2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點(diǎn)過關(guān) 第二章 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)學(xué)案.doc
《2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點(diǎn)過關(guān) 第二章 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)學(xué)案.doc》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點(diǎn)過關(guān) 第二章 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)學(xué)案.doc(147頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
第二章函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第1課時(shí)函數(shù)及其表示(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(文)、(理)911頁) 本節(jié)是函數(shù)部分的起始部分,以考查函數(shù)概念、三要素及表示法為主,同時(shí)考查學(xué)生在實(shí)際問題中的建模能力. 本節(jié)內(nèi)容曾以多種題型出現(xiàn)在高考試題中,要求相對(duì)較低,但很重要,特別是函數(shù)的解析式仍會(huì)是2019年高考的重要題型 理解函數(shù)的概念,了解構(gòu)成函數(shù)的要素. 在實(shí)際情境中,會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù). 了解簡單的分段函數(shù),并能簡單應(yīng)用1. (必修1P26練習(xí)3改編)下列對(duì)應(yīng)關(guān)系中_是函數(shù)(填序號(hào)) AR,BR,對(duì)于任意的xA,xx的算術(shù)平方根; A1,2,3,4,5,B0,2,4,6,8,對(duì)于任意的xA,x2x; xx,xR; xy,其中y|x|,xR,yR; xy,其中y為不大于x的最大整數(shù),xR,yZ.答案:解析:均符合函數(shù)的定義,對(duì)于集合A中的元素5,在集合B中找不到元素與之對(duì)應(yīng)2. (必修1P26練習(xí)4改編)下列各組函數(shù)中,表示同一函數(shù)的是_(填序號(hào)) yx1和y; yx0和y1; f(x)x2和g(x)(x1)2; f(x)和g(x).答案: 解析:只有表示同一函數(shù),與中定義域不同,是對(duì)應(yīng)法則不同3. (必修1P31習(xí)題1改編)設(shè)函數(shù)f(x).若f(a)2,則實(shí)數(shù)a_答案:1解析:由題意可知,f(a)2,解得a1.4. (必修1P31習(xí)題8改編)已知函數(shù)f(x)由下表給出,則f(3)_x1234f(x)3241答案:4解析:由表中函數(shù)值得f(3)4.5. (必修1P36習(xí)題3改編)已知函數(shù)f(x)在1,2上的圖象如圖所示,則f(x)的解析式為_答案:f(x)解析:觀察圖象,知此函數(shù)是分段函數(shù),并且在每段上均是一次函數(shù),利用待定系數(shù)法求出解析式當(dāng)1x0時(shí),f(x)x1;當(dāng)00,f:xy|x|; Ax|x2,xN*,By|y0,yN,f:xyx22x2; Ax|x0,By|yR,f:xy; A|是三角形的內(nèi)角,By|yR,對(duì)應(yīng)法則:ytan ; Am|mZ,By|y0或y1,對(duì)應(yīng)法則:y答案:解析: 集合A中的零元素,在集合B中沒有相應(yīng)的對(duì)應(yīng)元素 按照對(duì)應(yīng)法則,滿足題設(shè)條件 一對(duì)多,不滿足映射的概念 A,但的正切值不存在, 此對(duì)應(yīng)不是從集合A到集合B的映射 集合A中的每一個(gè)元素在集合B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng), 此對(duì)應(yīng)是從集合A到集合B的映射點(diǎn)評(píng):判斷對(duì)應(yīng)是否為映射,即看A中元素是否滿足“每元有象”和“且象唯一”;但要注意: A中不同元素可有相同的象,即允許多對(duì)一,但不允許一對(duì)多; B中元素可無原象,即B中元素可以有剩余已知映射f:AB,其中ABR,對(duì)應(yīng)法則f:xyx22x,對(duì)于實(shí)數(shù)kB,在集合A中不存在元素與之對(duì)應(yīng),則k的取值范圍是_答案:(1,)解析:由題意知,方程x22xk無實(shí)數(shù)根,即x22xk0無實(shí)數(shù)根 4(1k)1時(shí)滿足題意,2函數(shù)的解析式),2)求下列各題中的函數(shù)f(x)的解析式(1) 已知f(2)x4,求f(x);(2) 已知flg x,求f(x);(3) 已知f(x)是二次函數(shù),且滿足f(0)1,f(x1)f(x)2x,求f(x)解:(1) (解法1)設(shè)t2(t2),則t2,即x(t2)2, f(t)(t2)24(t2)t24, f(x)x24(x2)(解法2) f(2)(2)24, f(x)x24(x2)(2) 設(shè)t1,則x, f(t)lg ,即f(x)lg (x1)(3) f(x)是二次函數(shù), 設(shè)f(x)ax2bxc(a0)由f(0)1,得c1.