2018年高中數(shù)學(xué) 第3章 統(tǒng)計(jì)案例 3.2 回歸分析教學(xué)案 蘇教版選修2-3.doc
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3.2 回歸分析1線性回歸模型(1)隨機(jī)誤差具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的取值x、y,y的值不能由x完全確定,可將x,y之間的關(guān)系表示為yabx,其中abx是確定性函數(shù),稱為隨機(jī)誤差(2)隨機(jī)誤差產(chǎn)生的主要原因所用的確定性函數(shù)不恰當(dāng)引起的誤差;忽略了某些因素的影響;存在觀測(cè)誤差(3)線性回歸模型中a,b值的求法yabx稱為線性回歸模型a,b的估計(jì)值為a ,b ,則(4)回歸直線和線性回歸方程直線y_a_b_x稱為回歸直線,此直線方程即為線性回歸方程,a 稱為回歸截距,b 稱為回歸系數(shù),y 稱為回歸值2樣本相關(guān)系數(shù)r及其性質(zhì)(1)r(2)r具有以下性質(zhì)|r|1|r|越接近于1,x,y的線性相關(guān)程度越強(qiáng)|r|越接近于0,x,y的線性相關(guān)程度越弱3對(duì)相關(guān)系數(shù)r進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)的基本步驟(1)提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)H0:變量x,y不具有線性相關(guān)關(guān)系(2)如果以95%的把握作出判斷,那么可以根據(jù)10.950.05與n2在教材附錄2中查出一個(gè)r的臨界值r0.05(其中10.950.05稱為檢驗(yàn)水平)(3)計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)r(4)作出統(tǒng)計(jì)推斷:若|r|r0.05,則否定H0,表明有95%的把握認(rèn)為x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系;若|r|r0.05,則沒有理由拒絕原來的假設(shè)H0,即就目前數(shù)據(jù)而言,沒有充分理由認(rèn)為y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系1在線性回歸方程中,b既表示回歸直線的斜率,又表示自變量x的取值增加一個(gè)單位時(shí),函數(shù)值y的改變量2通過回歸方程y a b x可求出相應(yīng)變量的估計(jì)值3判斷變量之間的線性相關(guān)關(guān)系,一般用散點(diǎn)圖,但在作圖中,由于存在誤差,有時(shí)很難判斷這些點(diǎn)是否分布在一條直線的附近,從而就很難判斷兩個(gè)變量之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系,此時(shí)就必須利用線性相關(guān)系數(shù)來判斷例1假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x(年)和所支出的維修費(fèi)用y(萬元)有如下的統(tǒng)計(jì)資料:x23456y2.23.85.56.57.0若由數(shù)據(jù)可知,y對(duì)x呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系(1)求線性回歸方程;(2)估計(jì)使用年限為10年時(shí),維修費(fèi)用是多少?思路點(diǎn)撥代入數(shù)值求線性回歸方程,然后把x10代入,估計(jì)維修費(fèi)用精解詳析(1)列表如下:i12345xi23456yi2.23.85.56.57.0xiyi4.411.422.032.542.0x49162536經(jīng)計(jì)算得:x4,y5,5,i1x90,5,i1xiyi112.3,a yb x0.08,所以線性回歸方程為y a b x0.081.23x.(2)當(dāng)x10時(shí),y 0.081.231012.38(萬元),即若估計(jì)使用年限為10年時(shí),維修費(fèi)用為12.38萬元一點(diǎn)通線性回歸分析的步驟:(1)列出散點(diǎn)圖,從直觀上分析數(shù)據(jù)間是否存在線性相關(guān)關(guān)系;(2)計(jì)算x,y,n,i1x,n,i1y,n,i1xiyi;(3)代入公式求出y b xa 中參數(shù)b ,a 的值;(4)寫出線性回歸方程,并對(duì)實(shí)際問題作出估計(jì)1 某研究機(jī)構(gòu)對(duì)高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,所得數(shù)據(jù)如下表:x681012y2356則y對(duì)x的線性回歸方程為_解析:9,4,故y對(duì)x的線性回歸方程為y 0.7x2.3.