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第二章 函數(shù)與導數(shù)
第1課時 函數(shù)及其表示(對應學生用書(文)、(理)9～11頁)
① 本節(jié)是函數(shù)部分的起始部分，以考查函數(shù)概念、三要素及表示法為主，同時考查學生在實際問題中的建模能力.
② 本節(jié)內容曾以多種題型出現(xiàn)在高考試題中，要求相對較低，但很重要，特別是函數(shù)的解析式仍會是2019年高考的重要題型．
① 理解函數(shù)的概念，了解構成函數(shù)的要素.
② 在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).
③ 了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應用．
1. (必修1P26練習3改編)下列對應關系中________是函數(shù)．(填序號)
① A＝R＋，B＝R，對于任意的x∈A，x→x的算術平方根；
② A＝{1，2，3，4，5}，B＝{0，2，4，6，8}，對于任意的x∈A，x→2x；
③ x→－x，x∈R；
④ x→y，其中y＝|x|，x∈R，y∈R；
⑤ x→y，其中y為不大于x的最大整數(shù)，x∈R，y∈Z.
答案：①③④⑤
解析：①③④⑤均符合函數(shù)的定義，②對于集合A中的元素5，在集合B中找不到元素與之對應．
2. (必修1P26練習4改編)下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是__________．(填序號)
① y＝x＋1和y＝；② y＝x0和y＝1；③ f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2；④ f(x)＝和g(x)＝.
答案：④
解析：只有④表示同一函數(shù)，①與②中定義域不同，③是對應法則不同．
3. (必修1P31習題1改編)設函數(shù)f(x)＝.若f(a)＝2，則實數(shù)a＝__________．
答案：－1
解析：由題意可知，f(a)＝＝2，解得a＝－1.
4. (必修1P31習題8改編)已知函數(shù)f(x)由下表給出，則f(3)＝__________．
x
1
2
3
4
f(x)
－3
－2
－4
－1
答案：－4
解析：由表中函數(shù)值得f(3)＝－4.
5. (必修1P36習題3改編)已知函數(shù)f(x)在[－1，2]上的圖象如圖所示，則f(x)的解析式為____________．
答案：f(x)＝
解析：觀察圖象，知此函數(shù)是分段函數(shù)，并且在每段上均是一次函數(shù)，利用待定系數(shù)法求出解析式．當－1≤x≤0時，f(x)＝x＋1；當0
0}，f：x→y＝|x|；
② A＝{x|x≥2，x∈N*}，B＝{y|y≥0，y∈N}，f：x→y＝x2－2x＋2；
③ A＝{x|x>0}，B＝{y|y∈R}，f：x→y＝；
④ A＝{α|α是三角形的內角}，B＝{y|y∈R}，對應法則：y＝tan α；
⑤ A＝{m|m∈Z}，B＝{y|y＝0或y＝1}，對應法則：y＝
答案：②⑤
解析：① 集合A中的零元素，在集合B中沒有相應的對應元素．
② 按照對應法則，滿足題設條件．
③ 一對多，不滿足映射的概念．
④ ∵ ∈A，但的正切值不存在，∴ 此對應不是從集合A到集合B的映射．
⑤ ∵ 集合A中的每一個元素在集合B中都有唯一的元素與之對應，∴ 此對應是從集合A到集合B的映射．
點評：判斷對應是否為映射，即看A中元素是否滿足“每元有象”和“且象唯一”；但要注意：① A中不同元素可有相同的象，即允許多對一，但不允許一對多；② B中元素可無原象，即B中元素可以有剩余．
已知映射f：A→B，其中A＝B＝R，對應法則f：x→y＝－x2＋2x，對于實數(shù)k∈B，在集合A中不存在元素與之對應，則k的取值范圍是________．
答案：(1，＋∞)
解析：由題意知，方程－x2＋2x＝k無實數(shù)根，即x2－2x＋k＝0無實數(shù)根．∴ Δ＝4(1－k)<0，∴ k>1時滿足題意．
, 2 函數(shù)的解析式)
, 2) 求下列各題中的函數(shù)f(x)的解析式．
(1) 已知f(＋2)＝x＋4，求f(x)；
(2) 已知f＝lg x，求f(x)；
(3) 已知f(x)是二次函數(shù)，且滿足f(0)＝1，f(x＋1)＝f(x)＋2x，求f(x)．
解：(1) (解法1)設t＝＋2(t≥2)，則＝t－2，即x＝(t－2)2，∴ f(t)＝(t－2)2＋4(t－2)＝t2－4，
∴ f(x)＝x2－4(x≥2)．
(解法2)∵ f(＋2)＝(＋2)2－4，
∴ f(x)＝x2－4(x≥2)．
(2) 設t＝＋1，則x＝，∴ f(t)＝lg ，
即f(x)＝lg (x>1)．
(3) ∵ f(x)是二次函數(shù)，
∴ 設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由f(0)＝1，得c＝1.
