河南省2019年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四章 三角形微專項.doc
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全等三角形中的兩大輔助線技巧突破點1倍長中線倍長中線法:延長三角形一邊的中線至一點,使所延長的部分與該中線相等,并連接該點與這條邊的一個頂點,得到兩個全等的三角形.這種方法主要用于構(gòu)造全等三角形或證明對應(yīng)邊之間的關(guān)系.倍長中線常用輔助線添加方法(倍長中線等中線,等量關(guān)系一大片)敘述圖示結(jié)論基本圖形:在ABC中,AD為BC邊上的中線.倍長中線:延長AD到點E,使ED=AD,連接BE.ACDEBD;根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得到:AD12(AB+AC).倍長中線的變形作法一:M為AB上一點,連接MD并延長到點N,使ND=MD,連接CN;作法二:過點C作CNAB,與過點D的直線交于點N,該直線與AB交于點M.BDMCDN 如圖,在ABC中,AD是中線,BAC=BCA,點E在BC的延長線上,CE=AB,連接AE.求證:AE=2AD.思路分析見到中線,試一下倍長中線的輔助線作法,得到相等的線段,再利用三角形全等和等量代換進(jìn)行證明.自主解答1.如圖,在ABC中,AB=5,AC=3,則中線AD的取值范圍是.(第1題)(第2題)2.如圖,在ABC中,點E,F分別在AB,AC上,點D是BC邊上的中點,DEDF,則BE+CF與EF的大小關(guān)系為.3.如圖,在ABC中,AD是BC邊上的中線,點E是AD上一點,且BE=AC,延長BE交AC于點F.求證:AF=EF.4.如圖,在ABC中,AD交BC于點D,點E是BC的中點, EFAD交CA的延長線于點F,交AB于點G,已知BG=CF,求證:AD為ABC的角平分線.突破點2旋轉(zhuǎn)圖形的旋轉(zhuǎn)是近幾年河南中考必考的內(nèi)容.運用旋轉(zhuǎn)的全等變換,證明線段相等、和差倍分關(guān)系以及角相等、和差倍分關(guān)系都是近幾年中考常見的類型.旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì):對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角;旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.旋轉(zhuǎn)的基本圖形圖形旋轉(zhuǎn)的要點利用旋轉(zhuǎn)作輔助線的基本思路如圖,將AOB旋轉(zhuǎn)至AOB,則AOA=BOB.1.找準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)中的“變”與“不變”;2.找準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)前后的“對應(yīng)關(guān)系”;3.充分挖掘旋轉(zhuǎn)過程中線段之間的關(guān)系;4.找旋轉(zhuǎn)點,得等邊、等角;5.證全等或相似;6.利用全等或相似得到邊、角關(guān)系.1.以等邊三角形為背景的旋轉(zhuǎn)60(遇60旋轉(zhuǎn)60);2.以正方形為背景的旋轉(zhuǎn)90(遇90旋轉(zhuǎn)90);3.將分散的條件通過旋轉(zhuǎn)變換集中在一塊“形成合力”破解難題(若條件是分散的,則試試看把圖形進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)、翻折).如圖,將AOB旋轉(zhuǎn)至AOB,連接AA,BB,則AOABOB. 如圖,在O的內(nèi)接四邊形ABCD中,AB=3,AD=5,BAD= 60,點C為BD的中點,則AC的長是 .思路分析四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形,ABC+ADC=180,又點C為BD的中點,BC=CD.將ABC繞點C旋轉(zhuǎn)至EDC,則A,D,E三點共線,這樣就把分散的條件集中在一塊了,旋轉(zhuǎn)變換后的圖形是等腰三角形,再利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)求出AC的值即可.(利用旋轉(zhuǎn)時,一般要滿足兩個條件:有相等的邊,兩角之和為180)5.如圖,點P為等邊三角形ABC內(nèi)的一點,且點P到ABC三個頂點A,B,C的距離分別為1,2,3,則ABC的面積為.