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全等在幾何探究題中的應用 深度練習 1．(xx襄陽)如圖①，已知點G在正方形ABCD的對角線AC上，GE⊥BC，垂足為點E，GF⊥CD，垂足為點F. (1)證明與推斷： ①求證：四邊形CEGF是正方形； ②推斷：的值為________； (2)探究與證明： 將正方形CEGF繞點C順時針方向旋轉α角(0＜α＜45)，如圖②所示，試探究線段AG與BE之間的數量關系，并說明理由； (3)拓展與運用： 正方形CEGF在旋轉過程中，當B，E，F三點在一條直線上時，如圖③所示，延長CG交AD于點H.若AG＝6，GH＝2，則BC＝______． 2．(xx益陽)如圖①，在矩形ABCD中，E是AD的中點，以點E為直角頂點的直角三角形EFG的兩邊EF，EG分別過點B，C，∠F＝30. (1)求證：BE＝CE； (2)將△EFG繞點E按順時針方向旋轉，當旋轉到EF與AD重合時停止轉動，若EF，EG分別與AB，BC相交于點M，N(如圖②)． ①求證：△BEM≌△CEN； ②若AB＝2，求△BMN面積的最大值； ③當旋轉停止時，點B恰好在FG上(如圖③)，求sin∠EBG的值． 參考答案 1．(1)證明： ①∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90，∠BCA＝45. ∵GE⊥BC，GF⊥CD， ∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90. ∴四邊形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45. ∴EG＝EC.∴四邊形CEGF是正方形． ②＝. (2)解：如解圖①，連接CG，由旋轉性質可知∠BCE＝∠ACG＝α. 在Rt△CEG和Rt△CBA中，＝cos 45＝，＝cos 45＝. ∴＝＝.∴△ACG∽△BCE.∴＝＝. ∴線段AG與BE之間的數量關系為AG＝BE. (3)解：如解圖②，連接DF，由(2)知△BCE∽△ACG， ∴∠BEC＝∠AGC. ∵四邊形CEGF是正方形， ∴∠CEF＝∠CFE＝∠CGF＝ 45，CG⊥EF. ∵∠BEC＝180－∠CEF＝135，∴∠AGC＝135. ∴∠AGC＋∠CGF＝135＋45＝180. ∴A，G，F三點在一條直線上． 又∠BCD＝∠ECF＝90， ∴∠BCE＝∠DCF. 而BC＝DC，EC＝FC， 第1題解圖② ∴△BEC≌△DFC(SAS)． ∴BE＝DF，∠BEC＝∠DFC. ∵＝，AG＝6， ∴BE＝DF＝3. ∵∠BEC＝135，∠CFE＝45， ∴∠BFD＝∠DFC－∠CFE＝135－45＝90. 又CH⊥BF，∴CH∥DF. ∴△AGH∽△AFD.∴＝＝. ∴＝＝. ∴GF＝3，＝. 設AH＝2x，則AD＝3x，DH＝x. 又由正方形ABCD和正方形CEGF，知AD＝CD＝3x，GC＝GF＝3， ∴在Rt△CDH中，由DH2＋CD2＝CH2，得x2＋(3x)2＝(2＋3)2， 解得x1＝，x2＝－(不合題意，舍去)． ∴AD＝3，即BC＝3. 故答案為3. 2．解：(1)∵矩形ABCD，∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90， ∵AE＝DE，∴△ABE≌△DCE， ∴BE＝CE； (2)①∵∠AEB＋∠ABE＝90，∠AEB＋∠CED＝90， 第2題解圖 ∴∠ABE＝∠CED， ∵∠CED＝∠ECB， ∴∠ABE＝∠ECB， ∵∠BEC＝∠MEN＝90， ∴∠BEM＝∠CEN，由(1)得BE＝CE， ∴△BEM≌△CEN； ②由(1)得△ABE≌△DCE， ∴∠BEA＝∠CED， ∵∠ABE＝∠CED，∴∠BEA＝∠ABE， ∴AB＝AE＝DE＝2， 設BM＝x，由①得△BEM≌△CEN， ∴BM＝CN＝x，∴BN＝4－x， ∴△BMN面積＝x(4－x)＝－(x－2)2＋2，又0≤x≤2，∴當x＝2時，△BMN面積最大，最大值為2. ③如解圖，過點E作EH⊥FG于點H.在Rt△ABF中，∠F＝30，AB＝2， ∴FA＝2，∴FE＝FA＋AE＝2＋2， ∴EH＝＋1， 在Rt△BEH中， ∵BE＝2， ∴sin∠EBG＝＝＝.