由f(x＋1)＝f(x)＋2x，得
a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝ax2＋bx＋1＋2x，
整理，得(2a－2)x＋a＋b＝0，
由恒等式原理，知?
∴ f(x)＝x2－x＋1.
變式訓練
根據(jù)下列條件分別求出f(x)的解析式．
(1) f(＋1)＝x＋2；
(2) 二次函數(shù)f(x)滿足f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2.
解：(1) 令t＝＋1，∴ t≥1，x＝(t－1)2.
則f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，
即f(x)＝x2－1，x∈[1，＋∞)．
(2) 設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∴ f(x＋2)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋c，
則f(x＋2)－f(x)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.
∴ ∴
又f(0)＝3，∴ c＝3，∴ f(x)＝x2－x＋3.
, 3 分段函數(shù))
, 3) 如圖所示，在邊長為4的正方形ABCD上有一點P，沿著折線BCDA由B點(起點)向A點(終點)移動．設P點移動的路程為x，△ABP的面積為y＝f(x)．
(1) 求△ABP的面積與P移動的路程間的函數(shù)解析式；
(2) 作出函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象求y的最大值．
解：(1) 這個函數(shù)的定義域為(0，12)，
當0＜x≤4時，S＝f(x)＝4x＝2x；
當4＜x≤8時，S＝f(x)＝8；
當8＜x＜12時，S＝f(x)＝4(12－x)＝24－2x.
∴ 函數(shù)解析式為f(x)＝
(2) 其圖象如圖所示，由圖知fmax(x)＝8.
變式訓練
已知函數(shù)f(x)＝則滿足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范圍是____________．
答案：(－1，－1)
解析：函數(shù)f(x)＝的圖象如圖所示：
f(1－x2)>f(2x)?解得－10)，g(x)＝1(x>0)；
④中，f(x)＝＝x－3(x≠－3)．
因此填③.
2. 二次函數(shù)y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分對應值如下表：
x
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
則關于x的不等式f(x)≤0的解集為____________．
答案：[－3，2]
解析：由表格數(shù)據(jù)作出二次函數(shù)的草圖，結合數(shù)據(jù)與圖象即可發(fā)現(xiàn)不等式f(x)≤0的解集為[－3，2]．
3. 為了保證信息安全傳輸必須使用加密方式，有一種方式其加密、解密原理如下：
明文密文密文明文
已知加密為y＝ax－2(x為明文、y為密文)，如果明文“3”通過加密后得到密文為“6”，再發(fā)送，接受方通過解密得到明文“3”，若接受方接到密文為“14”，則原發(fā)的明文是________．
答案：4
4. 有一個有進水管和出水管的容器，每單位時間進水量是一定的，設從某時刻開始，5分鐘內只進水，不出水，在隨后的15分鐘內既進水，又出水，得到時間x與容器中的水量y之間的關系如圖所示．再隨后，只放水不進水，水放完為止，則這段時間內(即x≥20)，y與x之間的函數(shù)關系是____________________．
答案：y＝－3x＋95
解析：設進水速度為a1 L/min，出水速度為a2 L/min，則由題意得解得則y＝35－3(x－20)，得y＝－3x＋95.當水放完，時間為x＝ min，又知x≥20，故解析式為y＝－3x＋95.