(第5題)(第6題)6.如圖,在正方形ABCD中,點E為BC上一點,點F為CD上一點,BE+DF=EF,則EAF的度數(shù)為.7.如圖,在ABC中,C=90,點D,E,F分別在邊CA,AB,BC上,且四邊形CDEF是正方形,已知BE=2.2,EA=4.1,則BFE和AED的面積之和為.8.如圖,OA=OD,OAOD,OB=OC,OBOC,經(jīng)過點O的直線l分別交AB,CD于點E,F.(1)試說明:SOAB=SOCD;(2)若直線l平分CD,求證:OF=12AB.9.如圖,點D為等腰直角三角形ABC斜邊AB的中點,DMDN,DM,DN分別交BC,CA于點E,F.(1)當(dāng)MDN繞點D轉(zhuǎn)動時,求證:DE=DF;(2)若AB=2,求四邊形DECF的面積.10.如圖,等腰三角形ABC繞頂點B逆時針旋轉(zhuǎn)到A1BC1的位置,AB與A1C1相交于點D,AC與A1C1,BC1分別相交于點E,F.(1)求證:BCFBA1D;(2)當(dāng)C=時,判斷四邊形A1BCE的形狀并說明理由.一線三直角模型1.模型說明一線三直角是一個常見的相似模型,指的是有三個直角的頂點在同一條直線上構(gòu)成的相似圖形,有些地區(qū)稱“三垂直模型”,也有稱“K形圖”或“M形圖”.(一線三等角不僅可以是直角,也可以是銳角或鈍角.本專題主要研究一線三直角模型)2.識別方法(1)查找圖形中已知的直角,順著這個直角的頂點尋找或者構(gòu)造模型中的“一線”;(2)構(gòu)造其他直角,構(gòu)造的直角的頂點必須在“同一條直線”上, “這條直線”可能在已知角的外部,也可能“穿過”這個角.3.構(gòu)造一線三直角的基本步驟做題過程中,若出現(xiàn)一直角的頂點在一條直線上的形式,就可以構(gòu)造兩側(cè)的直角三角形,利用全等三角形或相似三角形解決相關(guān)問題.綜合性題目往往就會把全等和相似的轉(zhuǎn)化作為出題的一種形式.本質(zhì)就是找角、定線、構(gòu)相似.一線三直角的基本圖形一般結(jié)論一線三直角的應(yīng)用ACDBAE.特殊地,當(dāng)AB=AC時,ACDBAE.圖形中已經(jīng)存在“一線三直角”,直接應(yīng)用模型解題;圖形中存在“一線兩直角”,補上“一直角”構(gòu)造此模型;圖形中只有直線上的一個直角,補上“兩直角”構(gòu)造此模型;圖形中只有一個直角,過該直角頂點補上“一線”,再補上“兩直角”,構(gòu)造此模型;對坐標(biāo)系中在x軸或y軸(也可以是平行于x軸或y軸的直線)上構(gòu)造“一線三等角”是解決問題的關(guān)鍵.突破點1三角形中運用一線三直角進(jìn)行相關(guān)的運算 如圖,在RtABC中,C=90,AEB=135,BE=32,DEBE交AB于點D,若DE=2,則AE的長為.思路分析觀察題圖,有兩個直角:DEB和C,有“一條線”:直線AC,過點D作AC的垂線,即可構(gòu)造一線三直角模型,然后配合題中的條件用“相似+勾股”進(jìn)行證明和計算.突破點2四邊形中運用一線三直角求線段長 如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,點E為BC邊的中點,將ABE沿AE折疊,使點B落在矩形內(nèi)的點F處,連接CF,則CF的長為.思路分析題圖中的直角有很多,與CF聯(lián)系緊密且易于構(gòu)造一線三直角模型的直角是AFE,過直角頂點F用豎直的線(作矩形ABCD的邊AD邊垂線),可構(gòu)造一線三直角模型,再配合題中的條件用“相似+勾股”進(jìn)行相關(guān)計算.突破點3一線三直角在二次函數(shù)中的運用 拋物線y=x2-4x+3與坐標(biāo)軸交于A,B,C三點,點P在拋物線上,PEBC于點E,若PE=2CE,則點P的坐標(biāo)為.思路分析圖形中與點P相關(guān)的直角頂點是E,可過點E作x軸或y軸的平行線(也可以是平行于x軸或y軸的直線),構(gòu)造一線三直角模型,然后利用相關(guān)知識進(jìn)行計算.1.在四邊形ABCD中,BAD=ACB=90,AB=AD,AC=4BC,若CD的長為5,則四邊形ABCD的面積為.(第1題)(第2題)2.如圖,已知ABC=90,AD=BC,CE=BD,AE與CD相交于點M,則AMD=.3.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,等腰直角三角形OAB的一個頂點在原點處,ABO=90,OB=AB,已知點A(2,4),則點B的坐標(biāo)為.(第3題)(第4題)4.