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第二十四章圓,專題33切線的證明,武漢專版九年級上冊,一、有“公共點”連半徑，證垂直1．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠CAE＝∠B，求證：AE與⊙O相切．2．如圖，以△ABC的BC邊上一點O為圓心畫圓，經(jīng)過A，C兩點且與BC邊交于點E，點D為CE的下半圓弧的中點，連接AD交線段EO于點F，若AB＝BF.求證：AB是⊙O的切線.,【解析】作直徑AD，連接CD，∴∠D＋∠DAC＝90.∵∠B＝∠D，而∠CAE＝∠B，∴∠CAE＋∠DAC＝90，即∠DAE＝90，∴OA⊥AE.∵OA為半徑，∴AE與⊙O相切．,【解析】連接OA，OD，∵點D為CE的下半圓弧的中點，∴OD⊥BC，∴∠EOD＝90.∵AB＝BF，OA＝OD，∴∠BAF＝∠BFA，∠OAD＝∠D.而∠BFA＝∠OFD，∴∠OAD＋∠BAF＝∠D＋∠OFD＝90，即∠OAB＝90，∴OA⊥AB.∵OA為半徑，∴AB是⊙O的切線.,3．如圖，P是⊙O外一點，C是⊙O上一點，割線POB與⊙O相交于點A，B，連接PC，若PA＝2，PC＝4，PB＝8，求證：PC是⊙O的切線．4．如圖，⊙O經(jīng)過菱形ABCD的三個頂點A，C，D，且與AB相切于點A.求證：BC為⊙O的切線.,【解析】連接OC，∵PA＝2，PB＝8，∴AB＝6，∴OC＝OA＝OB＝3，∴OP＝5，∴OP2＝OC2＋CP2，∴∠OCP＝90.∵OC為半徑，∴PC是⊙O的切線．,【解析】連接OA，OB，OC，∵AB與⊙O切于點A，∴OA⊥AB，即∠OAB＝90.∵四邊形ABCD為菱形，∴BA＝BC，∴△ABO≌△CBO(SSS)，∴∠BCO＝∠BAO＝90，∴OC⊥BC.∵OC為半徑，∴BC為⊙O的切線．,二、無“公共點”作垂直，證半徑5．如圖，△ABC是等邊三角形，AO⊥BC，垂足為O，⊙O與AC相切于點D，BE⊥AB交AC的延長線于點E，與⊙O相交于G，F(xiàn)兩點．(1)求證：AB與⊙O相切；(2)若等邊三角形ABC的邊長是4，求線段BF的長.,6．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90，CD＝BC＋AD.求證：以CD為直徑的圓與AB相切.,【解析】設以CD為直徑的圓為⊙O.作∠ADC的平分線交AB于點E，過點E作EF⊥CD于點F，連接CE，易證DF＝DA.∵CD＝BC＋AD＝CF＋DF，∴CF＝CB，∴Rt△ECB≌Rt△ECF(HL)，易得∠CED＝90，點E在⊙O上，連接OE，易證OE∥AD，∴OE⊥AB.∵OE為半徑，∴AB與⊙O相切.即以CD為直徑的圓與AB相切.,