答案:y 0.7x2.32某班5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績(jī)?nèi)绫恚簩W(xué)生學(xué)科ABCDE數(shù)學(xué)成績(jī)(x)8876736663物理成績(jī)(y)7865716461(1)畫出散點(diǎn)圖;(2)求物理成績(jī)y對(duì)數(shù)學(xué)成績(jī)x的線性回歸方程;(3)一名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)是96,試預(yù)測(cè)他的物理成績(jī)解:(1)散點(diǎn)圖如圖(2)x (8876736663)73.2.y(7865716461)67.8.xiyi8878766573716664636125 054.又x88276273266263227 174.y對(duì)x的線性回歸方程是y 0.625x22.05.(3)當(dāng)x96時(shí),y 0.6259622.0582.可以預(yù)測(cè)他的物理成績(jī)是82. 例2現(xiàn)隨機(jī)抽取了某中學(xué)高一10名在校學(xué)生,他們?nèi)雽W(xué)時(shí)的數(shù)學(xué)成績(jī)(x)與入學(xué)后第一次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)(y)如下:學(xué)生號(hào)12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771請(qǐng)問:這10名學(xué)生的兩次數(shù)學(xué)成績(jī)是否具有線性關(guān)系?思路點(diǎn)撥可先計(jì)算線性相關(guān)系數(shù)r的值,然后與r0.05比較,進(jìn)而對(duì)x與y的相關(guān)性作出判斷精解詳析x(12010899108)107.8,y(84645771)68.所以相關(guān)系數(shù)為r0.751.由檢驗(yàn)水平0.05及n28,在附錄2中查得r0.050.632,因?yàn)?.7510.632,由此可看出這10名學(xué)生的兩次數(shù)學(xué)成績(jī)具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系一點(diǎn)通利用相關(guān)系數(shù)r進(jìn)行判斷相關(guān)關(guān)系,需要應(yīng)用公式計(jì)算出r的值,由于數(shù)據(jù)較大,需要借助計(jì)算器,但計(jì)算時(shí)應(yīng)該特別細(xì)心,避免出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤3對(duì)于回歸分析,有下列敘述:(1)在回歸分析中,變量間的關(guān)系若是非確定性關(guān)系,則因變量不能自由變量惟一確定(2)線性相關(guān)系數(shù)可以是正的或是負(fù)的(3)回歸分析中,如果r21或r1,說明x與y之間完全線性相關(guān)(4)樣本相關(guān)系數(shù)r(,)判斷其說法是否正確解:由回歸模型及其性質(zhì)易知(1),(2),(3)是正確的相關(guān)系數(shù)的取值范圍應(yīng)為|r|1,所以(4)是錯(cuò)誤的4一臺(tái)機(jī)器由于使用時(shí)間較長(zhǎng),但還可以使用,它按不同的轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來的某機(jī)械零件有一些會(huì)有缺點(diǎn),每小時(shí)生產(chǎn)有缺點(diǎn)的零件的多少,隨機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)的速度而變化,下表為抽樣試驗(yàn)的結(jié)果:轉(zhuǎn)速x(轉(zhuǎn)/秒)1614128每小時(shí)生產(chǎn)有缺點(diǎn)的零件數(shù)y(件)11985對(duì)變量y與x進(jìn)行線性相關(guān)性檢驗(yàn)解:由題中數(shù)據(jù)可得12.5,8.25,xiyi438,4 412.5,x660,y291,所以0.995.由檢驗(yàn)水平0.05及n22在教材附錄表2中查得r0.050.950,因?yàn)閞r0.05,所以y與x具有線性相關(guān)關(guān)系對(duì)兩個(gè)相關(guān)變量進(jìn)行線性回歸分析時(shí),首先判斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān),可以通過散點(diǎn)圖和相關(guān)系數(shù)判斷,然后再求線性回歸方程,對(duì)問題進(jìn)行預(yù)測(cè),否則求出的回歸方程無意義,預(yù)測(cè)也無價(jià)值課下能力提升(十九)一、填空題1下列命題中正確的是_(填所有正確命題的序號(hào))任何兩個(gè)變量都具有相關(guān)關(guān)系;圓的周長(zhǎng)與圓的半徑具有相關(guān)關(guān)系;某商品的需求量與該商品的價(jià)格是一種非確定性關(guān)系;根據(jù)散點(diǎn)圖求得的線性回歸方程可能是沒有意義的;兩個(gè)變量的線性相關(guān)關(guān)系可以通過線性回歸方程,把非確定性問題轉(zhuǎn)化為確定性問題進(jìn)行研究解析:顯然是錯(cuò)誤的;而中,圓的周長(zhǎng)與圓的半徑的關(guān)系為C2R,是一種確定性的函數(shù)關(guān)系答案:2已知x,y的取值如下表:x0134y2.24.34.86.7從所得的散點(diǎn)圖分析,y與x線性相關(guān),且y 0.95xa ,則a _解析:2,4.5.