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點A(0,23),點B(4,0),點C在第一象限內(nèi),若ABC為等邊三角形,則點C的坐標(biāo)為.5.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,把矩形OABC的頂點O放在原點處,把其邊OA,OC分別放在x軸的正半軸、y軸的正半軸上,點D在OC邊上,把BDC沿直線BD翻折,點C的對應(yīng)點恰好落在x軸上的點E處,已知B(10,8),則直線BD的解析式為.(第5題)(第6題)6.如圖,在四邊形ABCD中,AD=4,CD=3,ABC=ACB=ADC=45,則BD的長為.7.在四邊形ABCD中,ABC=BAD=90,ACD=45,AB=3,AD=4,則BC的長為.(第7題)(第8題)8.如圖,已知拋物線y=-12x2與直線AB交于A(-2,-4),B兩點,連接AO,BO,若AOB=90,則點B的坐標(biāo)為.參考答案高分突破微專項1全等三角形中的兩大輔助線技巧例1證明:如圖,延長AD至點F,使DF=DA,連接CF.在ABD和FCD中,AD=FD,ADB=FDC,BD=CD,ABDFCD,AB=FC,B=DCF.CE=AB,BAC=BCA,ACE=BAC+B,CF=CE,ACE=BCA+DCF=ACF,在ACF和ACE中,AC=AC,ACF=ACE,CF=CE,ACFACE,AE=AF=2AD.強化訓(xùn)練1.1ADAE,且EC-AC2AD,AB-AC2AD,22AD8,1ADEF如圖,延長ED至點P,使DP=DE,連接FP,CP,點D是BC的中點,BD=CD,又EDB=CDP,BDECDP,BE=CP.DEDF,DE=DP,EF=FP.又在CFP中,CP+CF=BE+CFFP,BE+CFEF.3.證明:如圖,延長AD到點G,使得DG=AD,連接BG.AD是BC邊上的中線,DC=DB.在ADC和GDB中,AD=DG,ADC=GDB,DC=DB,ADCGDB,CAD=G,BG=AC.BE=AC,BE=BG,BED=G,又BED=AEF,AEF=CAD,AF=EF.4.證明:如圖,過點C作CHAB,交FE的延長線于點H,則B=ECH,BGE=H.點E是BC的中點,BE=CE.在BEG和CEH中,B=ECH,BGE=CHE,BE=CE,BEGCEH,BG=CH,又BG=CF,CH=CF,F=H.EFAD,F=CAD,BGE=BAD,又BGE=H,BAD=CAD,AD為ABC的角平分線.例2833如圖,將ABC以點C為旋轉(zhuǎn)中心,旋轉(zhuǎn)至EDC,則ABCEDC,AB=ED,AC=EC,ABC=EDC.四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形,ABC+ADC=180,EDC+ADC=180,A,D,E三點共線,AE=AD+ED=8.BAD= 60,點C為BD的中點,CAE=12BAD=30.過點C作CFAE于點F,則AF=12AE=4.在RtACF中,cosCAF=AFAC,即32=4AC,解得AC=833.強化訓(xùn)練5.32+334如圖,將ABP以點A為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60,得ACD,過點A作AECD交CD的延長線于點E,連接PD,易得ABPACD,AP=AD,BP=CD,PAD=BAC=60,ADP為等邊三角形,AP=PD.在CDP中,DP=1,CD=2,PC=3,PD2+CD2=PC2,CDP是直角三角形,且CDP=90,CDP+ADP=150,ADE=30.在RtADE中,AE=12AD=12,ED=3AE=32,CE=CD+DE=2+32,AC2=3+6,SABC=34AC2=32+334.6.45如圖,將ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90至ADG的位置,得EAG=90,ABEADG,BE=DG,AE=AG,又BE+DF=EF,FG=EF,AEFAGF,EAF=GAF,EAF=12EAG=45.7.4.51方法一:如圖(1),將BEF繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90到GED的位置,易得EGAE,BEFGED,GE=BE=2.2,SBFE+SAED=SAEG=12AEEG=122.24.1=4.51.方法二:如圖(2),將AED繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90到GEF的位置,則EGAE,AEDGEF,GE=AE=4.1,SBFE+SAED=SGBE=12BEEG=122.24.1=4.51.圖(1)圖(2)8.