由f(x1)f(x)2x,得a(x1)2b(x1)1ax2bx12x,整理,得(2a2)xab0,由恒等式原理,知 f(x)x2x1.變式訓(xùn)練根據(jù)下列條件分別求出f(x)的解析式(1) f(1)x2;(2) 二次函數(shù)f(x)滿足f(0)3,f(x2)f(x)4x2.解:(1) 令t1, t1,x(t1)2.則f(t)(t1)22(t1)t21,即f(x)x21,x1,)(2) 設(shè)f(x)ax2bxc(a0), f(x2)a(x2)2b(x2)c,則f(x2)f(x)4ax4a2b4x2. 又f(0)3, c3, f(x)x2x3.,3分段函數(shù)),3)如圖所示,在邊長為4的正方形ABCD上有一點(diǎn)P,沿著折線BCDA由B點(diǎn)(起點(diǎn))向A點(diǎn)(終點(diǎn))移動(dòng)設(shè)P點(diǎn)移動(dòng)的路程為x,ABP的面積為yf(x)(1) 求ABP的面積與P移動(dòng)的路程間的函數(shù)解析式;(2) 作出函數(shù)的圖象,并根據(jù)圖象求y的最大值解:(1) 這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)?0,12),當(dāng)0x4時(shí),Sf(x)4x2x;當(dāng)4x8時(shí),Sf(x)8;當(dāng)8x12時(shí),Sf(x)4(12x)242x. 函數(shù)解析式為f(x)(2) 其圖象如圖所示,由圖知fmax(x)8.變式訓(xùn)練已知函數(shù)f(x)則滿足不等式f(1x2)f(2x)的x的取值范圍是_答案:(1,1)解析:函數(shù)f(x)的圖象如圖所示:f(1x2)f(2x)解得1x1.對(duì)于實(shí)數(shù)a和b,定義運(yùn)算“*”:a*b設(shè)函數(shù)f(x)(x2)*(3x),xR.若方程f(x)c恰有兩個(gè)不同的解,則實(shí)數(shù)c的取值范圍是_答案:(,2)解析:令x2(3x)1,求得x1,則f(x)(x2)*(3x)畫出函數(shù)f(x)的圖象,如圖,方程f(x)c恰有兩個(gè)不同的解,即是函數(shù)f(x)的圖象與直線yc有2個(gè)交點(diǎn),數(shù)形結(jié)合可得c0),g(x)1(x0);中,f(x)x3(x3)因此填.2. 二次函數(shù)yf(x)ax2bxc(xR)的部分對(duì)應(yīng)值如下表:x43210123y60466406則關(guān)于x的不等式f(x)0的解集為_答案:3,2解析:由表格數(shù)據(jù)作出二次函數(shù)的草圖,結(jié)合數(shù)據(jù)與圖象即可發(fā)現(xiàn)不等式f(x)0的解集為3,23. 為了保證信息安全傳輸必須使用加密方式,有一種方式其加密、解密原理如下:明文密文密文明文已知加密為yax2(x為明文、y為密文),如果明文“3”通過加密后得到密文為“6”,再發(fā)送,接受方通過解密得到明文“3”,若接受方接到密文為“14”,則原發(fā)的明文是_答案:44. 有一個(gè)有進(jìn)水管和出水管的容器,每單位時(shí)間進(jìn)水量是一定的,設(shè)從某時(shí)刻開始,5分鐘內(nèi)只進(jìn)水,不出水,在隨后的15分鐘內(nèi)既進(jìn)水,又出水,得到時(shí)間x與容器中的水量y之間的關(guān)系如圖所示再隨后,只放水不進(jìn)水,水放完為止,則這段時(shí)間內(nèi)(即x20),y與x之間的函數(shù)關(guān)系是_答案:y3x95解析:設(shè)進(jìn)水速度為a1 L/min,出水速度為a2 L/min,則由題意得解得則y353(x20),得y3x95.當(dāng)水放完,時(shí)間為x min,又知x20,故解析式為y3x95.5. 設(shè)函數(shù)f(x)若f(a)f(1),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案:(,1)(1,)解析:由f(1)2,則f(a)2.當(dāng)a0時(shí),有2a42,則a1;當(dāng)a0時(shí),a32,則a1.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(,1)(1,)6. 函數(shù)f(x)若關(guān)于x的方程f(x)kxk至少有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_答案:(1,)解析:如圖,作出函數(shù)圖象,y2kxk過定點(diǎn)(1,0),臨界點(diǎn)和(1,0)連線的斜率為,又f(1)1,由圖象知實(shí)數(shù)k的取值范圍是(1,),3. 分段函數(shù)意義理解不清致誤)典例已知實(shí)數(shù)a0,函數(shù)f(x)若f(1a)f(1a),則a的值為_易錯(cuò)分析:(1) 誤以為1a1,沒有對(duì)a進(jìn)行討論直接代入求解;(2) 求解過程中忘記檢驗(yàn)所求結(jié)果是否符合要求致誤解析:當(dāng)a0時(shí),1a1,由f(1a)f(1a)可得22aa1a2a,解得a,不合題意;當(dāng)a1,1a1,由f(1a)f(1a)可得1a2a22aa,解得a.