2019高中數(shù)學(xué) 第四章 圓與方程 4.1 圓的方程(第2課時(shí))圓的一般方程講義(含解析)新人教A版必修2.doc
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第2課時(shí)圓的一般方程核心必知1預(yù)習(xí)教材,問題導(dǎo)入根據(jù)以下提綱,預(yù)習(xí)教材P121P123,回答下列問題(1)方程x2y22x4y10表示什么圖形?x2y22x4y60表示什么圖形?提示:對(duì)方程x2y22x4y10配方,得(x1)2(y2)24,它表示圓心為(1,2),半徑為2的圓;對(duì)方程x2y22x4y60配方,得(x1)2(y2)21,由于不存在點(diǎn)(x,y)滿足這個(gè)方程,所以它不表示任何圖形(2)把x2y2DxEyF0配方后,將得到怎樣的方程?這個(gè)方程是不是表示圓?提示:得到的方程為22.當(dāng)D2E24F0時(shí),該方程表示以為圓心, 為半徑的圓;當(dāng)D2E24F0時(shí),方程只有實(shí)數(shù)解x,y,即只表示一個(gè)點(diǎn);當(dāng)D2E24F0時(shí)才表示圓課前反思通過以上預(yù)習(xí),必須掌握的幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)(1)圓的一般方程是什么?怎樣求?;(2)怎樣由一般方程確定圓心和半徑?.已知圓心(2,3),半徑為2,其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y3)24.思考1上述方程能否化為二元二次方程的形式?名師指津:可以,x2y24x6y90.思考2方程x2y24x6y130是否表示圓?名師指津:配方化為(x2)2(y3)20,不表示圓思考3怎樣理解圓的一般方程?名師指津:(1)圓的一般方程體現(xiàn)了圓的方程形式上的特點(diǎn):x2、y2的系數(shù)相等且不為0;沒有xy項(xiàng)(2)對(duì)方程x2y2DxEyF0的說明:講一講1若方程x2y22mx2ym25m0表示圓,求:(1)實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)圓心坐標(biāo)和半徑嘗試解答(1)據(jù)題意知,D2E24F(2m)2(2)24(m25m)0,即4m244m220m0,解得m,故m的取值范圍為.(2)將方程x2y22mx2ym25m0寫成標(biāo)準(zhǔn)方程為(xm)2(y1)215m,故圓心坐標(biāo)為(m,1),半徑r.形如x2y2DxEyF0的二元二次方程,判定其是否表示圓時(shí)可有如下兩種方法:(1)由圓的一般方程的定義令D2E24F0,成立則表示圓,否則不表示圓(2)將方程配方后,根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征求解應(yīng)用這兩種方法時(shí),要注意所給方程是不是x2y2DxEyF0這種標(biāo)準(zhǔn)形式,若不是,則要化為這種形式再求解練一練1下列方程各表示什么圖形?若表示圓,求其圓心和半徑(1)x2y2x10;(2)x2y22axa20(a0);(3)2x22y22ax2ay0(a0)解:(1)D1,E0,F(xiàn)1,D2E24F1430,方程(1)不表示任何圖形(2)D2a,E0,F(xiàn)a2,D2E24F4a24a20,方程表示點(diǎn)(a,0)(3)兩邊同除以2,得x2y2axay0,Da,Ea,F(xiàn)0,D2E24F2a20,方程(3)表示圓,它的圓心為,半徑r |a|.講一講2求過三點(diǎn)O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圓的方程,并求這個(gè)圓的半徑和圓心坐標(biāo)嘗試解答設(shè)所求圓的方程為x2y2DxEyF0,所求圓過點(diǎn)O(0,0),M1(1,1),M2(4,2),解得所求圓的方程為x2y28x6y0,4,3,圓心為(4,3),半徑r 5.應(yīng)用待定系數(shù)法求圓的方程(1)如果由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需利用圓心的坐標(biāo)或半徑列方程的問題,一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,再用待定系數(shù)法求出a,b,r;(2)如果已知條件與圓心和半徑都無直接關(guān)系,一般采用圓的一般方程,再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D,E,F(xiàn).