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2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導(dǎo)講座 第二十五講 輔助圓 在處理平面幾何中的許多問題時，常需要借助于圓的性質(zhì)，問題才得以解決． 而我們需要的圓并不存在(有時題設(shè)中沒有涉及圓；有時雖然題設(shè)涉及圓，但是此圓并不是我們需要用的圓)，這就需要我們利用已知條件，借助圖形把需要的實際存在的圓找出來，添補輔助圓的常見方法有： 1．利用圓的定義添補輔助圓； 2．作三角形的外接圓； 3．運用四點共圓的判定方法： (1)若一個四邊形的一組對角互補，則它的四個頂點共圓． (2)同底同側(cè)張等角的三角形，各頂點共圓． (3)若四邊形ABCD的對角線相交于P，且PAPC=PBPD，則它的四個頂點共圓． (4)若四邊形ABCD的一組對邊AB、DC的延長線相交于P，且PAPB＝PCPD，則它的四個頂點共圓． 【例題求解】 【例1】如圖，直線AB和AC與⊙O分別相切于B、C，P為圓上一點，P到AB、AC的距離分別為4cm、6cm，那么P到BC的距離為 ． 思路點撥 連DF，EF，尋找PD、PE、PF之間的關(guān)系，證明△PDF∽△PFE，而發(fā)現(xiàn)P、D、B、F與P、E、C、F分別共圓，突破角是解題的關(guān)鍵． 注：圓具有豐富的性質(zhì)： (1)圓的對稱性； (2)等圓或同圓中不同名稱量的轉(zhuǎn)化； (3)與圓相關(guān)的角； (4)圓中比例線段． 適當發(fā)現(xiàn)并添出輔助圓，就為圓的豐富性質(zhì)的運用創(chuàng)造了條件，由于圖形的復(fù)雜性，有時在圖中并不需畫出圓，可謂“圖中無圓，心中有圓”． 【例2】 如圖，若PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC與PB交于點P，且PB=4，PD=3，則ADDC等于( ) A．6 B．7 C．12 D．16 思路點撥 作出以P點為圓心、PA長為半徑的圓，為相交弦定理的應(yīng)用創(chuàng)設(shè)了條件． 注：到一個定點等距離的幾個點在同一個圓上，這是利用圓的定義添輔助圓的最基本方法． 【例3】 如圖，在△ABC中，AB=AC，任意延長CA到P，再延長AB到Q，使AP=BQ，求證：△ABC的外心O與A，P，Q四點共圓． 思路點撥 先作出△ABC的外心O，連PO、OQ，將問題轉(zhuǎn)化為證明角相等． 【例4】 如圖，P是⊙O外一點，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割線，AD⊥PO于D．求證：． 思路點撥 因所證比例線段不是對應(yīng)邊，故不能通過判定△PBD與△PCD相似證明．PA2=PDPO=PBPC，B、C、O、D共圓，這樣連OB，就得多對相似三角形，以此達到證明的目的． 注：四點共圓既是一類問題，又是平面幾何中一個重要的證明方法，它和證明三角形全等和相似三角形有著同等重要的地位，這是因為，某四點共圓，不但與這四點相聯(lián)系的條件集中或轉(zhuǎn)移，而且可直接運．用圓的性質(zhì)為解題服務(wù)． 【例5】如圖，在△ABC中，高BE、CF相交于H，且∠BHC=135，G為△ABC內(nèi)的一點，且GB=GC，∠BGC＝3∠A，連結(jié)HG，求證：HG平分∠BHF． 思路點撥 經(jīng)計算可得∠A=45，△ABE，△BFH皆為等腰直角三角形，只需證∠GHB=∠GHF=22.5． 由∠BGC=3∠A=135=∠GHC，得B、G、H、C四點共圓，運用圓中角轉(zhuǎn)化靈活的特點證明． 注：許多直線形問題借助輔助圓，常能降低問題的難度，使問題獲得簡解、巧解或新解． 學力訓練 1．如圖，正方形ABCD的中心為O，面積為1989cm2，P為正方形內(nèi)一點，且∠OPB=45，PA：PB=5：14，則PB的長為 ． 2．如圖，在△ABC中，AB=AC=2，BC邊上有100個不同的點Pl、P2，…P100，記（i=1，2，…100），則= ． 3．設(shè)△ABC三邊上的高分別為AD、BE、CF，且其垂心H不與任一頂點重合，則由點A、B、C、D、E、F、H中某四點可以確定的圓共有( ) A．3個 B．4個 C．5個 D．6個 4．如圖，已知OA=OB=OC，且∠AOB=∠BOC，則∠ACB是∠BAC的( ) A．倍 B．是倍 C． D． 5．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=998，CD=1001，AD=xx，點P在線段AD上，滿足條件的∠BPC=90的點P的個數(shù)為( ) A．0 B．1 C．2 1 D．不小于3的整數(shù) 6．如圖，AD、BE是銳角三角形的兩條高，S△ABC= 18，S△DEC=2，則COSC等于( ) A．3 B． C． D． 7．如圖；已知H是△ABC三條高的交點，連結(jié)DF，DE，EF，求證：H是△DEF的內(nèi)心． 8．如圖，已知△ABC中，AH是高，AT是角平分線，且TD⊥AB，TE⊥AC． 求證：(1)∠AHD=∠AHE；(2) 9．如圖，已知在凸四邊形ABCDE中，∠BAE=3，BC=CD=DE，且∠BCD=∠CDE=．求證：∠BAC=∠CAD=∠DAK， 10．如圖，P是⊙O外一點，PA和PB是⊙O的切線，A，B為切點，P O與AB交于點M，過M任作⊙O的弦CD．求證：∠CPO=∠DPO． 11．如圖，已知點P是⊙O外一點，PS、PT是⊙O的兩條切線，過點P作⊙O的割線PAB，交⊙O A、B兩點，與ST交于點C．求證： 參考答案