答案:特別提醒:(1) 注意分類討論思想在求函數(shù)值中的應(yīng)用,對(duì)于分段函數(shù)的求值問題,若自變量的取值范圍不確定,應(yīng)分情況求解;(2) 檢驗(yàn)所求自變量的值或范圍是否符合題意,求解過程中,求出的參數(shù)的值或范圍并不一定符合題意,因此要檢驗(yàn)結(jié)果是否符合要求1. 已知集合Aa,b,c,B1,2,那么可建立從A到B的映射個(gè)數(shù)是_,從B到A的映射個(gè)數(shù)是_答案:89解析:依題意,建立從A到B的映射,即集合A中的每一個(gè)元素在集合B中找到對(duì)應(yīng)元素,從而從A到B的映射個(gè)數(shù)為238,從B到A的映射個(gè)數(shù)是329.所以填寫答案依次為:8;9.2. 已知一個(gè)函數(shù)的解析式為yx2,它的值域?yàn)?,4,這樣的函數(shù)有_個(gè)答案:9解析:列舉法:定義域可能是1,2、1,2、1,2、1,2、1,2,2、1,2,2、1,1,2、1,1,2、1,1,2,23. 若函數(shù)f(x),f(2)1,又方程f(x)x有唯一解,則f(x)_答案:解析:由f(2)1得1,即2ab2;由f(x)x得x,變形得x0,解此方程得x0或x, 方程有唯一解, 0,解得b1,代入2ab2得a, f(x).4. 如圖,動(dòng)點(diǎn)P從單位正方形ABCD頂點(diǎn)A開始,順次經(jīng)B,C,D繞邊界一周,當(dāng)x表示點(diǎn)P的行程,y表示PA之長時(shí),求y關(guān)于x的解析式,并求f的值解:當(dāng)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),yx(0x1);當(dāng)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),y(1x2);當(dāng)P在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí),y(2x3);當(dāng)P在DA上運(yùn)動(dòng)時(shí),y4x(3x4). y f.5. 已知函數(shù)f(x)則不等式f(x)1的解集是_答案:4,2解析:f(x)1,等價(jià)于或解之得4x0或01且x1,故函數(shù)的定義域?yàn)?1,1)(1,)3. 函數(shù)y的值域?yàn)開答案:解析: x222, 0. 00時(shí),值域?yàn)椋?;當(dāng)a0且a1)的值域是(0,) ylogax(a0且a1)的值域是R ysin x,ycos x的值域是1,1 ytan x的值域是R3. 函數(shù)的最值一般地,設(shè)yf(x)的定義域?yàn)锳.(1) 如果存在x0A,使得對(duì)于任意的xA,都有f(x)f(x0),那么稱f(x0)為yf(x)的最大值,記為ymaxf(x0)(2) 如果存在x0A,使得對(duì)于任意的xA,都有f(x)f(x0),那么稱f(x0)為yf(x)的最小值,記為yminf(x0)4. 值域與最值的關(guān)系若函數(shù)yf(x)的最大值為b,最小值為a,那么yf(x)的值域必定是數(shù)集a,b的子集,若f(x)可以取到a,b中的一切值,那么其值域就是a,b5. 復(fù)合函數(shù)如果函數(shù)yf(u)(uA),ug(x)(xB,uA),則yf(g(x)叫做由函數(shù)yf(u)(uA),ug(x)(xB,uA)合成的復(fù)合函數(shù),u叫做中間變量yf(u)(uA),叫做該復(fù)合函數(shù)的外層函數(shù),而ug(x)(xB)叫做該復(fù)合函數(shù)的內(nèi)層函數(shù)注意:由ug(x)(xB)求出的值域一定是A.即內(nèi)層函數(shù)的值域是外層函數(shù)的定義域6. 函數(shù)解析式的表示離不開函數(shù)的定義域備課札記,1求函數(shù)的定義域),1)(1) 已知函數(shù)f(x)的定義域是0,2,則函數(shù)g(x)ff的定義域是_(2) 函數(shù)y的定義域?yàn)開答案:(1) (2) (1,1)解析:(1) 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域是0,2,所以函數(shù)g(x)ff中的自變量x需要滿足:解得所以x,所以函數(shù)g(x)的定義域是.(2) 由得1x1.變式訓(xùn)練(1) 求函數(shù)y的定義域;(2) 函數(shù)f(x)的定義域是1,1,求f(log2x)的定義域解:(1) 由得 函數(shù)定義域是(,1)(1,0)(2) 函數(shù)f(x)的定義域是1,1, 1log2x1, x2.故f(log2x)的定義域?yàn)?求下列函數(shù)的定義域:(1) y(x1)0;(2) ylg sin x.解:(1) 由題意得,解得, 3x2且x1, 所求函數(shù)的定義域?yàn)閤|3x2且x1(2) 由題意得解得 2x或0x或21)解:(1) (解法1:換元法)令t,則t0且x,于是f(t)t(t1)21.由于t0,所以f(t),故函數(shù)的值域是.(解法2:單調(diào)性法)容易判斷f(x)為增函數(shù),而其定義域應(yīng)滿足12x0,即x,所以f(x)f,即函數(shù)的值域是.(2) y1.因?yàn)?x21,所以02.