練一練2求經(jīng)過兩點(diǎn)A(4,2),B(1,3),且在兩坐標(biāo)軸上的四個(gè)截距之和為2的圓的方程解:設(shè)圓的一般方程為x2y2DxEyF0,令y0,得x2DxF0,所以圓在x軸上的截距之和為x1x2D;令x0,得y2EyF0,所以圓在y軸上的截距之和為y1y2E;由題設(shè),x1x2y1y2(DE)2,所以DE2.又A(4,2),B(1,3)兩點(diǎn)在圓上,所以1644D2EF0,19D3EF0,由可得D2,E0,F(xiàn)12,故所求圓的方程為x2y22x120.講一講3已知直角ABC的斜邊為AB,且A(1,0),B(3,0),求:(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程;(2)直角邊BC中點(diǎn)M的軌跡方程思路點(diǎn)撥(1)設(shè)出C點(diǎn)坐標(biāo),利用垂直關(guān)系直接由斜率之積為1列出方程,注意A、B、C三點(diǎn)不能共線;(2)設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo),利用中點(diǎn)關(guān)系,建立M點(diǎn)與C點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系,求出軌跡方程嘗試解答(1)法一:設(shè)頂點(diǎn)C(x,y),因?yàn)锳CBC,且A,B,C三點(diǎn)不共線,所以x3,且x1.又kAC,kBC,且kACkBC1,所以1,化簡(jiǎn)得x2y22x30.因此,直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2y22x30(x3,且x1)法二:同法一得x3,且x1.由勾股定理得|AC|2|BC|2|AB|2,即(x1)2y2(x3)2y216,化簡(jiǎn)得x2y22x30.因此,直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2y22x30(x3,且x1)法三:設(shè)AB中點(diǎn)為D,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得D(1,0),由直角三角形的性質(zhì)知,|CD|AB|2,由圓的定義知,動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以D(1,0)為圓心,以2為半徑的圓(由于A,B,C三點(diǎn)不共線,所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn))設(shè)C(x,y),則直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x1)2y24(x3,且x1)(2)設(shè)點(diǎn)M(x,y),點(diǎn)C(x0,y0),因?yàn)锽(3,0),M是線段BC的中點(diǎn),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x(x3,且x1),y,于是有x02x3,y02y.由(1)知,點(diǎn)C在圓(x1)2y24(x3,且x1)上運(yùn)動(dòng),將x0,y0代入該方程得(2x4)2(2y)24,即(x2)2y21.因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(x2)2y21(x3,且x1)用代入法求軌跡方程的一般步驟練一練3已知ABC的邊AB長(zhǎng)為4,若BC邊上的中線為定長(zhǎng)3,求頂點(diǎn)C的軌跡方程解:以直線AB為x軸,AB的中垂線為y軸建立坐標(biāo)系(如圖),則A(2,0),B(2,0),設(shè)C(x,y),BC中點(diǎn)D(x0,y0)|AD|3,(x02)2y9.將代入,整理得(x6)2y236.點(diǎn)C不能在x軸上,y0.綜上,點(diǎn)C的軌跡是以(6,0)為圓心,6為半徑的圓,去掉(12,0)和(0,0)兩點(diǎn)軌跡方程為(x6)2y236(y0)課堂歸納感悟提升1本節(jié)課的重點(diǎn)是了解圓的一般方程的特點(diǎn),會(huì)由一般方程求圓心和半徑,會(huì)根據(jù)給定的條件求圓的一般方程,并能用圓的一般方程解決簡(jiǎn)單問題,初步掌握求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的方法難點(diǎn)是會(huì)根據(jù)給定的條件求圓的一般方程,并能用圓的一般方程解決簡(jiǎn)單問題2本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法(1)二元二次方程表示圓的判定方法,見講1.(2)應(yīng)用待定系數(shù)法求圓的方程的方法,見講2.