又回歸直線恒過定點(diǎn)(,),代入得a 2.6.答案:2.63從某大學(xué)隨機(jī)選取8名女大學(xué)生,其身高x(cm)和體重y(kg)的線性回歸方程為y 0.849x85.712,則身高172 cm的女大學(xué)生,由線性回歸方程可以估計(jì)其體重為_解析:y 0.84917285.71260.316.答案:60.316 kg4有下列關(guān)系:人的年齡與他(她)擁有的財(cái)富之間的關(guān)系;曲線上的點(diǎn)與該點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系;蘋果的產(chǎn)量與氣候之間的關(guān)系;森林中的同一種樹木,其斷面直徑與高度之間的關(guān)系;學(xué)生與其學(xué)號(hào)之間的關(guān)系其中有相關(guān)關(guān)系的是_(填序號(hào))解析:由相關(guān)關(guān)系定義分析答案:5某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:廣告費(fèi)用x(萬元)4235銷售額y(萬元)49263954根據(jù)上表可得線性回歸方程yb xa 中的b 為9.4,據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)銷售額為_萬元解析:樣本中心點(diǎn)是(3.5,42),答案:65.5二、解答題6下面是水稻產(chǎn)量與施肥量的一組觀測(cè)數(shù)據(jù):施肥量15202530354045水稻產(chǎn)量320330360410460470480(1)將上述數(shù)據(jù)制成散點(diǎn)圖;(2)你能從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)施肥量與水稻產(chǎn)量近似成什么關(guān)系嗎?解:(1)散點(diǎn)圖如下:(2)從圖中可以發(fā)現(xiàn)施肥量與水稻產(chǎn)量具有線性相關(guān)關(guān)系,當(dāng)施肥量由小到大變化時(shí),水稻產(chǎn)量也由小變大,圖中的數(shù)據(jù)點(diǎn)大致分布在一條直線的附近,因此施肥量和水稻產(chǎn)量近似成線性正相關(guān)關(guān)系7在一段時(shí)間內(nèi),分5次測(cè)得某種商品的價(jià)格x(萬元)和需求量y(t)之間的一組數(shù)據(jù)為12345價(jià)格x1.41.61.822.2需求量y1210753已知5,i1xiyi62,5,i1x16.6.(1)畫出散點(diǎn)圖;(2)求出y對(duì)x的線性回歸方程;(3)如價(jià)格定為1.9萬元,預(yù)測(cè)需求量大約是多少?(精確到0.01 t)解:(1)散點(diǎn)圖如下圖所示:(2)因?yàn)閤91.8,y377.4,8為了分析某個(gè)高三學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài),對(duì)其下一階段的學(xué)習(xí)提供指導(dǎo)性建議現(xiàn)對(duì)他前7次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)x、物理成績(jī)y進(jìn)行分析下面是該生7次考試的成績(jī):數(shù)學(xué)(x)888311792108100112物理(y)949110896104101106(1)他的數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)哪個(gè)更穩(wěn)定?請(qǐng)給出你的證明;(2)已知該生的物理成績(jī)y與數(shù)學(xué)成績(jī)x是線性相關(guān)的,若該生的物理成績(jī)達(dá)到115分,請(qǐng)你估計(jì)他的數(shù)學(xué)成績(jī)大約是多少?并請(qǐng)你根據(jù)物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)的相關(guān)性,給出該生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理上的合理性建議解:(1)100100;100100;142,從而,物理成績(jī)更穩(wěn)定(2)由于x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系,因?yàn)閤iyi70 497,x70 994,所以根據(jù)回歸系數(shù)公式得到當(dāng)y115時(shí),x130,即該生物理成績(jī)達(dá)到115分時(shí),他的數(shù)學(xué)成績(jī)大約為130分建議:進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí),提高數(shù)學(xué)成績(jī)的穩(wěn)定性,將有助于物理成績(jī)的進(jìn)一步提高.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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