所以10),所以yt2(t0)因?yàn)閠22,當(dāng)且僅當(dāng)t,即x1時(shí),等號(hào)成立,故所求函數(shù)的值域?yàn)?2,)求下列函數(shù)的值域:(1) f(x);(2) g(x);(3) ylog3xlogx31.解:(1) 由解得3x1. f(x)的定義域是3,1令yf(x),則y0, y242,即y242(3x1)令t(x)(x1)24(3x1) x3,1,由t(3)0,t(1)4,t(1)0,知0t(x)4,從而y24,8,即y2,2, 函數(shù)f(x)的值域是2,2(2) g(x)1(x3且x4) x3且x4, g(x)1且g(x)6. 函數(shù)g(x)的值域是(,6)(6,1)(1,)(3) 函數(shù)的定義域?yàn)閤|x0且x1當(dāng)x1時(shí),log3x0,logx30,ylog3xlogx31211;當(dāng)0x1時(shí),log3x0,logx30恒成立,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍【思維導(dǎo)圖】 函數(shù)恒成立不等式恒成立分類討論新函數(shù)的最值a的取值范圍【規(guī)范解答】 解:(1) 當(dāng)a時(shí),f(x)x2. f(x)在區(qū)間1,)上為增函數(shù), f(x)在區(qū)間1,)上的最小值為f(1).(2) (解法1)在區(qū)間1,)上,f(x) 0恒成立, x22xa0恒成立設(shè)yx22xa,x1,) yx22xa(x1)2a1在1,)上單調(diào)遞增, 當(dāng)x1時(shí),ymin3a,當(dāng)且僅當(dāng)ymin3a0時(shí),函數(shù)f(x)0恒成立,故a3.(解法2)f(x)x2,x1,)當(dāng)a0時(shí),函數(shù)f(x)的值恒為正;當(dāng)a0時(shí),函數(shù)f(x)0恒成立,故a3.【精要點(diǎn)評(píng)】 解法1運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想把f(x)0轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次不等式;解法2運(yùn)用了分類討論思想總結(jié)歸納(1) 求函數(shù)的值域此類問題主要利用求函數(shù)值域的常用方法:配方法、分離變量法、單調(diào)性法、圖象法、換元法、不等式法等無論用什么方法求函數(shù)的值域,都必須考慮函數(shù)的定義域(2) 函數(shù)的綜合性題目此類問題主要考查函數(shù)值域、單調(diào)性、奇偶性等一些基本知識(shí)相結(jié)合的題目此類問題要求具備較高的數(shù)學(xué)思維能力、綜合分析能力以及較強(qiáng)的運(yùn)算能力(3) 運(yùn)用函數(shù)的值域解決實(shí)際問題此類問題的關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,從而利用所學(xué)知識(shí)去解決此類題目要求具有較強(qiáng)的分析能力和數(shù)學(xué)建模能力題組練透1. 函數(shù)y的值域是_答案:解析: x2x12, y, 值域?yàn)?2. 函數(shù)yx的值域是_答案:(,1解析:令t(t0),則x. yt (t1)211, 值域?yàn)?,13. 已知函數(shù)f(x)x24ax2a6.(1) 若f(x)的值域是0,),求a的值;(2) 若函數(shù)f(x)0恒成立,求g(a)2a|a1|的值域解:(1) f(x)的值域是0,),即f(x)min0, 0, a1或.(2) 若函數(shù)f(x)0恒成立,則(4a)24(2a6)0,即2a2a30, 1a, g(a)2a|a1|當(dāng)1a1時(shí),g(a)a2a2, g(a);當(dāng)10且a1)的值域是4,),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案:(1,2解析:當(dāng)x2時(shí),x64,要使得函數(shù)f(x)的值域?yàn)?,),只需當(dāng)x2時(shí),f(x)3logax的值域在區(qū)間4,)內(nèi)即可,故a1,所以3loga24,解得1a2,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,25. 已知函數(shù)f(x)axb(a0且a1)的定義域和值域都是1,0,則ab_答案:解析:當(dāng)a1時(shí),該方程組無解;當(dāng)0a1時(shí),解得則ab2.6. (2018南陽一中二模)設(shè)g(x).(1) 若g(x)的定義域?yàn)镽,求m的取值范圍;(2) 若g(x)的值域?yàn)?,),求m的取值范圍解:令f(x)mx2x1.(1) 由題意知f(x)0在R上恒成立 當(dāng)m0時(shí), f(x)x10在R上不恒成立; 當(dāng)m0時(shí),要滿足題意必有 m.綜上所述,m的取值范圍是.(2) 由題意知,f(x)mx2x1能取到一切大于或等于0的實(shí)數(shù) 當(dāng)m0時(shí),f(x)x1可以取到一切大于或等于0的實(shí)數(shù); 當(dāng)m0時(shí),要滿足題意必有 0m.綜上所述,m的取值范圍是.