(1)證明:OA=OD,可將AOB以點O為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)至DOG的位置,如圖所示,則AOBDOG,SOAB=SODG,AOB=DOG,OB=OG.OAOD,OB=OC,OBOC,COD+AOB=COD+DOG=180,OC=OG,C,O,G三點共線,OD為CDG中CG邊上的中線,SODG=SOCD,SOAB=SOCD.(2)證明:直線l平分CD,CF=DF.由(1)可知,OC=OG,OF為CDG的中位線,OF=12DG,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得DG=AB,OF=12AB.9.(1)證明:連接DC,點D為等腰直角三角形ABC斜邊AB的中點,CDAB,CD=DA,CD平分BCA,ECD=DCA=45.DMDN,EDN=90,又CDA=90,CDE=FDA.在CDE和ADF中,DCE=A,CD=AD,CDE=FDA,CDEADF,DE=DF.(2)CDEADF,SCDE=SADF,S四邊形DECF=SACD=12CDAD=12.10.(1)證明:ABC是等腰三角形,AB=BC,A=C.將等腰三角形ABC繞頂點B逆時針旋轉(zhuǎn)到A1BC1的位置,A1B=AB=BC,A1=A=C,A1BD=CBC1.在BCF與BA1D中,A1=C,A1B=BC,A1BD=CBF,BCFBA1D.(2)當(dāng)C=時,四邊形A1BCE是菱形.理由:由題易得A1=A.又ADE=A1DB,AED=A1BD=,DEC=180-.C=,A1=,A1BC=360-A1-C-A1EC=180-,A1=C,A1BC=A1EC,四邊形A1BCE是平行四邊形,又A1B=BC,四邊形A1BCE是菱形.高分突破微專項2一線三直角模型例13如圖,過點D作DFAC于點F.AEB=135,CEB=45,CEB是等腰直角三角形.又BE=32,BC=CE=3.根據(jù)一線三直角模型,可得EFDBCE,FED=FDE=45.又DE=2,EF=DF=1.易證AFDACB,AFAC=DFBC.設(shè)AF=a,則aa+4=13,解得a=2,AE=AF+EF=2+1=3.例2185如圖,過點F作AD的垂線,交AD于點M,交BC于點N,則FMA=ENF=90.BC=6,點E為BC邊的中點,BE=12BC=3.由折疊的性質(zhì)可知,EF=BE=3,AF=AB=4,AFE=B=90.根據(jù)一線三直角模型,可得AMFFNE,FNAM=ENFM=EFAF=34.設(shè)EN=3x,FM=4x,則FN=4-4x,AM=3x+3,4-4x3x+3=34,解得x=725,NC=EC-EN=3-3x,FC=5-5x=5-5725=185.例3(133,409)方法一:如圖(1),過點E作EFy軸,交y軸于點F,過點P作PGEF,交FE的延長線于點G.當(dāng)y=0時,x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3,A(1,0),B(3,0),OA=1,OB=3.當(dāng)x=0時,y=3,點C的坐標(biāo)是(0,3).OC=3,OB=OC,BOC為等腰直角三角形.又EFOB,EFC是等腰直角三角形.CFE=EGP=CEP=90,根據(jù)一線三直角模型,可得CEFEPG.PE=2CE,CEPE=CFEG=EFPG=12.設(shè)點E的橫坐標(biāo)為m,易得EG=PG=2m,點P的坐標(biāo)為(3m,3+m).把點P的坐標(biāo)代入y=x2-4x+3中,解得m1=139,m2=0(不符合題意,舍去),點P的坐標(biāo)為(133,409).方法二:如圖(2),當(dāng)y=0時,x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3,A(1,0),B(3,0),OA=1,OB=3.當(dāng)x=0時,y=3,點C的坐標(biāo)是(0,3).OC=3,OB=OC,BOC為等腰直角三角形.過點B作BFBC,交CP的延長線于點F,過點F作FHx軸于點H,PEBC,EPBF,CEPCBF.PE=2CE,CEPE=CBFB=12.由一線三直角模型可得BOCFHB,BH=FH=2AB=6,點F的坐標(biāo)為(9,6).易求出直線CF的解析式為y=13x+3.令x2-4x+3=13x+3,解得x1=0(舍去),x2=133,把x=133代入到y(tǒng)=13x+3,得點P的坐標(biāo)為(133,409).圖(1)圖(2)強化訓(xùn)練1.10如圖,過點D作DEAC,交AC于點E.BAD=ACB=90,AB=AD,根據(jù)一線三直角模型,可得ABCDAE,AE=BC,AC=DE.