5. 設函數(shù)f(x)＝若f(a)＞f(1)，則實數(shù)a的取值范圍是____________．
答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：由f(1)＝－2，則f(a)＞－2.當a>0時，有2a－4>－2，則a>1；當a＜0時，－a－3＞－2，則a＜－1.所以實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
6. 函數(shù)f(x)＝若關于x的方程f(x)＝kx－k至少有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是____________．
答案：∪(1，＋∞)
解析：如圖，作出函數(shù)圖象，y2＝kx－k過定點(1，0)，臨界點和(1，0)連線的斜率為－，又f′(1)＝1，由圖象知實數(shù)k的取值范圍是∪(1，＋∞)．
, 3. 分段函數(shù)意義理解不清致誤)
典例 已知實數(shù)a≠0，函數(shù)f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，則a的值為__________．
易錯分析：(1) 誤以為1－a<1，1＋a>1，沒有對a進行討論直接代入求解；(2) 求解過程中忘記檢驗所求結果是否符合要求致誤．
解析：當a>0時，1－a<1，1＋a>1，
由f(1－a)＝f(1＋a)可得2－2a＋a＝－1－a－2a，
解得a＝－，不合題意；
當a<0時，1－a>1，1＋a<1，
由f(1－a)＝f(1＋a)可得－1＋a－2a＝2＋2a＋a，
解得a＝－.
答案：－
特別提醒：(1) 注意分類討論思想在求函數(shù)值中的應用，對于分段函數(shù)的求值問題，若自變量的取值范圍不確定，應分情況求解；(2) 檢驗所求自變量的值或范圍是否符合題意，求解過程中，求出的參數(shù)的值或范圍并不一定符合題意，因此要檢驗結果是否符合要求．
1. 已知集合A＝{a，b，c}，B＝{1，2}，那么可建立從A到B的映射個數(shù)是______，從B到A的映射個數(shù)是______．
答案：8 9
解析：依題意，建立從A到B的映射，即集合A中的每一個元素在集合B中找到對應元素，從而從A到B的映射個數(shù)為23＝8，從B到A的映射個數(shù)是32＝9.所以填寫答案依次為：8；9.
2. 已知一個函數(shù)的解析式為y＝x2，它的值域為{1，4}，這樣的函數(shù)有________個．
答案：9
解析：列舉法：定義域可能是{1，2}、{－1，2}、{1，－2}、{－1，－2}、{1，－2，2}、{－1，－2，2}、{－1，1，2}、{－1，1，－2}、{－1，1，－2，2}．
3. 若函數(shù)f(x)＝，f(2)＝1，又方程f(x)＝x有唯一解，則f(x)＝________．
答案：
解析：由f(2)＝1得＝1，即2a＋b＝2；由f(x)＝x得＝x，變形得x＝0，解此方程得x＝0或x＝，∵ 方程有唯一解，∴ ＝0，解得b＝1，代入2a＋b＝2得a＝，∴ f(x)＝.
4. 如圖，動點P從單位正方形ABCD頂點A開始，順次經(jīng)B，C，D繞邊界一周，當x表示點P的行程，y表示PA之長時，求y關于x的解析式，并求f的值．
解：當P在AB上運動時，y＝x(0≤x≤1)；當P在BC上運動時，y＝(1－1且x≠1，故函數(shù)的定義域為(－1，1)∪(1，＋∞)．
3. 函數(shù)y＝的值域為________．
答案：
解析：∵ x2＋2≥2，∴ 0<≤.∴ 00時，值域為[，＋∞)；當a<0時，值域為(－∞，]．
③ y＝(k≠0)的值域為{y|y≠0}．
④ y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)．
⑤ y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R．
⑥ y＝sin x，y＝cos x的值域是[－1，1]．
⑦ y＝tan x的值域是R．
3. 函數(shù)的最值
一般地，設y＝f(x)的定義域為A.