點(diǎn)睛:本題主要考查函數(shù)的定義域與值域、分類討論思想,屬于中檔題分類討論思想是解決高中數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法,是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一,尤其在解決含參數(shù)的問題時(shí)發(fā)揮著奇特功效,大大提高了解題能力與速度運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是將題設(shè)條件研究透,這樣才能快速找準(zhǔn)突破點(diǎn). 充分利用分類討論思想方法能夠使問題條理清晰,進(jìn)而順利解答,希望同學(xué)們能夠熟練掌握并能應(yīng)用于解題當(dāng)中1. 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)開答案:3,)解析:由題意知解得x3.2. (2018溧陽中學(xué)周練)函數(shù)f(x)ln()的定義域?yàn)開答案:4,0)(0,1)解析:函數(shù)的定義域必須滿足條件:解得x4,0)(0,1)3. 當(dāng)x_時(shí),函數(shù)f(x)(xa1)2(xa2)2(xan)2取得最小值答案:解析:f(x)nx22(a1a2an)x(aaa),當(dāng)x時(shí),f(x)取得最小值4. 設(shè)函數(shù)f(x)若f(x)的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案:(,12,)解析:f(x)的值域?yàn)镽,則22a2a2,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(,12,). 5. 已知函數(shù)f(x)1的定義域是a,b(a,bZ),值域是0,1,則滿足條件的整數(shù)數(shù)對(duì)(a,b)共有_個(gè)答案:5解析:由011,即12,解得0|x|2,滿足條件的整數(shù)數(shù)對(duì)有(2,0),(2,1),(2,2),(0,2),(1,2)共5個(gè)6. 求函數(shù)y的值域解:函數(shù)yf(x)的幾何意義:平面內(nèi)一點(diǎn)P(x,0)到兩點(diǎn)A(3,4)和B(5,2)的距離之和就是y的值由平面幾何知識(shí),找出點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B(5,2)連結(jié)AB,交x軸于一點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求的最小值點(diǎn),yminAB10.所以函數(shù)的值域?yàn)?0,)1. 函數(shù)的定義域是函數(shù)的靈魂,它決定了函數(shù)的值域,并且它是研究函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ),因此,我們一定要樹立函數(shù)定義域優(yōu)先的意識(shí)2. 函數(shù)的值域常?;瘹w為求函數(shù)的最值問題,要重視函數(shù)單調(diào)性在確定函數(shù)最值過程中的作用3. 求函數(shù)值域的常用方法:圖象法、配方法、換元法、基本不等式法、單調(diào)性法、分離常數(shù)法、導(dǎo)數(shù)法等理論上一切函數(shù)求值域或最值均可考慮“導(dǎo)數(shù)法”,但在具體的解題中要與初等方法密切配合備課札記第1課時(shí) 函數(shù)的單調(diào)性(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(文)、(理)1517頁) 函數(shù)單調(diào)性的概念是函數(shù)性質(zhì)中最重要的概念,仍將會(huì)是2019年高考的重點(diǎn),特別要注意函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用. 常見題型:a.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;b.用定義判斷函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性;c.強(qiáng)化應(yīng)用單調(diào)性解題的意識(shí),如比較式子的大小,求函數(shù)最值,已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍等 理解函數(shù)單調(diào)性的定義,并利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷或證明函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性. 理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值的幾何意義,會(huì)用單調(diào)性方法求函數(shù)的最大(小)值. 能利用函數(shù)的單調(diào)性解決其他一些綜合性問題1. 下列函數(shù)中,在(,0)上為減函數(shù)的是_(填序號(hào)) y; yx3; yx0 ; yx2.