2011質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程.ppt
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第三篇動力學(xué),引言,回顧,靜力學(xué)研究物體在力系作用下的平衡規(guī)律及力系的簡化;,運(yùn)動學(xué)從幾何觀點(diǎn)研究物體的運(yùn)動,而不涉及物體所受的力;,動力學(xué)研究物體的機(jī)械運(yùn)動與作用力之間的關(guān)系。,動力學(xué)就是從因果關(guān)系上論述物體的機(jī)械運(yùn)動。是理論力學(xué)中最具普遍意義的部分,靜力學(xué)、運(yùn)動學(xué)則是動力學(xué)的特殊情況。,低速、宏觀物體的機(jī)械運(yùn)動的普遍規(guī)律。,動力學(xué)的研究對象:,動力學(xué)的理論基礎(chǔ):,牛頓定律的適用范圍(1)不適于微觀物體;(2)物體的運(yùn)動速度不能太大。,牛頓的運(yùn)動三定律,簡稱牛頓定律或動力學(xué)基本定律,動力學(xué)分為質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)和質(zhì)點(diǎn)系動力學(xué):質(zhì)點(diǎn):具有一定質(zhì)量而幾何形狀和大小可以忽略不計的物體。質(zhì)點(diǎn)系:由幾個或無限個相互有聯(lián)系的質(zhì)點(diǎn)所組成的系統(tǒng)。質(zhì)點(diǎn)系可分為不變質(zhì)點(diǎn)系(如單個剛體)和可變質(zhì)點(diǎn)系(如剛體系統(tǒng))本課程重點(diǎn)放在質(zhì)點(diǎn)系動力學(xué)。,牛頓,牛頓在光學(xué)上的主要貢獻(xiàn)是發(fā)現(xiàn)了太陽光是由7種不同顏色的光合成的,他提出了光的微粒說。牛頓在數(shù)學(xué)上的主要貢獻(xiàn)是與萊布尼茲各自獨(dú)立地發(fā)明了微積分,給出了二項(xiàng)式定理。牛頓在力學(xué)上最重要的貢獻(xiàn),也是牛頓對整個自然科學(xué)的最重要貢獻(xiàn)是他的巨著自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理。這本書出版于1687年,書中提出了萬有引力理論并且系統(tǒng)總結(jié)了前人對動力學(xué)的研究成果,后人將這本書所總結(jié)的經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)稱為牛頓力學(xué)。,解決動力學(xué)兩類基本問題的途徑:,直接應(yīng)用牛頓定律建立質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分方程;綜合應(yīng)用動力學(xué)普遍定理;應(yīng)用達(dá)朗伯定理。,動力學(xué)的主要任務(wù)(解決的基本問題):,第一類:已知物體的運(yùn)動規(guī)律,求作用在此物體上的力;,第二類:已知作用在物體上的力求此物體產(chǎn)生什么樣的運(yùn)動。,第十章質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的基本方程,10-1動力學(xué)的基本定律,10-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分方程,10-3質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的兩類基本問題,第一定律(慣性定律),10-1動力學(xué)的基本定律,不受力作用的質(zhì)點(diǎn),將保持靜止或作勻速直線運(yùn)動。,本定律揭示了一切物體均有保持靜止或作勻速直線運(yùn)動的性質(zhì),即慣性。,說明:,勻速直線運(yùn)動稱為慣性運(yùn)動。,明確了力是改變(而不是維持!)物體運(yùn)動的原因。,第二定律(力與加速度之間的關(guān)系的定律),質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度的乘積,等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力的大小,加速度的方向與力的方向相同。,即,此式建立了質(zhì)點(diǎn)的加速度、質(zhì)量與作用力之間的定量關(guān)系。,質(zhì)量是質(zhì)點(diǎn)慣性的度量。,說明:,在地球表面,物體受重力作用,有,P=mg,式中,g重力加速度,一般取g=9.80m/s2。,第三定律(作用與反作用定律),兩個物體間的作用力與反作用力總是大小相等,方向相反,沿著同一直線,且同時分別作用在這兩個物體上。,動力學(xué)基本定律說明:,(1)牛頓三定律適用的坐標(biāo)系稱為慣性坐標(biāo)系。,工程問題中,取固于地面或相對于地面作勻速直線運(yùn)動的坐標(biāo)系為慣性坐標(biāo)系,,(2)以牛頓三定律為基礎(chǔ)的力學(xué)稱為古典力學(xué)。,10-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分方程,根據(jù)牛頓第二定律,若質(zhì)點(diǎn)M的質(zhì)量為m,受n個力F1,F2,.,Fn作用,,則有,或,而,則,矢量形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程。,1.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程在直角坐標(biāo)軸上的投影,直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程,2.