(1) 如果存在x0∈A，使得對于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么稱f(x0)為y＝f(x)的最大值，記為ymax＝f(x0)．
(2) 如果存在x0∈A，使得對于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么稱f(x0)為y＝f(x)的最小值，記為ymin＝f(x0)．
4. 值域與最值的關系
若函數(shù)y＝f(x)的最大值為b，最小值為a，那么y＝f(x)的值域必定是數(shù)集[a，b]的子集，若f(x)可以取到[a，b]中的一切值，那么其值域就是[a，b]．
5. 復合函數(shù)
如果函數(shù)y＝f(u)(u∈A)，u＝g(x)(x∈B，u∈A)，則y＝f(g(x))叫做由函數(shù)y＝f(u)(u∈A)，u＝g(x)(x∈B，u∈A)合成的復合函數(shù)，u叫做中間變量．y＝f(u)(u∈A)，叫做該復合函數(shù)的外層函數(shù)，而u＝g(x)(x∈B)叫做該復合函數(shù)的內層函數(shù)．注意：由u＝g(x)(x∈B)求出的值域一定是A.即內層函數(shù)的值域是外層函數(shù)的定義域．
6. 函數(shù)解析式的表示離不開函數(shù)的定義域．
[備課札記]
, 1 求函數(shù)的定義域)
, 1) (1) 已知函數(shù)f(x)的定義域是[0，2]，則函數(shù)g(x)＝f＋f的定義域是__________．
(2) 函數(shù)y＝的定義域為____________．
答案：(1) (2) (－1，1)
解析：(1) 因為函數(shù)f(x)的定義域是[0，2]，所以函數(shù)g(x)＝f＋f中的自變量x需要滿足：
解得
所以≤x≤，
所以函數(shù)g(x)的定義域是.
(2) 由得－11)．
解：(1) (解法1：換元法)令＝t，則t≥0且x＝，于是f(t)＝－t＝－(t＋1)2＋1.由于t≥0，所以f(t)≤，故函數(shù)的值域是.
(解法2：單調性法)容易判斷f(x)為增函數(shù)，而其定義域應滿足1－2x≥0，即x≤，所以f(x)≤f＝，即函數(shù)的值域是.
(2) y＝＝－1.
因為1＋x2≥1，所以0<≤2.
所以－1<－1≤1，即y∈(－1，1]．
所以函數(shù)的值域為(－1，1]．
(3) (解法1)由y＝＝2－，結合圖象知，函數(shù)在[3，5]上是增函數(shù)，所以ymax＝，ymin＝，故所求函數(shù)的值域是.
(解法2)由y＝，得x＝.
因為x∈[3，5]，所以3≤≤5，解得≤y≤，
即所求函數(shù)的值域是.
(4) (基本不等式法)令t＝x－1，則x＝t＋1(t>0)，
所以y＝＝＝t＋－2(t>0)．
因為t＋≥2＝2，當且僅當t＝，即x＝＋1時，等號成立，
故所求函數(shù)的值域為[2－2，＋∞)．
求下列函數(shù)的值域：
(1) f(x)＝＋；
(2) g(x)＝；
(3) y＝log3x＋logx3－1.
解：(1) 由解得－3≤x≤1.
∴ f(x)＝＋的定義域是[－3，1]．
令y＝f(x)，則y≥0，∴ y2＝4＋2，
即y2＝4＋2(－3≤x≤1)．
令t(x)＝－(x＋1)2＋4(－3≤x≤1)．
∵ x∈[－3，1]，由t(－3)＝0，t(－1)＝4，t(1)＝0，
知0≤t(x)≤4，從而y2∈[4，8]，即y∈[2，2]，
∴ 函數(shù)f(x)的值域是[2，2]．
(2) g(x)＝＝＝＝1＋(x≠3且x≠4)．
∵ x≠3且x≠4，∴ g(x)≠1且g(x)≠－6.
∴ 函數(shù)g(x)的值域是(－∞，－6)∪(－6，1)∪(1，＋∞)．
(3) 函數(shù)的定義域為{x|x>0且x≠1}．
當x>1時，log3x>0，logx3>0，
y＝log3x＋logx3－1≥2－1＝1；
當00恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍．
【思維導圖】 函數(shù)恒成立→不等式恒成立→分類討論→新函數(shù)的最值→a的取值范圍
【規(guī)范解答】 解：(1) 當a＝時，f(x)＝x＋＋2.
∵ f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)，∴ f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上的最小值為f(1)＝.
(2) (解法1)在區(qū)間[1，＋∞)上，f(x)＝ >0恒成立，∴ x2＋2x＋a>0恒成立．
設y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)．
∵ y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上單調遞增，
∴ 當x＝1時，ymin＝3＋a，當且僅當ymin＝3＋a>0時，函數(shù)f(x)>0恒成立，故a>－3.
(解法2)f(x)＝x＋＋2，x∈[1，＋∞)．
當a≥0時，函數(shù)f(x)的值恒為正；
當a<0時，函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上單調遞增，故當x＝1時，f(x)min＝3＋a，
當且僅當f(x)min＝3＋a>0時，函數(shù)f(x)>0恒成立，故a>－3.