答案:解析: 函數(shù)yx2的圖象是開口向上的拋物線,對(duì)稱軸為y軸, 函數(shù)yx2在(,0)上為減函數(shù)2. (必修1P44習(xí)題2改編)(1) 函數(shù)f(x)2x1的單調(diào)增區(qū)間是_;函數(shù)g(x)3x2在區(qū)間(,)上為_函數(shù)(2) 函數(shù)f(x)x22x1的單調(diào)增區(qū)間為_,單調(diào)減區(qū)間為_(3) 函數(shù)f(x)1在區(qū)間(,0)上是單調(diào)_函數(shù)(4) 函數(shù)y在區(qū)間1,3上是單調(diào)_函數(shù)答案:(1) (,)單調(diào)減(2) 1,)(,1(3) 增(4) 減3. (必修1P54本章測(cè)試6改編)若函數(shù)y5x2mx4在區(qū)間(,1上是減函數(shù),在區(qū)間1,)上是增函數(shù),則m_答案:10解析:函數(shù)y5x2mx4的圖象為開口向上,對(duì)稱軸是x的拋物線,要使函數(shù)y5x2mx4在區(qū)間(,1上是減函數(shù),在區(qū)間1,)上是增函數(shù),則1, m10.4. 已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,)上為增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案:解析:f(x)a,由復(fù)合函數(shù)的增減性可知,g(x)在(2,)上為增函數(shù), 12a.5. 設(shè)函數(shù)f(x)滿足:對(duì)任意的x1,x2R都有(x1x2)f(x1)f(x2)0,則f(3)與f()的大小關(guān)系是_答案:f(3)f()解析:由(x1x2)f(x1)f(x2)0,可知函數(shù)f(x)為增函數(shù),又3, f(3)f()1. 增函數(shù)和減函數(shù)一般地,設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镮:如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)值x1,x2,當(dāng)x1x2時(shí),都有f(x1)f(x2),那么就說yf(x)在區(qū)間D上是單調(diào)增函數(shù)(如圖所示)如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)值x1,x2,當(dāng)x1f(x2),那么就說yf(x)在區(qū)間D上是單調(diào)減函數(shù)(如圖所示) 2. 單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間如果一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間D上是單調(diào)增函數(shù)或是單調(diào)減函數(shù),那么就說這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間D上具有單調(diào)性(區(qū)間D稱為單調(diào)區(qū)間)3. 判斷函數(shù)單調(diào)性的方法(1) 定義法利用定義嚴(yán)格判斷(2) 利用函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果f(x),g(x)為增函數(shù),則 f(x)g(x)為增函數(shù); 為減函數(shù)(f(x)0); 為增函數(shù)(f(x)0); f(x)g(x)為增函數(shù)(f(x)0,g(x)0); f(x)為減函數(shù)(3) 利用復(fù)合函數(shù)關(guān)系判斷單調(diào)性法則是“同增異減”,即兩個(gè)簡單函數(shù)的單調(diào)性相同,則這兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為增函數(shù);若兩個(gè)簡單函數(shù)的單調(diào)性相反,則這兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)(4) 圖象法奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上具有相反的單調(diào)性4. 函數(shù)的單調(diào)性的證明方法已知函數(shù)解析式,證明其在某區(qū)間上的單調(diào)性一般只能嚴(yán)格用定義(或?qū)?shù))來證明主要步驟:(1) 設(shè)元;(2) 作差(商);(3) 變形(變形要徹底,一般通過因式分解、配方等方法,直到符號(hào)的判定非常明顯);(4) 判斷符號(hào);(5) 結(jié)論備課札記,1函數(shù)單調(diào)性的判斷),1)判斷函數(shù)f(x)(a0)在區(qū)間(1,1)上的單調(diào)性分析:此函數(shù)既不是常見函數(shù),也不是由常見函數(shù)經(jīng)過簡單的復(fù)合而成,因此要判斷其在區(qū)間(1,1)上的單調(diào)性,只能用函數(shù)單調(diào)性的定義解:任取x1,x2(1,1),且x1x2,則f(x1)f(x2).