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2018-2019學年高二數(shù)學下學期期中試題 理 (I) A. — 1 ? 8 ?? B. — 1 — 8 ?? C. 7 ? 8 ?? D. 7 — 8 ?? 5 5 5 5 5 5 5 5 2. 已知直線 y ? x ? 1 與曲線 y ? ln呂x ? ?)相切，則 a的值為呂 ) 3. 函數(shù) y ? lnx的導數(shù)為呂 ) x A. 1 x B. lnx—1 x2 C. 1 — x2 D. 1—lnx x2 4. 函數(shù) f呂x) ? ex — x呂e 為自然對數(shù)的底數(shù))在區(qū)間[0,1]上的最大值是呂 ) A. 1 ? 1 e B. 1 C. e ? 1 D. e — 1 5. 若函數(shù) y ? f呂x)的導函數(shù) y ? f′呂x)的圖象如圖所示，則 y ? f呂x) 的圖象可能呂 ) A. B. C. D. 0 6. 定積分f1 呂2x ? ex)?x 的值為呂 ) A. e ? 2 B. e ? 1 C. e D. e — 1 7. 某同學從 4 本不同的科普雜志，3 本不同的文摘雜志，2 本不同的娛樂新聞雜志中任選一本閱讀，則不同的選法共有( ) A. 24 種 B. 9 種 C. 3 種 D. 26 種 8. 呂x — 1)呂2x ? 1)10的展開式中x10的系數(shù)為呂 ) A. — 512 B. 1024 C. 4096 D. 5120 9. 已知函數(shù) f呂x)的定義域為呂0, ? ∞)，且滿足 f呂x) ? x f?呂x) ? 0呂f?呂x)是 f呂x)的導函數(shù))，則不等式呂x — 1)f呂x2 — 1) € f呂x ? 1)的解集為呂 ) A. 呂— 1,2) B. 呂1,2) C. 呂 1, ? ∞) D. 呂— ∞,2) 10. 已知呂1 ? x)10 ? ?0 ? ?1呂1 — x) ? ?2呂1 — x)2 ? …? ?10呂1 — x)10，則?0 ? ?8 ? 呂 ) A. 664 B. 844 C. 968 D. 1204 11. 六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有 呂 ) A. 192 種 B. 216 種 C. 240 種 D. 288 種 x 12. 若函數(shù) f呂x) ? lnx ? ?x ? 1在[1, ? ∞)上是單調(diào)函數(shù)，則 a的取值范圍是呂 ) A. 呂— ∞,0] U [ 1 , ? ∞) B. 呂— ∞, — 1 ] U [0, ? ∞) 4 4 4 C. [ — 1 ,0] D. 呂— ∞,1] 二、填空題（本大題共 4 小題，共 20.0 分） 13. 在呂1 ? 2x)7的展開式中，第 3 項的系數(shù)是 ． 14. 將 A，B，C，D，E五個字母排成一排，若 A與 B相鄰，且 A與 C不相鄰，則不同的排法共有 種. 15. 已知 f呂x)為偶函數(shù)，當 x ≤ 0 時，f呂x) ? e—x—1 — x，則曲線 y ? f呂x)在點呂1,2)處的切線方程是 ． 16. 已知函數(shù) f呂x) ? x3 — 3 x2 ? n 在呂0,2)上有極值3，則實數(shù) m的值為 ． 2 2 三、解答題（本大題共 6 小題，共 72.0 分） 17. 已知函數(shù) f呂x) ?— x3 ? 3x2 ? 9x ? ?.若 f呂x)在區(qū)間[ — 2,2]上的最大值為 20，求實數(shù)a的值． 18. 已知函數(shù) f呂x) ?— x3 ? ?x2 ? 4x 的圖象在 x ? 1 處的切線方程為 y ?— 3x ? 4．呂Ⅰ)求實數(shù) a的值； 呂Ⅱ)若方程 f x — b ? 0 有三個實數(shù)解，求實數(shù) b的取值范圍． 19. 把 1，2，3，4，5 這 5 個數(shù)字組成無重復數(shù)字的五位數(shù)，并把它們按從小到大的順序排列成一個數(shù)列． 呂1)43251 是這個數(shù)列的第幾項？ 呂2)這個數(shù)列的第 96 項是多少？ 20. 已知二項式呂 x ? 