【精要點評】 解法1運用轉化思想把f(x)>0轉化為關于x的二次不等式；解法2運用了分類討論思想．
●總結歸納
(1) 求函數(shù)的值域
此類問題主要利用求函數(shù)值域的常用方法：配方法、分離變量法、單調性法、圖象法、換元法、不等式法等．無論用什么方法求函數(shù)的值域，都必須考慮函數(shù)的定義域．
(2) 函數(shù)的綜合性題目
此類問題主要考查函數(shù)值域、單調性、奇偶性等一些基本知識相結合的題目．此類問題要求具備較高的數(shù)學思維能力、綜合分析能力以及較強的運算能力．
(3) 運用函數(shù)的值域解決實際問題
此類問題的關鍵是把實際問題轉化為函數(shù)問題，從而利用所學知識去解決．此類題目要求具有較強的分析能力和數(shù)學建模能力．
●題組練透
1. 函數(shù)y＝的值域是____________．
答案：
解析：∵ x2＋x＋1＝2＋≥，∴ y≥，∴ 值域為.
2. 函數(shù)y＝x＋的值域是____________．
答案：(－∞，1]
解析：令＝t(t≥0)，則x＝.∵ y＝＋t＝－ (t－1)2＋1≤1，∴ 值域為(－∞，1]．
3. 已知函數(shù)f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6.
(1) 若f(x)的值域是[0，＋∞)，求a的值；
(2) 若函數(shù)f(x)≥0恒成立，求g(a)＝2－a|a－1|的值域．
解：(1) ∵ f(x)的值域是[0，＋∞)，即f(x)min＝0，∴ ＝0，∴ a＝－1或.
(2) 若函數(shù)f(x)≥0恒成立，則Δ＝(4a)2－4(2a＋6)≤0，即2a2－a－3≤0，∴ －1≤a≤，
∴ g(a)＝2－a|a－1|＝
當－1≤a≤1時，g(a)＝a2－a＋2＝＋，∴ g(a)∈；
當10且a≠1)的值域是[4，＋∞)，則實數(shù)a的取值范圍是________．
答案：(1，2]
解析：當x≤2時，－x＋6≥4，要使得函數(shù)f(x)的值域為[4，＋∞)，只需當x＞2時，f(x)＝3＋logax的值域在區(qū)間[4，＋∞)內即可，故a＞1，所以3＋loga2≥4，解得1＜a≤2，所以實數(shù)a的取值范圍是(1，2]．
5. 已知函數(shù)f(x)＝ax＋b(a>0且a≠1)的定義域和值域都是[－1，0]，則a＋b＝________．
答案：－
解析：當a>1時，該方程組無解；當0.
5. 設函數(shù)f(x)滿足：對任意的x1，x2∈R都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，則f(－3)與f(－π)的大小關系是____________．
答案：f(－3)>f(－π)
解析：由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，可知函數(shù)f(x)為增函數(shù)，又－3>－π，∴ f(－3)>f(－π)．
1. 增函數(shù)和減函數(shù)
一般地，設函數(shù)y＝f(x)的定義域為I：
如果對于定義域I內某個區(qū)間D上的任意兩個值x1，x2，當x1f(x2)，那么就說y＝f(x)在區(qū)間D上是單調減函數(shù)．(如圖②所示)
2. 單調性與單調區(qū)間
如果一個函數(shù)在某個區(qū)間D上是單調增函數(shù)或是單調減函數(shù)，那么就說這個函數(shù)在這個區(qū)間D上具有單調性(區(qū)間D稱為單調區(qū)間)．
3. 判斷函數(shù)單調性的方法
(1) 定義法
利用定義嚴格判斷．
(2) 利用函數(shù)的運算性質
如果f(x)，g(x)為增函數(shù)，則① f(x)＋g(x)為增函數(shù)；② 為減函數(shù)(f(x)>0)；③ 為增函數(shù)(f(x)≥0)；④ f(x)g(x)為增函數(shù)(f(x)>0，g(x)>0)；⑤ －f(x)為減函數(shù)．
(3) 利用復合函數(shù)關系判斷單調性
法則是“同增異減”，即兩個簡單函數(shù)的單調性相同，則這兩個函數(shù)的復合函數(shù)為增函數(shù)；若兩個簡單函數(shù)的單調性相反，則這兩個函數(shù)的復合函數(shù)為減函數(shù)．
(4) 圖象法
奇函數(shù)在關于原點對稱的兩個區(qū)間上具有相同的單調性；偶函數(shù)在關于原點對稱的兩個區(qū)間上具有相反的單調性．
4. 函數(shù)的單調性的證明方法
已知函數(shù)解析式，證明其在某區(qū)間上的單調性一般只能嚴格用定義(或導數(shù))來證明．主要步驟：
(1) 設元；
(2) 作差(商)；
(3) 變形(變形要徹底，一般通過因式分解、配方等方法，直到符號的判定非常明顯)；