由1x1x20, 當(dāng)a0時(shí),f(x1)f(x2)0,f(x1)f(x2), f(x)在(1,1)上單調(diào)遞減;同理,當(dāng)a0時(shí),f(x)在(1,1)上單調(diào)遞增證明函數(shù)f(x)在區(qū)間1,)上是減函數(shù)證明:設(shè)任取x1,x21,),且x1x2.f(x1)f(x2). x1,x21,),且x1x2, x1x20,1x1x20, f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2) f(x)在1,)上為減函數(shù)點(diǎn)評(píng):亦可證明函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1上是增函數(shù)由于函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),故利用單調(diào)性與奇偶性可作出函數(shù)f(x)的圖象同時(shí)也可得到函數(shù)f(x)在1,1上的值域?yàn)?,2求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間),2)求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:(1) yx23|x|;(2) y;(3) ylog2(6x2x2)解:(1) yx23|x| 由圖象可知,y在,上為減函數(shù),在,上為增函數(shù)(2) 易得定義域?yàn)镽,令ux22x(x1)21,則u在(,1上為減函數(shù),在1,)上為增函數(shù)又y在(,)上為減函數(shù), y的單調(diào)增區(qū)間為(,1,單調(diào)減區(qū)間為1,)(3) 由題意得6x2x20,化簡得2x2x60,即(2x3)(x2)0,解得x2,即定義域?yàn)?設(shè)u6x2x22,易知其在上為增函數(shù),在上為減函數(shù),又ylog2u在定義域上為增函數(shù), ylog2(6x2x2)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.點(diǎn)評(píng):已知函數(shù)的解析式,討論或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,應(yīng)首先確定函數(shù)的定義域,然后再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷規(guī)則在函數(shù)的定義域內(nèi)求內(nèi)層函數(shù)相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間變式訓(xùn)練函數(shù)y(x3)|x|的單調(diào)遞增區(qū)間是_答案:解析:y畫圖象如圖所示,可知單調(diào)遞增區(qū)間為.作出函數(shù)f(x)|x21|x的圖象,并根據(jù)函數(shù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解:當(dāng)x1或x1時(shí), yx2x12;當(dāng)1x1時(shí), yx2x12.函數(shù)圖象如圖,由函數(shù)圖象可知函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為(,1,;單調(diào)增區(qū)間為,1,),3函數(shù)的單調(diào)性與最值)典型示例,3)求f(x)x22ax1在區(qū)間0,2上的最大值和最小值【思維導(dǎo)圖】 判斷對(duì)稱軸與區(qū)間的不同位置關(guān)系分別畫出圖象判斷f(x)在區(qū)間的單調(diào)性求出最值【規(guī)范解答】 解:f(x)(xa)21a2,對(duì)稱軸為xa.(1) 當(dāng)a0時(shí),由圖可知,f(x)minf(0)1,f(x)maxf(2)34a.(2) 當(dāng)0a1時(shí),由圖可知,f(x)minf(a)1a2,f(x)maxf(2)34a.(3) 當(dāng)12時(shí),由圖可知,f(x)minf(2)34a,f(x)maxf(0)1.綜上,當(dāng)a0時(shí),f(x)min1,f(x)max34a;當(dāng)0a1時(shí),f(x)min1a2,f(x)max34a;當(dāng)12時(shí),f(x)min34a,f(x)max1.【精要點(diǎn)評(píng)】 (1) 二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是由圖象的對(duì)稱軸確定的故需要確定對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系由于對(duì)稱軸是xa,而a的取值不定,從而導(dǎo)致了分類討論(2) 不是應(yīng)該分a2三種情況討論嗎?為什么成了四種情況?這是由于拋物線的對(duì)稱軸在區(qū)間0,2所對(duì)應(yīng)的區(qū)域時(shí),最小值是在頂點(diǎn)處取得,但最大值卻有可能是f(0),也有可能是f(2)總結(jié)歸納(1) 要注意函數(shù)思想在求函數(shù)值域中的運(yùn)用,求函數(shù)最值常借助函數(shù)單調(diào)性含有參數(shù)的最值問題,需要分類討論參數(shù)在不同范圍內(nèi)時(shí)函數(shù)單調(diào)性的變化,進(jìn)而判斷最值的位置(2) 不等式恒成立問題也可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題題組練透1. 函數(shù)y2x的值域是_答案:2,)解析:x1,y是x的增函數(shù),當(dāng)x1時(shí),ymin2, 函數(shù)的值域?yàn)?,)2. 已知x0,1,則函數(shù)y的值域是_答案:1,解析:該函數(shù)為增函數(shù),自變量最小時(shí),函數(shù)值最??;自變量最大時(shí),函數(shù)值最大3. 