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2019年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次月考試題 文 第I卷(共60分) 1、 選擇題（每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，僅有一個選項(xiàng)是正確的．） 1．為了檢驗(yàn)中學(xué)生眼睛近視是否與性別有關(guān)時用什么方法最有說服力(　　) A．平均數(shù) B．方差 C．回歸分析 D．獨(dú)立性檢驗(yàn) 2．設(shè)動點(diǎn)C到點(diǎn)M(0,3)的距離與到直線y＝-3的距離相等，則動點(diǎn)C的軌跡是(　　) A．拋物線 B．雙曲線 C．橢圓 D．圓 3．兩個變量x與y的回歸模型中分別選擇了4個不同模型，它們的相關(guān)指數(shù)R2如下，其 中擬合效果最好的模型是(　　) A．模型1的相關(guān)指數(shù)R2為0．98 B．模型2的相關(guān)指數(shù)R2為0．80 C．模型3的相關(guān)指數(shù)R2為0．50 D．模型4的相關(guān)指數(shù)R2為0．25 4．一位母親記錄了兒子3～9歲的身高，由此建立的身高與年齡的回歸模型為 ＝7．19x＋73．93，用這個模型預(yù)測這孩子10歲時的身高，則正確的敘述是(　　) A． 身高一定是145．83 cm B．身高在145．83 cm以上 C．身高在145．83 cm以下 D．身高在145．83 cm左右 5．過點(diǎn)M(2,4)與拋物線y2＝8x只有一個公共點(diǎn)的直線共有(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 6．函數(shù)f(x)＝x2＋1在點(diǎn)(1,2)處的切線斜率為(　　)　 A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－1時取得極值，則a＝(　　) 　 A．2　　　 B．3　　　 C．4　　　 D．5 8．函數(shù)f(x)＝x－lnx的遞增區(qū)間為(　　) A．(－∞，1) B．(0,1) C．(1，＋∞) D．(0，＋∞) 9．設(shè)函數(shù)f(x)的圖象如圖，則函數(shù)y＝f ′(x)的圖象可能是下圖中的(　　)　 10．若拋物線的焦點(diǎn)恰巧是橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A．y2＝－4x B．y2＝4x C．y2＝－8x D．y2＝8x 11．三次函數(shù)f(x)＝mx3－x在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，則m的取值范圍是(　　) A．m<0 B．m<1 C．m≤0 D．m≤1 12．若點(diǎn)P在y2＝x上，點(diǎn)Q在(x－3)2＋y2＝1上，則|PQ|的最小值為(　　) A．－1 B．－1 C．2 D．－1 第II卷(共90分) 2、 填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分． 請把答案填在答題卷相應(yīng)的位置上．) 13．質(zhì)點(diǎn)M的運(yùn)動規(guī)律為s＝4t＋4t2，則質(zhì)點(diǎn)M在t＝１時的速度為　　　　　?。? 14．若施化肥量x與水稻產(chǎn)量y的回歸直線方程為＝5x＋250，當(dāng)施化肥量為80kg時， 預(yù)報水稻產(chǎn)量為__________ kg． 15．做一個容積為256，底為正方形的長方體無蓋水箱，它的高為________時最省料． 16．若直線與曲線滿足下列兩個條件： 直線在點(diǎn)處與曲線相切；曲線在附近位于直線的兩側(cè)，則稱 直線在點(diǎn)處“切過”曲線. 下列命題正確的是_________(寫出所有正確命題的編號) ①直線在點(diǎn)處“切過”曲線： ②直線在點(diǎn)處“切過”曲線： ③直線在點(diǎn)處“切過”曲線： ④直線在點(diǎn)處“切過”曲線： ⑤直線在點(diǎn)處“切過”曲線： 三、解答題（本大題共6小題，共74分． 解答應(yīng)寫出文字說明、推理過程或演算步驟．） 17．（本小題滿分12分）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． （1） （2） 18．（本小題滿分12分）根據(jù)下列條件，分別求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． (1)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為y＝－1； (2)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是軸，并經(jīng)過點(diǎn)． 19．