設(shè)BC=AE=a,則CE=3a.在RtCDE中,CE2+DE2=CD2,即(3a)2+(4a)2=52,解得a=1(負(fù)值已舍去),DE=AC=4a=4,S四邊形ABCD=SABC+SACD=12BCAC+12ACDE=1214+1244=10.2.45如圖,過點A作ANAB,且AN=BD,連接DN,CN.AD=BC,DANCBD,AND=CDB,DN=DC.又AND+NDA=90,CDB+NDA=90,NDC=90,CDN是等腰直角三角形,NCD=45.AN=DB,CE=BD,AN=CE.又ANCE,四邊形ANCE是平行四邊形,CNAE,AMD=NCD=45.3.(3,1)如圖,過點B作x軸的垂線,垂足為F,過點A作y軸的垂線,垂足為E,兩線交于點D,則ADB=BFO=90.ABO=90,AB=OB,根據(jù)一線三直角模型,可得ABDBOF,AD=BF,BD=OF.設(shè)AD=BF=a,BD=OF=b.A(2,4),AE=2,DF=4,a+2=b,a+b=4,解得a=1,b=3.OF=3,BF=1,故點B的坐標(biāo)為(3,1).4.(5,33)如圖,過點C作CDAB于點D,過點D作y軸的垂線,垂足為E,過點C作CFED,交ED的延長線于點F.點A(0,23),點B(4,0),OA=23,OB=4.ABC為等邊三角形,CD=3AD.易知DE為AOB的中位線,DE=12OB=2,AE=12OA=3.根據(jù)一線三直角模型,可得ADEDCF,AEDF=DECF=ADCD=13,解得DF=3,CF=23,EF=DE+DF=5,CF+OE=33,點C的坐標(biāo)為(5,33).5.y=12x+3在矩形OABC中,B(10,8),OC=AB=8,OA=BC=10.由折疊的性質(zhì)可知DE=CD,BE=BC=10.在RtABE中,AE=BE2-AB2=6,OE=OA-AE=10-6=4.根據(jù)一線三直角模型可知,DOEEAB,ODOE=AEAB,即OD4=68,解得OD=3,點D的坐標(biāo)為(0,3).設(shè)直線BD的解析式為y=ax+3,將B(10,8)代入,解得a=12,故直線BD的解析式為y=12x+3.6.41如圖,過點C作CFAD于點F,過點B作BEAD,交DA的延長線于點E.在RtCDF中,ADC=45,CD=2DF=2CF,CF=DF=322,AF=AD-DF=4-322.CFA=CAB=AEB=90,AC=AB,根據(jù)一線三直角模型,可得ACFBAE,AE=CF=322,BE=AF=4-322,DE=AD+AE=4+322.在RtBDE中,BD=DE2+BE2=41.7.2+7方法一:如圖(1),過點D作DEAC于點E,過點E作AB的平行線,分別交BC,AD于點G,H,則四邊形ABGH是矩形.ACD=45,DCE為等腰直角三角形,DE=CE.DHE=EGC=DEC=90,根據(jù)一線三直角模型,可得DEHECG,EH=CG,DH=EG.設(shè)DH=EG=m, 則CG=EH=3-m,AH=4-m,BC=CG+AH=7-2m.易知CEGCAB,EGBA=CGCB,即m3=3-m7-2m,解得m1=5+72(不合題意,舍去),m2=5-72,BC=7-2m=2+7.方法二:如圖(2),過點A作AEAC與CD的延長線交于點E,過點E作EFAB,交BA的延長線于點F.ACD=45,則ACE為等腰直角三角形,AC=AE.EAC=EFA=ABC=90,根據(jù)一線三直角模型,可得AEFCAB.AF=BC,EF=BA=3.設(shè)AF=BC=a,過點E作EHBC于點H,則四邊形EFBH為矩形,EH=BF=a+3,CH=BC-BH=BC-EF=a-3,DG=AD-AG=4-EF=1.ABC=BAD=90,DGCH,EGDEHC,EGEH=DGCH,即aa+3=1a-3,解得a1=2+7,a2=2-7(不合題意,舍去).故BC的長為2+7.圖(1)圖(2)8.(1,-12)如圖,分別過A,B兩點作ADx軸于點D,BCx軸于點C.ADO=OCB=AOB=90,根據(jù)一線三直角模型,可得AODOBC,ODAD=BCOC.A(-2,-4),OD=2,AD=4,ODAD=BCOC=12,OC=2BC.設(shè)BC=a,則OC=2a,點B的坐標(biāo)為(2a,-a),代入y=-12x2,得-a=-12(2a)2,解得a1=12,a2=0(不符合題意,舍去),故點B的坐標(biāo)為(1,-12).- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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