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知識點26 反證法、命題與定理 一、選擇題 1. （xx山東濱州，7，3分）下列命題，其中是真命題的為（ ） A．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形 B．對角線互相垂直的四邊形是菱形 C．對角線相等的四邊形是矩形 D．一組鄰邊相等的矩形是正方形 【答案】D 【解析】等腰梯形是一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形，但等腰梯形不是平行四邊形，所以A選項是假命題；對角線互相垂直且互相平分的四邊形是菱形，對角線互相垂直但不互相平分的四邊形不是菱形，所以B選項是假命題；對角線相等且互相平分的四邊形是矩形，對角線相等但不互相平分的四邊形不是矩形，所以C選項是假命題；只有選項D是真命題． 【知識點】平行四邊形的判定、菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定 2. （xx湖南岳陽，7，3分） 下列命題是真命題的是（ ） A．平行四邊形的對角線相等 B．三角形的重心是三條邊的垂直平分線的交點 C．五邊形的內(nèi)角和是 D．圓內(nèi)接四邊形的對角相等 【答案】C. 【解析】解：A選項，平行四邊形的對角線不一定相等，如菱形是平行四邊形，但對角線不相等，故錯誤； B選項，三角形的重心是三條邊的中線的交點，故錯誤； C選項，五邊形的內(nèi)角和為(5-2)180=540，故正確； D選項，圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，不一定相等，故錯誤. 故選C. 【知識點】平行四邊形的性質(zhì)，三角形重心的定義，多邊形內(nèi)角和，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) 3. （xx四川廣安，題號8，分值3）下列命題中：①如果a＞b，那么a2＞b2 ②一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形 ③從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等 ④關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有實數(shù)根，則a的取值范圍是a≤1 其中真命題的個數(shù)是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A. 【解析】當(dāng)a=1，b=-2時，a＞b，則a2＜b2，所以①錯誤； 等腰梯形的一組對邊平行，另一組對邊相等，所以②錯誤； 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，所以③正確； 由關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有實數(shù)根，可知22-4a≥0，且a≠0， 解得a≤1，且a≠0.所以④錯誤. 則真命題的個數(shù)是1個. 【知識點】切線長定理，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，平行四邊形的判定 4. （xx重慶B卷，6，4）下列命題是真命題的是 （ ） A．如果一個數(shù)的相反數(shù)等于這個數(shù)的本身，那么這個數(shù)一定是0 B．如果一個數(shù)的倒數(shù)等于這個數(shù)本身，那么這個數(shù)一定是1 C．如果一個數(shù)的平方等于這個數(shù)的本身，那么這個數(shù)一定是0 D．如果一個數(shù)的算術(shù)平方根等于這個數(shù)的本身，那么這個數(shù)一定是0 【答案】A． 【解析】易知A選項正確，因為倒數(shù)等于其本身的數(shù)是1，平方數(shù)等于其本身的數(shù)有0和1，算術(shù)平方根等于其本身的數(shù)有0和1，故選A． 【知識點】有理數(shù)的概念 相反數(shù) 倒數(shù) 平方數(shù) 算術(shù)平方根 5. （xx湖南衡陽，9，3分） 下列命題是假命題的是（ ） A．正五邊形的內(nèi)角和為 B．矩形的對角線相等 C．對角線互相垂直的四邊形是菱形 D．圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ) 【答案】C. 【解析】解：A．正五邊形的內(nèi)角和為 ，是真命題；B．矩形的對角線相等，是真命題； C．對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故選項C是假命題；D．圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，是真命題.故選C. 【知識點】命題與定理 1. （xx重慶A卷，6，4）下列命題正確的是 （ ） A．平行四邊形的對角線互相垂直平分 B．矩形的對角線互相垂直平分 C．菱形的對角線互相平分且相等 D．正方形的對角線互相垂直平分 【答案】D． 【解析】因為平行四邊形的對角線互相平分，矩形的對角線互相平分且相等，菱形的對角線互相垂直平分，正方形的對角線互相垂直平分且相等，故只有D選項是真命題，因此，選D． 【知識點】命題 2. （xx湖北荊門，4，3分） 下列命題錯誤的是（ ） A．若一個多邊形的內(nèi)角和與外角和相等，則這個多邊形是四邊形 B．矩形一定有外接圓 C.對角線相等的菱形是正方形 D．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形 【答案】D. 【解析】解：A、一個多邊形的外角和為360，若外角和=內(nèi)角和=360，所以這個多邊形是四邊形，故此選項正確； B、矩形的四個角都是直角，滿足對角互補(bǔ)，根據(jù)對角互補(bǔ)的四邊形四點共圓，則矩形一定有外接圓，故此選項正確； C、對角線相等的菱形是正方形，故此選項正確； D、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；而一對邊平行，另一組對邊相等的四邊形可能是平行四邊形或是梯形，故此選項錯誤. 故選：D. 【知識點】多邊形的內(nèi)角和與外角和，四點共圓問題，正方形的判定，平行四邊形的判定 3. （xx湖南省永州市，7，4）下列命題是真命題的是 （ ） A．對角線相等的四邊形是矩形 B．對角線互相垂直的四邊形是菱形 C. 任意多邊形的內(nèi)角和為360 D．三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半 【答案】D 【解析】對角線相等的平行四邊形是矩形，則選項A不正確；對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，則選項B不正確；任意多邊形的內(nèi)角和為180(n-2)，則選項C不正確；三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半，則選項D正確. 因此，本題選D． 【知識點】矩形、菱形的性質(zhì) 多邊形的內(nèi)角和 三角形的中位線 二、填空題 1. （xx北京，11，2）用一組a，b，c的值說明命題“若a＜b，則ac＜bc”是錯誤的，這組值可以是a＝_______，b＝_______，c＝_______． 【答案】答案不唯一，如1，2，－1． 【解析】本題答案不唯一，只要c為負(fù)數(shù)均可，主要考查不等式兩邊同乘以一個負(fù)數(shù)，不等號要改變方向，如“若1＜2，則1(－1)＜2(－1)”是錯誤的，因此，此時的a，b，c的值分別為1，2，－1． 【知識點】一元一次不等式的性質(zhì)；命題；反例 2. （xx江蘇無錫，15，3分）命題“四邊相等的四邊形是菱形”的逆命題是 . 【答案】菱形的四邊都相等 【解析】交換題設(shè)和結(jié)論即可得到原命題的逆命題. 【知識點】逆命題的定義