其它的任一個(gè)變量組成無量綱方程，并解出n-m個(gè)無量綱數(shù)組（5）利用無量綱數(shù)組建立描述該現(xiàn)象的方程,【例5-1】不可壓粘性流體在圓管道內(nèi)流體流動(dòng)的壓降?p與下列因素有關(guān)：管徑d、管長(zhǎng)l、管壁粗糙度ε、管內(nèi)流體密度?、流體的動(dòng)力粘度?，以及斷面平均流速v有關(guān)。試用?定理推出壓降?p的表達(dá)形式。,5.1量綱分析,6,5.1量綱分析,【解】,（1）該流動(dòng)現(xiàn)象共有7個(gè)變量?p,d,l,ε,?,?,v（2）基本量剛為L(zhǎng)，M，t，所以m=3（3）選出m=3個(gè)基本變量：?、v、d（4）組成n-m=4個(gè)無量綱數(shù)組，求解,將上述表達(dá)式寫成量綱形式,解得a1=-1,b1=-2,c1=0,故,7,解得a2=-1,b2=-1,c2=-1,故,解得a3=0,b3=0,c3=-1,故,解得a4=0,b4=0,c4=-1,故,5.1量綱分析,8,（5）所解問題用無量綱數(shù)表示的方程為,5.1量綱分析,上述公式還可以寫成,對(duì)于給定長(zhǎng)度和直徑的管道,進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q后有,令,則,——達(dá)西公式。?為沿程阻力系數(shù)。,9,5.1量綱分析,3.Π定理的幾點(diǎn)說明,（1）無量綱數(shù)組的特性①對(duì)于確定的物理現(xiàn)象，無量綱數(shù)組個(gè)數(shù)是固定的但是形式上不是唯一的②無量綱數(shù)的算術(shù)運(yùn)算的結(jié)果仍是無量綱數(shù),（2）作用在流體上的力,壓力,慣性力,黏性力,重力,表面張力,彈性力,10,5.1量綱分析,（3）流體力學(xué)中常見的無量綱數(shù)組,①雷諾數(shù),②歐拉數(shù),③弗勞德數(shù),④韋伯?dāng)?shù),11,5.1量綱分析,⑤馬赫數(shù),⑥毛細(xì)數(shù),（4）量綱分析的物理意義,簡(jiǎn)化試驗(yàn)方案物理量量綱的推導(dǎo)校驗(yàn)方程確定相似試驗(yàn)條件,12,5.2相似原理與模型實(shí)驗(yàn),為使模型流動(dòng)能表現(xiàn)出實(shí)型流動(dòng)的主要現(xiàn)象和特性，并從模型流動(dòng)上預(yù)測(cè)出實(shí)型流動(dòng)的結(jié)果，就必須使兩者在流動(dòng)上相似，即兩個(gè)互為相似流動(dòng)的對(duì)應(yīng)部位上對(duì)應(yīng)物理量都有一定的比例關(guān)系。,（1）幾何相似（空間相似）,1.相似的概念,——兩流動(dòng)的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)成同一比例，對(duì)應(yīng)角相等。,線性比例系數(shù),面積比例系數(shù),體積比例系數(shù),基本比例常數(shù),13,（2）時(shí)間相似,——對(duì)應(yīng)的時(shí)間間隔成比例,對(duì)圖示的兩種管內(nèi)流動(dòng)其平均速度變化的時(shí)間間隔成比例,5.2相似原理與模型實(shí)驗(yàn),14,（3）運(yùn)動(dòng)相似,——速度（加速度）場(chǎng)相似,在不同的流動(dòng)空間中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)時(shí)刻上的速度（加速度）方向一致，大小成比例,速度比例常數(shù),加速度比例常數(shù),流量比例常數(shù),基本比例常數(shù),5.2相似原理與模型實(shí)驗(yàn),15,（4）力相似,——力場(chǎng)的幾何相似，作用在流體上的各種力的方向?qū)?yīng)一致，大小成比例。如圖所示,力比例常數(shù),密度比例常數(shù),基本比例常數(shù),5.2相似原理與模型實(shí)驗(yàn),16,用基本比例常數(shù)表示的其他比例常數(shù),質(zhì)量比例常數(shù),力比例常數(shù),壓強(qiáng)比例常數(shù),運(yùn)動(dòng)粘度比例常數(shù),動(dòng)力粘度比例常數(shù),5.2相似原理與模型實(shí)驗(yàn),17,2.相似原理,描述流體運(yùn)動(dòng)和受力關(guān)系的是流體運(yùn)動(dòng)微分方程，兩流動(dòng)要滿足相似條件就必須同時(shí)滿足該方程，并且單值條件必須相似，包括幾何條件、物理?xiàng)l件、邊界條件、初始條件等。,【例5-2】以不可壓縮流體定常流動(dòng)的N-S微分方程為例導(dǎo)出相似準(zhǔn)則。