3 x)n呂n C N,n € 15) 呂1)求二項式展開式中各項系數(shù)之和； 呂2)若二項式展開式中第 9 項，第 10 項，第 11 項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求 n的值； 呂3)在呂2)的條件下寫出它展開式中的有理項． 21. 已知函數(shù) f呂x) ? x2 ? ?lnx． 呂Ⅰ)當 ? ?— 2 時，求函數(shù) f呂x)的單調(diào)區(qū)間和極值； x 呂Ⅱ)若 g呂x) ? f呂x) ? 2在[1, ? ∞)上是單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù) a的取值范圍． 22. 已知函數(shù) f呂x) ? xlnx ? ?x ? 1，? C R． 呂1)當時 x ? 0，若關于 x的不等式 f呂x) ≤ 0 恒成立，求 a的取值范圍； ex 呂2)當 x C 呂1, ? ∞)時，證明：e呂x—1) € lnx € x2 — x．  合肥九中 xx - xx xx第學期高二期中考試理科數(shù)學試卷 一、選擇題（本大題共 12 小題，共 60.0 分） 1.A 2.B． 3.D． 4.D 5.C 6.C 7.B 8.C 9.B． 10.D． 11.B 12.B 二、填空題（本大題共 4 小題，共 20.0 分） 13.84 14.36 15.y ? 2x 16.2 三、解答題（本大題共 6 小題，共 72.0 分） 17.（10 分）解：f(x? ?— 3x2 + ?x + 9，令 f(x? ? 0，解得 x ?— 1，或 x ? 3， 函數(shù) f(x?的單調(diào)遞減區(qū)間為( — ?, — 1?，(3, + ??，單調(diào)遞増區(qū)間為( — 1,3?， f( — 2? ? 8 + 12 — 18 + ? ? 2 + ?，f(2? ?— 8 + 12 + 18 + ? ? 22 + ?， f(2? ? f( — 2?， 在( — 1,3?上 f(x? ? 0， f(x?在( — 1,2]上單調(diào)遞增， 又由于 f(x?在[ — 2, — 1?上單調(diào)遞減， f( — 1?是 f(x?的極小值，且 f( — 1? ? ? — 5， f(2?和 f( — 1?分別是 f(x?在區(qū)間[ — 2,2]上的最大值和最小值，于是有 22 + ? ? 20，解得 ? ?— 2． 18.（12 分）解：(Ⅰ? 函數(shù) f(x? ?— x3 + ?x2 + ?x 的圖象在 x ? 1 處的切線方程為 y ?— 3x + ?， ， ，則 ，解得 ? ?— 2； (Ⅱ? f(x? — b ? 0， f x ?b， 由(Ⅰ?得 ，令 ，解得 x ? 2或 x ?— 2， 3 當— 2 ? x ? 2 時， 0 /> ， f(x?在( — 2, 2 ?上單調(diào)遞增， 3 3 當 x ?— 2 或x ? 2時， 0 /> ， f(x?在 — ?, — 2 和( 2 , + ??上單調(diào)遞減， 3 3 所以 f(x?在 x ?— 2 處取得極小值 f — 2 ?— 8，在 x ? 2處取得極大值 f( 2 ? ? ?0 ， 3 3 27 所以當— 8 ? b ? ?0時，y ? f(x?的圖象與直線 y ? b 有三個交點， 27 那么方程 f(x? — b ? 0 有三個實數(shù)解，故實數(shù) b 的取值范圍為( — 8, ?0 ?． 27 19.（12 分）解：(1?先考慮大于 43251 的數(shù)，分為以下三類 第一類：以 5 打頭的有：A? ? 2?， 第二類：以 45 打頭的有：A3 ??， ? 3 第三類：以 435 打頭的有：A2 ? 2， 故不大于 43251 的五位數(shù)有：A5 — (A? + A3 + A2? ? 88(個?， 2 即 43251 是第 88 項． 5 ? 3 2 (2?1 開頭的五位數(shù)有A? ? 2?；2 開頭的五位數(shù)有A? ? 2?；3 開頭的五位數(shù)有A? ? 2?； ? ? ? ? 4 開頭的五位數(shù)有A? ? 2?；所以 1、2、3、4 開頭的五位數(shù)共有 96 個所以第 96 項是 4 開頭最大的數(shù)，即 45321． 20.（12 分）(1?二項式展開式中各項系數(shù)之和就是二項式展開式中各項的二項式系數(shù)之和 二項式展開式中各項系數(shù)之和為C0 + C1 + C2 + … + Cn ? 