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2019年高考數(shù)學(xué) 五年高考真題分類匯編 第十三章 矩陣與變換 理 1．（xx?江蘇高考）已知矩陣A＝，B＝，求矩陣A－1B. 解：設(shè)矩陣A的逆矩陣為， 則＝， 即＝，故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝， 從而A的逆矩陣為A－1＝， 所以A－1B＝＝. 2．（xx?福建高考理） 已知直線l：ax＋y＝1在矩陣A＝對應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€l′：x＋by＝1. ①求實數(shù)a，b的值； ②若點P(x0，y0)在直線l上，且A＝，求點P的坐標． 解：(1)本小題主要考查矩陣、矩陣與變換等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想． ①設(shè)直線l：ax＋y＝1上任意點M(x，y)在矩A對應(yīng)的變換作用下的像是M′(x′，y′)． 由＝＝，得 又點M′(x′，y′)在l′上，所以x′＋by′＝1， 即x＋(b＋2)y＝1， 依題意得解得 ②由A＝，得解得y0＝0. 又點P(x0，y0)在直線l上，所以x0＝1. 故點P的坐標為(1,0)． 3．（xx?江蘇高考） 已知矩陣A的逆矩陣A－1＝，求矩陣A的特征值． 解：因為A－1A＝E，所以A＝(A－1)－1. 因為A－1＝，所以A＝(A－1)－1＝，于是矩陣A的特征多項式為 f(λ)＝＝λ2－3λ－4. 令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝－1，λ2＝4. 4．（xx?福建高考理） 設(shè)曲線2x2＋2xy＋y2＝1在矩陣A＝(a＞0)對應(yīng)的變換作用下得到的曲線為x2＋y2＝1. (1)求實數(shù)a，b的值； (2)求A2的逆矩陣． 解：(1)設(shè)曲線2x2＋2xy＋y2＝1上任意點P(x，y)在矩陣A對應(yīng)的變換作用下的象是P′(x′，y′)． 由＝＝，得 又點P′(x′，y′)在曲線x2＋y2＝1上，所以x′2＋y′2＝1，即a2x2＋(bx＋y)2＝1， 整理得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1. 依題意得解得或 因為a>0，所以 (2)由(1)知，A＝， A2＝＝， 所以|A2|＝1，(A2)－1＝. 5．（2011?福建高考理） 設(shè)矩陣M＝(其中a＞0，b＞0)． (Ⅰ)若a＝2，b＝3，求矩陣M的逆矩陣M－1； (Ⅱ)若曲線C：x2＋y2＝1在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下得到曲線C′：＋y2＝1，求a，b的值． 解：(Ⅰ)設(shè)矩陣M的逆矩陣M－1＝， 則MM－1＝. 又M，所以＝， 所以2x1＝1,2y1＝0,3x2＝0,3y2＝1，即x1＝，y1＝0，x2＝0，y2＝，故所求的逆矩陣M－1＝. (Ⅱ)設(shè)曲線C上任意一點P(x，y)，它在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下得到點P′(x′，y′)， 則＝，即 又點P′(x′，y′)在曲線C′上，所以＋y′2＝1， 則＋b2y2＝1為曲線C的方程． 又已知曲線C的方程為x2＋y2＝1，故 又a＞0，b＞0，所以 6．（2011?江蘇高考） 已知矩陣A＝，向量β＝.求向量α，使得A2α＝β. 解：A2＝＝. 設(shè)α＝.由A2α＝β，得＝， 從而 解得x＝－1，y＝2，所以α＝.