,【解】N-S微分方程在x方向上的投影為,與其相似的流動(dòng)中流體質(zhì)點(diǎn)的方程為,(a),(b),5.2相似原理與模型實(shí)驗(yàn),18,由相似準(zhǔn)則必然有,將（c）代入（b）,并整理后有,(c),(d),式（a）和（d）相比較有,(e),說明各相似倍數(shù)不是任意選取的，而是受上式約束的。,5.2相似原理與模型實(shí)驗(yàn),19,將式（e）后三項(xiàng)分別去除第一項(xiàng)，則有,，即,，即,，即,不可壓定常流相似，他們的弗勞德數(shù)、歐拉數(shù)、雷諾數(shù)必相等,相似原理可表述為：兩種流動(dòng)現(xiàn)象相似的充分必要條件是：能夠用同一微分方程描述同一種類的現(xiàn)象；并且滿足單值條件相似；有單值條件中的物理量組成相似準(zhǔn)則相等,5.2相似原理與模型實(shí)驗(yàn),,,,這些無量綱數(shù)組稱為相似準(zhǔn)則或相似判據(jù),20,3.相似原理的應(yīng)用,應(yīng)用相似原理進(jìn)行試驗(yàn)研究的步驟：（1）分析導(dǎo)出的相似準(zhǔn)則，判斷決定性準(zhǔn)則（2）根據(jù)選定的相似準(zhǔn)則設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案（3）確定實(shí)驗(yàn)中要測(cè)量的物理量，測(cè)定相似準(zhǔn)則中的物理量（4）將實(shí)驗(yàn)結(jié)果換算到實(shí)物系統(tǒng)中,4.相似原理和量綱分析的比較,相似理論：從微分方程出發(fā)導(dǎo)出無量綱數(shù)組得到的相似準(zhǔn)則具有確定的物理意義量綱分析：對(duì)試驗(yàn)涉及的物理現(xiàn)象進(jìn)行分析得到無量綱判據(jù)通常不考慮無量綱數(shù)的物理意義，應(yīng)用范圍比相似理論要廣泛,5.2相似原理與模型實(shí)驗(yàn),21,1.全面力學(xué)相似試驗(yàn),所有的相似準(zhǔn)則都分別相等的相似試驗(yàn),實(shí)際的工程應(yīng)用中很難保證所有的相似準(zhǔn)則都相等，例如粘性不可壓定常流動(dòng)，要求模型和原型中的Re和Fr同時(shí)相等,即,若采用的流動(dòng)介質(zhì)相同，則,為了保證Fr數(shù)相等,與保證Re相等的條件矛盾,5.2相似原理與模型實(shí)驗(yàn),22,2.近似模化法,在重力起主要作用的流動(dòng)中，使實(shí)物和模型的Fr數(shù)相等,（1）弗勞德?；?抓主要矛盾，簡(jiǎn)化相似條件,適合于管內(nèi)粘性流動(dòng)的阻力損失的研究，保證Re數(shù)相等,（2）雷諾模化法,適合于雷諾數(shù)很小或很大的“自?；绷鲃?dòng)，流動(dòng)與雷諾數(shù)關(guān)系不大，此時(shí)可只考慮壓強(qiáng)與慣性力的比值歐拉數(shù)相等。,（3）歐拉?；?5.2相似原理與模型實(shí)驗(yàn),23,【例5-3】管徑d=50mm的輸油管，裝有彎頭、開關(guān)等局部阻力裝置，安裝前需要測(cè)定壓強(qiáng)損失，在實(shí)驗(yàn)室用空氣進(jìn)行試驗(yàn)。已知20℃時(shí)油的密度ρ油=889.6kg/m3;油的粘度ν油=10-6m2/s;空氣的密度ρ氣=1.2kg/m3;空氣的的粘度ν氣=15.7x10-6m2/s。試確定（1）當(dāng)輸油管中油的流速為2m/s時(shí)，實(shí)驗(yàn)室中空氣在管內(nèi)的流速為多少？（2）通過空氣測(cè)得管道壓強(qiáng)損失Δp氣=7747N/m2，油液通過輸油管時(shí)的壓強(qiáng)損失Δp油為多少？,5.2相似原理與模型實(shí)驗(yàn),【解】（1）管內(nèi)流動(dòng)粘性力起主要因素，雷諾數(shù)必須相等,,,24,5.2相似原理與模型實(shí)驗(yàn),,由于管道直徑相同,（2）要對(duì)壓力進(jìn)行相似，必須滿足歐拉數(shù)相等,25,3.方程分析法,,利用描述物理現(xiàn)象的微分方程組和全部單值條件導(dǎo)出相似準(zhǔn)則。常用的方程分析法有：相似轉(zhuǎn)換法和方程無量綱化法,（1）相似轉(zhuǎn)換法①寫出描述現(xiàn)象的基本微分方程和單值條件②寫出相似倍數(shù)的表達(dá)式③將相似倍數(shù)的表達(dá)式代入微分方程組進(jìn)行相似轉(zhuǎn)換④根據(jù)流動(dòng)相似，方程相同導(dǎo)出相似準(zhǔn)則,（2）方程無量綱化法①寫出描述現(xiàn)象的基本微分方程②所有變量無量綱化③方程組無量綱化，導(dǎo)出相似準(zhǔn)則,5.2相似原理與模型實(shí)驗(yàn),