(4) 判斷符號；
(5) 結論．
[備課札記]
, 1 函數(shù)單調性的判斷)
, 1) 判斷函數(shù)f(x)＝(a≠0)在區(qū)間(－1，1)上的單調性．
分析：此函數(shù)既不是常見函數(shù)，也不是由常見函數(shù)經(jīng)過簡單的復合而成，因此要判斷其在區(qū)間(－1，1)上的單調性，只能用函數(shù)單調性的定義．
解：任取x1，x2∈(－1，1)，且x10，∴ 當a>0時，f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，∴ f(x)在(－1，1)上單調遞減；同理，當a<0時，f(x)在(－1，1)上單調遞增．
證明函數(shù)f(x)＝在區(qū)間[1，＋∞)上是減函數(shù)．
證明：設任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x10，
∴ f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴ f(x)＝在[1，＋∞)上為減函數(shù)．
點評：亦可證明函數(shù)f(x)＝在區(qū)間[－1，1]上是增函數(shù)．由于函數(shù)f(x)＝是定義在R上的奇函數(shù)，故利用單調性與奇偶性可作出函數(shù)f(x)＝的圖象．同時也可得到函數(shù)f(x)＝在[－1，1]上的值域為.
, 2 求函數(shù)的單調區(qū)間)
, 2) 求下列函數(shù)的單調區(qū)間：
(1) y＝x2－3|x|＋；
(2) y＝；
(3) y＝log2(6＋x－2x2)．
解：(1) ∵ y＝x2－3|x|＋＝
∴ 由圖象可知，y在，上為減函數(shù)，在，上為增函數(shù)．
(2) 易得定義域為R，令u＝x2－2x＝(x－1)2－1，則u在(－∞，1]上為減函數(shù)，在[1，＋∞)上為增函數(shù)．又y＝在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，∴ y＝的單調增區(qū)間為(－∞，1]，單調減區(qū)間為[1，＋∞)．
(3) 由題意得6＋x－2x2>0，化簡得2x2－x－6<0，即(2x＋3)(x－2)<0，解得－2時，由圖④可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.
綜上，當a<0時，f(x)min＝－1，f(x)max＝3－4a；當0≤a<1時，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝3－4a；當12時，f(x)min＝3－4a，f(x)max＝－1.
【精要點評】 (1) 二次函數(shù)的單調區(qū)間是由圖象的對稱軸確定的．故需要確定對稱軸與區(qū)間的關系．由于對稱軸是x＝a，而a的取值不定，從而導致了分類討論．
(2) 不是應該分a<0，0≤a≤2，a>2三種情況討論嗎？為什么成了四種情況？這是由于拋物線的對稱軸在區(qū)間[0，2]所對應的區(qū)域時，最小值是在頂點處取得，但最大值卻有可能是f(0)，也有可能是f(2)．
●總結歸納
(1) 要注意函數(shù)思想在求函數(shù)值域中的運用，求函數(shù)最值常借助函數(shù)單調性．含有參數(shù)的最值問題，需要分類討論參數(shù)在不同范圍內時函數(shù)單調性的變化，進而判斷最值的位置．
(2) 不等式恒成立問題也可以轉化為求函數(shù)的最值問題．
●題組練透
1. 函數(shù)y＝2x＋的值域是____________．
答案：[－2，＋∞)
解析：x≥－1，y是x的增函數(shù)，當x＝－1時，ymin＝－2，∴ 函數(shù)的值域為[－2，＋∞)．
2. 已知x∈[0，1]，則函數(shù)y＝－的值域是______________．
答案：[－1，]
解析：該函數(shù)為增函數(shù)，自變量最小時，函數(shù)值最?。蛔宰兞孔畲髸r，函數(shù)值最大．
3. 函數(shù)f(x)＝(x∈[3，6])的值域為____________．
答案：[1，4]
解析：區(qū)間[3，6]是函數(shù)f(x)＝的單調減區(qū)間，把x＝3，x＝6分別代入f(x)中可得最大值、最小值．
4. 已知a∈R且a≠1，求函數(shù)f(x)＝在[1，4]上的最值．
解：由f(x)＝＝a＋.當1－a>0，即a<1時，f(x)在[1，4]上為減函數(shù)，∴ fmax(x)＝f(1)＝，fmin(x)＝f(4)＝；當1－a<0，即a>1時，f(x)在[1，4]上為增函數(shù)，∴ fmax(x)＝f(4)＝，fmin(x)＝f(1)＝.
