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2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考試題 理 (IV) 一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分） 1．某空間幾何體的正視圖是三角形，則該幾何體不可能是(　　) A．圓柱 B．圓錐 C．四面體 D．三棱柱 2.下列條件中，能判斷一條直線與一個(gè)平面垂直的是（ ） A.這條直線垂直于該平面內(nèi)的一條直線 B.這條直線垂直于該平面內(nèi)的兩條直線 C.這條直線垂直于該平面內(nèi)的任何兩條直線 D.這條直線垂直于該平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線 3.如圖是一個(gè)幾何體的正視圖和側(cè)視圖，其俯視圖是面積為 8的矩形．則該幾何體的表面積是(　　) A．8 B．20＋ C．16 D．24＋ 4.一個(gè)圓柱形的玻璃瓶的內(nèi)半徑為3，瓶里所裝的水深為8，將一個(gè)鋼球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5，則該鋼球的半徑為（ ） A. B.1 C. D.2 5．過正方形ABCD的頂點(diǎn)A作線段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA， 則平面ABP與平面CDP所成的二面角為(　　) A．30 B．45 C．60 D．90 6.已知正三棱錐中，E是側(cè)棱SC的中點(diǎn)，且，則 與底面所成角的余弦值為(　　) A. B. C. D. 7．已知α，β，γ為平面，是直線，若α∩β＝，則“α⊥γ，β⊥γ”是“⊥γ” 的( ) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 8.如圖，一個(gè)圓錐的底面半徑為2，高為6，在其中有一個(gè)高為的內(nèi) 接圓柱，當(dāng)該圓柱的體積最大時(shí)，（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 9.已知分別是長(zhǎng)方體的棱的中點(diǎn)， 若，則四面體的外接球的表 面積為( ) A.13π B. C. D. 10.如圖，正方形網(wǎng)格紙中的實(shí)線圖形是一個(gè)多面體的三視圖，則該多 面體各表面所在平面互相垂直的有( ) A.2對(duì) B.3對(duì) C.4對(duì) D.5對(duì) 11.已知正方體，在空間中到三條棱所在直線距離相等的點(diǎn)的個(gè)數(shù)（ ） A.0 B.2 C.3 D.無(wú)數(shù)個(gè) 12.棱長(zhǎng)為4的正方體的頂點(diǎn)在平面內(nèi)，平面與平面所成的二面角為，則頂點(diǎn)到平面的距離的最大值（ ） A. B. C. D. 二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分） 13.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為棱的中點(diǎn)，用過點(diǎn)的平面截去該正方體，則截面積為 . 14.某裝飾品的三視圖如圖所示，則該裝飾品的體積為 . 15.在三棱錐中，, 分別為棱和棱上的動(dòng)點(diǎn)，則△的周長(zhǎng)范 圍 . 16. 已知邊長(zhǎng)為的菱形中，，沿對(duì)角線 折成二面角的大小為的四面體且 ，則四面體的外接球的表面積為_______． 三．解答題(本大題共6小題，共70分. 解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟) 17.(本小題10分) 已知正方體的棱長(zhǎng)為2. （1）求點(diǎn)到平面的距離； （2）平面截該正方體的內(nèi)切球，求截面積的大小； 18.（本小題12分）(考查內(nèi)容：極坐標(biāo)與參數(shù)方程) 在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程(為參數(shù))，.曲線的極坐標(biāo)方程：. (1)求曲線和曲線的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)曲線交軸于點(diǎn)（不是原點(diǎn)），過點(diǎn)的直線交曲線于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，求的取值范圍． 19.（本小題12分） 已知斜三棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，且. (1)求證：； (2)直線與直線所成角的余弦值. 20.（本小題12分） 已知在四棱錐中，底面是矩形，且平面，分別是線段的中點(diǎn). （1）在線段上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，確定點(diǎn)的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由; （2）若與平面所成的角為，求二面角的余弦值. 21.（本小題12分） 已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn) （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)不過原點(diǎn)的直線，與該橢圓交于兩點(diǎn)，直線的斜率依次為，且滿足，試問：當(dāng)變化時(shí)，是否為定值？若是，求出此定值，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由. 22．（本小題12分） 已知函數(shù). （1）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （2）當(dāng)時(shí)，恒成立的的取值范圍， 并證明: ． 高二下學(xué)期第一次月考理科數(shù)學(xué)參考答案 一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C B C B A C A A C D B 13． 14. 15. 16. 三．解答題：共70分. 解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟． 17.解：（1）采用等體積法求得點(diǎn)到平面的距離為； （2）截面是半徑為的圓，其面積為. 18.解：（1），； （2）,將直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）代入 整理可得：，由得： ∴ 因此，的取值范圍 19.證明：（1）連接,取線段的中點(diǎn)為，再連接. ∵ 三棱柱的所有棱長(zhǎng)相等，且 ∴ △和△為等邊三角形 ∵ 為上述兩個(gè)三角形公共邊的中點(diǎn) ∴ ∵平面， ∴ 平面 ∵平面 ∴ (2) 連接交于點(diǎn)M,取線段的中點(diǎn)為N，再連接.不妨設(shè)棱長(zhǎng)為2. 由得,因而四邊形為正方形,. ∵ 分別為△的邊的中點(diǎn) ∴, 同（1）可知△和△為等邊三角形，. 在△中， 所以，直線與直線所成角的余弦值. 20解：（1）線段上存在點(diǎn)滿足 作輔助線：在線段上取點(diǎn)使得，連接 ∵ 在△中 ∴ ∵ ∴ 由平幾知識(shí)易得，從而可證 ∵ ∴ ∴ （2） 取線段的中點(diǎn)為,易知 過點(diǎn)作,垂足記為,連接,, 所以，為二面角的平面角 在平面中，與相似，可求 在中，，， ∴因此，二面角的余弦值為. 21.解：（1）由可得： 橢圓方程為代入可得：解得： 橢圓方程為 （2）設(shè)，聯(lián)立方程可得： 消去可得：，整理可得： 依題意可知： 即 ① 由方程可得： 代入①可得：，整理可得： , 可知為定值，與的取值無(wú)關(guān). 22解：（1）22．已知函數(shù). （1）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （2）當(dāng)時(shí)，恒成立的的取值范圍， 并證明: ． 22解：（1）函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),在區(qū)間上有兩根，顯然. ,令 ∴ 在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減 ∵，當(dāng)時(shí)，； ∴方程有兩根須 ∴. (2)∵恒成立，當(dāng)時(shí)，顯然滿足. ∴當(dāng)時(shí)，，結(jié)合(1)可得,. 因此，的取值范圍. 令，當(dāng)時(shí)， 可得：當(dāng)時(shí)，，令 ∴ .