2n， n n n n (2?展開式中第 9 項，第 10 項，第 11 項的二項式系數(shù)分別是C8，C9，C10，依題意得C8 + C10 ? 2C9， n n n n n n 寫 成 n！ 8?(n—8?? + n！ 10?(n—10??  ? 2 n！ 9?(n—9?? 化簡得 90 + (n — 9?(n — 8? ? 2 10(n — 8?， 即：n2 — 37n + 322 ? 0，解得 n ? 1?或 n ? 23； 1?—r r ?2—r 1? 1? (3?展開式的通項為Tr+1 ?Cr x 2 x3 ? Cr x ? ， 展開式中的有理項當且僅當 r 是 6 的倍數(shù)，又 0 ≤ r ≤ 1?， 展開式中的有理項共 3 項是 r ? 0，r ? ?，r ? 12， 展開式中的有理項是T1 ?C0 x7 ?x7，T7 ? C? x? ? 3003x?，T13 ?C12x5 ? 91x5． 1? 1? 1? 21.（12 分）解：(Ⅰ? 函數(shù) f(x? ? x2 + ?lnx， 函數(shù) f(x?的定義域為(0, + ??． 當 ? ?— 2 時，f(x? ? 2x — 2 ? 2(x+1?(x—1?． x x x (0,1? 1 (1, + ?? f(x? — 0 + f(x? 遞減 極小值 遞增 當 x 變化時，f(x?和 f(x?的值的變化情況如下表： 由上表可知，函數(shù) f(x?的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1?、單調(diào)遞增區(qū)間是(1, + ??、極小值是 f(1? ? 1． (Ⅱ? 由 g(x? ? x2 + ?lnx + 2，得 g(x? ? 2x + ? — 2 ． x x x2 若函數(shù) g(x?為[1, + ??上的單調(diào)增函數(shù)，則 g(x? ≤ 0 在[1, + ??上恒成立， 即不等式 2x — 2 + ? ≤ 0 在[1, + ??上恒成立．也即 ? ≤ 2 — 2x2在[1, + ??上恒成立． x2 x x 令 (x? ? 2 — 2x2，則 (x? ?— 2 — ?x．當 x C [1, + ??時， (x? ?— 2 — ?x ? 0， x x2 x2 x (x? ? 2 — 2x2在[1, + ??上為減函數(shù)， (x?n?x ? (1? ? 0． ? ≤ 0． ? 的取值范圍為[0, + ??． 22.（12 分）解：(1?由 f(x? ≤ 0，得 xlnx + ?x + 1 ≤ 0(x ? 0?．整理，得— ? ≤ lnx + 1恒成立，即— ? ≤ (lnx + 1 ?n?n． x x 令 F(x? ? lnx + 1 .則 F(x? ? 1 — 1 ?x—1． x x x2 x2 函數(shù) F(x?在(0,1?上單調(diào)遞減，在(1, + ??上單調(diào)遞增． 函數(shù) F(x? ? lnx + 1的最小值為 F(1? ? 1． x — ? ≤ 1，即 ? ≤— 1． ? 的取值范圍是[ — 1, + ??． 證明：(2?由(1?，當 ? ?— 1 時，有 xlnx ≤ x — 1，即 lnx ≤ x—1． x 要證e(x—1? ? lnx，可證e(x—1? ? x—1，x ? 1，即證e ? 1，x ? 1． ex ex x ex x 構造函數(shù) G(x? ? ex — ex(x ≤ 1?.則 ． 當 x ? 1 時， 0. G(x)/>在[1, + ??上單調(diào)遞增． G(x? ?G(1? ? 0 在(1, + ??上成立，即ex ?ex，證得e ? 1． ex x 當 x C (1, + ??時，e(x—1? ? lnx 成立． e 構造函數(shù) H(x? ? lnx — x2 + x(x ≤ 1?． 則 H(x? ? 1 — 2x + 1 ? —(2x2—x—1? ?—(2x+1?(x—1?． x x x 當 x ? 1 時， ， H(x?在[1, + ??上單調(diào)遞減． H(x? ? H(1? ? 0， 即 lnx — x2 + x ? 0(x ? 1?． 當 x C (1, + ??時，lnx ? x2 — x 成立． 綜上，當 x C (1, + ??時，有e(x—1? ? lnx ? x2 — x． e