5. 已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1，若f(1)＝0，且函數(shù)f(x)的值域為[0，＋∞)．
(1) 求a，b的值；
(2) 若h(x)＝2f(x＋1)＋x|x－m|＋2m，求h(x)的最小值．
解：(1) 顯然a≠0，∵ f(1)＝0，∴ a＋b＋1＝0.
又f(x)的值域為[0，＋∞)，∴ Δ＝b2－4a＝0.
由解得
(2) 由(1)知f(x)＝x2－2x＋1，h(x)＝2x2＋x|x－m|＋2m，即h(x)＝
① 若m≥0，則hmin(x)＝min，即hmin(x)＝min.
又2m2＋2m－＝≥0，∴ 當m≥0時，hmin(x)＝－＋2m；
② 若m＜0，則hmin(x)＝h＝2m－.
綜上所述，hmin(x)＝
, 4 函數(shù)的單調性的綜合應用)
, 4) 已知函數(shù)f(x)＝2x－，x∈(0，1]．
(1) 當a＝－1時，求函數(shù)y＝f(x)的值域；
(2) 若函數(shù)y＝f(x)在(0，1]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．
解：(1) 當a＝－1時，f(x)＝2x＋，
因為00恒成立，
所以2x1x2＋a<0，即a<－2x1x2在(0，1]上恒成立，
所以a<－2，即實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－2)．
(解法2)由f(x)＝2x－，知f′(x)＝2＋，
因為函數(shù)y＝f(x)在(0，1]上是減函數(shù)，
所以f′(x)＝2＋<0在(0，1]上恒成立，
即a<－2x2在(0，1]上恒成立，
所以a<－2，即實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－2)．
變式訓練
若函數(shù)f(x)＝是(－∞，＋∞)上的減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________．
答案：[－2，0)
解析：由x≥1時，f(x)＝－x2＋2ax－2a是減函數(shù)，得a≤1.由x＜1時，函數(shù)f(x)＝ax＋1是減函數(shù)，得a＜0，分界點處的值應滿足－12＋2a1－2a≤1a＋1，解得a≥－2，所以－2≤a＜0.
點睛：本題考查分段函數(shù)的單調性，解決本題的關鍵是熟悉二次函數(shù)、一次函數(shù)的單調性，除了確定兩段函數(shù)在區(qū)間上單調以外，還需考慮分界點兩側的單調性，需要列出分界點處的不等關系．
已知函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，其在定義域上為增函數(shù)，且對任意實數(shù)x，y∈(0，＋∞)都滿足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(2)＝1，試解不等式f(x)＋f(x－2)<3.
分析：此題的關鍵是將不等式轉化為兩個函數(shù)值的大小關系，然后借助于函數(shù)的單調性再將函數(shù)值的大小關系轉化為自變量取值的大小關系．
解：由題意得3＝1＋1＋1＝f(2)＋f(2)＋f(2)＝f(4)＋f(2)＝f(8)，即f(8)＝3，
∴ f(x)＋f(x－2)<3?f(x)＋f(x－2)
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2019版高考數(shù)學一輪復習
第一部分
基礎與考點過關
第二章
函數(shù)與導數(shù)學案
2019
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基礎
考點
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函數(shù)
導數(shù)
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2019版高考數(shù)學一輪復習 第一部分 基礎與考點過關 第二章 函數(shù)與導數(shù)學案.doc
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