(3)代入法求軌跡方程的一般步驟,見講3.3本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)是忽略二元二次方程表示圓的條件,如講1.課下能力提升(二十三)學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練題組1圓的一般方程1圓的方程為(x1)(x2)(y2)(y4)0,則圓心坐標(biāo)為()A(1,1)B. C(1,2) D.解析:選D將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,得2(y1)2,所以圓心為.2已知方程x2y22x2k30表示圓,則k的取值范圍是()A(,1) B(3,)C(,1)(3,) D.解析:選A方程可化為:(x1)2y22k2,只有2k20,即k0)關(guān)于直線yx對(duì)稱,則有()ADE0 BDECDF DEF解析:選B由圓的對(duì)稱性知,圓心在直線yx上,故有,即DE.3(2016 衡水高一檢測(cè))直線yx1上的點(diǎn)到圓x2y24x2y40的最近距離為()A2 B.1C21 D1解析:選C圓心(2,1)到已知直線的距離為d2,圓的半徑為r1,故所求距離dmin21.4已知兩定點(diǎn)A(2,0),B(1,0),如果動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|2|PB|,則點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積等于()A B4C8 D9解析:選B設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡坐標(biāo)為(x,y),則由|PA|2|PB|,知 2,化簡(jiǎn)得(x2)2y24,得軌跡曲線為以(2,0)為圓心,以2為半徑的圓,該圓面積為4.5關(guān)于方程x2y22ax2ay0表示的圓,下列敘述中:圓心在直線yx上;其圓心在x軸上;過原點(diǎn);半徑為a.其中敘述正確的是_(要求寫出所有正確命題的序號(hào))解析:將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可知圓心為(a,a),半徑為|a|,故正確答案:6M(3,0)是圓x2y28x2y100內(nèi)一點(diǎn),過M點(diǎn)最長(zhǎng)的弦所在的直線方程為_,最短的弦所在的直線方程是_解析:由圓的幾何性質(zhì)可知,過圓內(nèi)一點(diǎn)M的最長(zhǎng)的弦是直徑,最短的弦是與該點(diǎn)和圓心的連線CM垂直的弦易求出圓心為C(4,1),kCM1,最短的弦所在的直線的斜率為1,由點(diǎn)斜式,分別得到方程yx3和y(x3),即xy30和xy30.答案:xy30xy307點(diǎn)A(2,0)是圓x2y24上的定點(diǎn),點(diǎn)B(1,1)是圓內(nèi)一點(diǎn),P、Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)(1)求線段AP的中點(diǎn)的軌跡方程;(2)若PBQ90,求線段PQ的中點(diǎn)的軌跡方程解:(1)設(shè)線段AP的中點(diǎn)為M(x,y),由中點(diǎn)公式得點(diǎn)P坐標(biāo)為P(2x2,2y)點(diǎn)P在圓x2y24上,(2x2)2(2y)24,故線段AP的中點(diǎn)的軌跡方程為(x1)2y21.(2)設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為N(x,y),在RtPBQ中,|PN|BN|.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),連接ON,則ONPQ,|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2,即x2y2(x1)2(y1)24,故線段PQ的中點(diǎn)的軌跡方程為x2y2xy10.8已知圓C: x2y24x14y450,及點(diǎn)Q(2,3)(1)P(a,a1)在圓上,求線段PQ的長(zhǎng)及直線PQ的斜率;(2)若M為圓C上的任一點(diǎn),求|MQ|的最大值和最小值解:(1)點(diǎn)P(a,a1)在圓上,a2(a1)24a14(a1)450,a4,P(4,5),|PQ|2,kPQ.(2)圓心C的坐標(biāo)為(2,7),|QC|4,圓的半徑是2,點(diǎn)Q在圓外,|MQ|max426,|MQ|min422.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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