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程在自然軸上的投影,(),(),在質(zhì)點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡上建立自然軸系Mbn,,根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)知,質(zhì)點(diǎn)的加速度在運(yùn)動軌跡的密切面內(nèi),即,所以作用在該質(zhì)點(diǎn)上力系的合力也應(yīng)該在此密切面內(nèi),,則,自然軸系的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程,10-3質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的兩類基本問題,第一類基本問題:已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動,求此質(zhì)點(diǎn)所受的力。,如果知道質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律,通過導(dǎo)數(shù)運(yùn)算,求出該質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度,代入質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分方程,得一代數(shù)方程組,即可求解。,第二類基本問題:已知作用在質(zhì)點(diǎn)上的力,求解此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動。,求解質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的第二類基本問題,如求質(zhì)點(diǎn)的速度、運(yùn)動方程等,歸結(jié)為解微分方程或求積分問題,還需確定相應(yīng)的積分常數(shù)。因此,需按作用力的函數(shù)規(guī)律進(jìn)行積分,并根據(jù)具體問題的運(yùn)動條件確定積分常數(shù)。在實(shí)際問題中,只有在一些比較特殊的情況下,能解出微分方程,獲得解析解;更多情況下,往往只能通過逐步逼近或數(shù)值計算的方法,獲得近似解或數(shù)值解。,注意:微分方程等號左邊總設(shè)為正,等號右邊是力在坐標(biāo)軸上的投影,應(yīng)注意投影的正負(fù)號。,1、求質(zhì)點(diǎn)的加速度,y,x,解:,例題1質(zhì)點(diǎn)M的質(zhì)量為m,運(yùn)動方程是x=bcost,y=dsint,其中b,d,為常量。求作用在此質(zhì)點(diǎn)上的力。,2、求質(zhì)點(diǎn)所受的力,由,得,M,討論:,力的方向永遠(yuǎn)指向橢圓中心,為有心力;,力的大小與此質(zhì)點(diǎn)至橢圓中心的距離成正比。,易知:,求質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程:,從運(yùn)動方程中消去t,得,質(zhì)點(diǎn)所受的力可表示為,例2在均勻的靜止液體中,質(zhì)量為m的物體M從液面處無初速下沉。設(shè)液體阻力FR=,其中為阻尼系數(shù)。試分析該物體的運(yùn)動規(guī)律及其特征。,解:為建立質(zhì)點(diǎn)M的運(yùn)動微分方程,將參考坐標(biāo)系的原點(diǎn)固結(jié)在該點(diǎn)的起始位置上,x軸鉛直向下。該質(zhì)點(diǎn)的受力圖如圖,則質(zhì)點(diǎn)M的位移、速度、加速度均設(shè)為沿x軸的正方向。則運(yùn)動微分方程為,FR,8.3質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的兩類基本問題,FR,令,這就是該物體下沉的運(yùn)動規(guī)律。,運(yùn)動的起始條件為:t=0時,v0=0,x0=0,8.3質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的兩類基本問題,該物體下沉速度將趨近一極限值,這個速度稱之為物體在液體中自由下沉的極限速度,討論:由此可以看出在阻尼系數(shù)基本相同的情況下(即物體的大小、形狀基本相同時),物體的質(zhì)量越大,它趨近于極限速度所需的時間越長。工程中的選礦、選種工作,就是應(yīng)用了這個道理。,8.3質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的兩類基本問題,例題3已知桁車吊的重物重為G,以勻速度v0前進(jìn),繩長為l。求突然剎車時,繩子所受的最大拉力。,解:研究重物,,桁車突然剎車后,重物做圓弧擺動。,當(dāng)其擺至角處,受力如圖。,由自然軸系的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程,有,(a),(b),可知,拉力T與重物的速度v、擺角有關(guān),,對(a)式進(jìn)行分離變量并積分:,l,(c),將(c)式代入(b)式,得,當(dāng)=0時,,本例的實(shí)際指導(dǎo)意義:,桁車行進(jìn)的速度不宜過快;,繩子不宜太短;,實(shí)際數(shù)據(jù)例如:,則可求得,式中G前的系數(shù)即動荷系數(shù)。,已求得:突然剎車時,繩子所受的最大拉力為,由此可知:,- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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