函數(shù)f(x)(x3,6)的值域?yàn)開答案:1,4解析:區(qū)間3,6是函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間,把x3,x6分別代入f(x)中可得最大值、最小值4. 已知aR且a1,求函數(shù)f(x)在1,4上的最值解:由f(x)a.當(dāng)1a0,即a1時(shí),f(x)在1,4上為減函數(shù), fmax(x)f(1),fmin(x)f(4);當(dāng)1a1時(shí),f(x)在1,4上為增函數(shù), fmax(x)f(4),fmin(x)f(1).5. 已知二次函數(shù)f(x)ax2bx1,若f(1)0,且函數(shù)f(x)的值域?yàn)?,)(1) 求a,b的值;(2) 若h(x)2f(x1)x|xm|2m,求h(x)的最小值解:(1) 顯然a0, f(1)0, ab10.又f(x)的值域?yàn)?,), b24a0.由解得(2) 由(1)知f(x)x22x1,h(x)2x2x|xm|2m,即h(x) 若m0,則hmin(x)min,即hmin(x)min.又2m22m0, 當(dāng)m0時(shí),hmin(x)2m; 若m0,則hmin(x)h2m.綜上所述,hmin(x),4函數(shù)的單調(diào)性的綜合應(yīng)用),4)已知函數(shù)f(x)2x,x(0,1(1) 當(dāng)a1時(shí),求函數(shù)yf(x)的值域;(2) 若函數(shù)yf(x)在(0,1上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍解:(1) 當(dāng)a1時(shí),f(x)2x,因?yàn)?x1,所以f(x)2x22,當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí),等號(hào)成立,所以函數(shù)yf(x)的值域是2,)(2) (解法1)設(shè)0x10恒成立,所以2x1x2a0,即a2x1x2在(0,1上恒成立,所以a2,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(,2)(解法2)由f(x)2x,知f(x)2,因?yàn)楹瘮?shù)yf(x)在(0,1上是減函數(shù),所以f(x)20在(0,1上恒成立,即a2x2在(0,1上恒成立,所以a2,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(,2)變式訓(xùn)練若函數(shù)f(x)是(,)上的減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案:2,0)解析:由x1時(shí),f(x)x22ax2a是減函數(shù),得a1.由x1時(shí),函數(shù)f(x)ax1是減函數(shù),得a0,分界點(diǎn)處的值應(yīng)滿足122a12a1a1,解得a2,所以2a0.點(diǎn)睛:本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性,解決本題的關(guān)鍵是熟悉二次函數(shù)、一次函數(shù)的單調(diào)性,除了確定兩段函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)以外,還需考慮分界點(diǎn)兩側(cè)的單調(diào)性,需要列出分界點(diǎn)處的不等關(guān)系已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,),其在定義域上為增函數(shù),且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y(0,)都滿足f(xy)f(x)f(y),f(2)1,試解不等式f(x)f(x2)3.分析:此題的關(guān)鍵是將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)值的大小關(guān)系,然后借助于函數(shù)的單調(diào)性再將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量取值的大小關(guān)系解:由題意得3111f(2)f(2)f(2)f(4)f(2)f(8),即f(8)3, f(x)f(x2)3f(x)f(x2)f(8)而f(x)f(x2)f(x22x),且f(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù), f(x)f(x2)f(8)解得2x4, 所求不等式的解集為x|2x4點(diǎn)評(píng):(1) 解含有抽象符號(hào)“f”的不等式時(shí),關(guān)鍵是符號(hào)“f”的“穿”與“脫”在這里,首先要穿上符號(hào)“f”,然后再利用函數(shù)的單調(diào)性脫去“f”,使之成為能夠求解的普通不等式(2) 單調(diào)性的定義實(shí)質(zhì)上給出了自變量與函數(shù)值大小關(guān)系的轉(zhuǎn)化如果f(x)在D上為增函數(shù),則x1,x2D,- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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