（本小題滿分12分）為了調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機(jī)抽 樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下： 性別 是否需要志愿者　　　　 男 女 總計 需要 30 不需要 160 總計 200 500 (1)完成以上22列聯(lián)表，并估計該地區(qū)老年人中需要志愿者提供幫助的老年人的比例； (2)能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)； P(K2≥k) 0．050 0．010 0．001 k 3．841 6．635 10．828 附： K2＝ 20．（本小題滿分12分）設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝x3－x2－x＋a． (1)求f(x)的極值； (2)當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時，曲線y＝f(x)與x軸有三個交點(diǎn)？ 21.（本小題滿分12分）已知拋物線x2＝ay(a＞0)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，斜率為1的直線與拋 物線交于A，B兩點(diǎn)． (1)若直線l過點(diǎn)D(0,2)且a＝4，求△AOB的面積； (2)若直線l過拋物線的焦點(diǎn)且＝－3，求拋物線的方程．  一、選擇題： 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D　 A A D B B B C D D Ａ D 二、填空題： 13．12； 14．650； 15． 4； 16．①③④ ． 三、解答題 17．解：（1） ……6分 （2） ……12分 18.解：(1)依題意可設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：， 因?yàn)闇?zhǔn)線為y＝－1，所以＝1，即p＝2， 所以拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝4y．……6分 (2)依題意可設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，把點(diǎn)代 入可得，所以拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2＝-12x．……12分 19．解：　(1)22列聯(lián)表如下： 性別 是否需要志愿者　　　　 男 女 總計 需要 40 30 70 不需要 160 270 430 總計 200 300 500 ……5分 調(diào)查的500位老年人中，有70位需要志愿者提供幫助，因此該地區(qū)老年人中， 需要幫助的老年人的比例的估計值為＝14%． ……7分 (2)K2＝≈9．967． ……10分 由于9．967>6．635，所以有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān)． ……12分 20．解：　(1)f′(x)＝3x2－2x－1． ……1分 令f′(x)＝0，則x＝－或x＝1． ……2分 當(dāng)x變化時f′(x)、f(x)變化情況如下表： x ） － 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  極大值  極小值  ………………………………………………6分 所以f(x)的極大值是＝＋a， 極小值是f(1)＝a－1． …………………8分 21．解：(1)依題意，直線l的方程為y＝x＋2，拋物線方程x2＝4y，……1分 由消去y，得x2－4x－8＝0. ……2分 則Δ＝16－4(－8)＝48＞0恒成立． 設(shè)l與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴x1＋x2＝4，x1x2＝－8. ……4分 則|x2－x1|＝＝4. ∴S△AOB＝|OD||x2－x1|＝24＝4. ……6分 (2)依題意，直線l的方程為y＝x＋. ……7分 ?x2－ax－＝0， ……8分 ∵Δ＞0，設(shè)直線l與拋物線交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)． ∴x1＋x2＝a，x1x2＝－. ……9分 又已知＝－3， 即x1x2＋y1y2＝－3， ……10分 ∴x1x2＋＝－3， ∴－＋＝－3，即 ∵a＞0，∴a＝4. ……11分 ∴所求拋物線方程為x2＝4y. ……12分 22．解：（1），，又， 所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為： ， ……2分 令，得， 所以，解得． ……4分 （2）易得函數(shù)的定義域?yàn)? 由（1）知 所以①當(dāng)時，恒成立，在單調(diào)遞增； ……5分 ②當(dāng)時，由可得，由可得， 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增． ……7分 綜上所述，當(dāng)時 ，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，在單 調(diào)遞減，在單調(diào)遞增． ……8分 （3）對任意恒成立，等價于恒成立 設(shè)， ……10分 則等價于在上單調(diào)遞減，即在恒成立 恒成立， ……11分 ……12分 （對，僅在時成立）， ……13分 的取值范圍是． ……14分