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第四章相似理論與量綱分析,兩個規(guī)模不同的流動相似是流體力學(xué)試驗時必須面對的問題。量綱分析法是用于尋求一定物理過程中，相關(guān)物理量之間規(guī)律性聯(lián)系的一種方法。它對于正確地分析、科學(xué)地表達(dá)物理過程是十分有益的。本章探討流動的相似理論和量綱分析法，對流體力學(xué)試驗研究有重要的指導(dǎo)意義。,第四章相似理論與量綱分析,相似理論量綱分析,第一節(jié)相似理論,一、流體力學(xué)相似流體力學(xué)相似：某一流動的某種量（速度、壓力、阻力等）可由另一流動對應(yīng)點的同名量乘以對全流場來說相同的某一常數(shù)而得到。,兩流動現(xiàn)象在力學(xué)上相似，包括兩現(xiàn)象的幾何相似、運動相似和動力相似。,實驗的重要性和必不可少性。實型實驗不可能，應(yīng)采用模擬。如何模擬？如何保證達(dá)到模擬的條件？數(shù)據(jù)又如何轉(zhuǎn)換到實型上去？這些是相似理論要回答的問題。,1、幾何相似（空間相似）,幾何相似：指兩流場幾何形狀相似，兩流動的對應(yīng)邊長成同一比例，對應(yīng)角相等，即全流場有一個相同的長度比例。幾何相似還可認(rèn)為包括流場相應(yīng)邊界性質(zhì)相同，如固體壁面，自由液面等。,尺度比例系數(shù)：,m----模型流動；p----原型流動。,則面積比例系數(shù)KA和體積比例系數(shù)KV可分別表示為：,,,2、運動相似（時間相似）,運動相似指兩流動對應(yīng)幾何點上的速度成同一比例。此時，兩流動的跡線和流線幾何相似。,在對應(yīng)瞬時，流場速度圖相似，即相應(yīng)點速度大小成比例，方向相同。,速度比例系數(shù)：,運動相似是建立在幾何相似的基礎(chǔ)上，在尺度比例系數(shù)已定的情況下，速度比例系數(shù)可寫成：,所以運動相似也稱為時間相似，這樣一來，其它運動學(xué)物理量的比例系數(shù)均可分別表示為尺度比例系數(shù)和時間比例系數(shù)的不同組合：,速度比例系數(shù)：,加速度比例系數(shù)：,角速度比例系數(shù)：,流量比例系數(shù)：,運動粘度比例系數(shù)：,3、動力相似（受力相似）,動力相似：運動相似的兩流場在對應(yīng)位置和對應(yīng)瞬時，作用同樣數(shù)量的同名力（時變慣性力、位變慣性力、質(zhì)量力、壓差力和粘性力），矢量圖都相似，即相應(yīng)點力的大小成比例，方向相同。并且五種成分力的相似比例數(shù)也相同，即力多邊形相似。,力比例系數(shù)：,但是，對于各種具體的作用力，KF又取決于它們自身的物理特性的比例系數(shù)：,所有作用力的相似要求：,上式表明：要使模型流動和原型流動動力相似，需要這兩個流動在時空相似的條件下，各相似準(zhǔn)則都相等。同時滿足以上三個方面相似的流動稱為流體力學(xué)相似流動。,二、相似準(zhǔn)則,兩相似流動的區(qū)別只在于各量兩流場中所取的比例尺不同而已，將描述流動的量表示成相應(yīng)比例尺的倍數(shù)，則所有的量均成為無量綱的量。如何達(dá)到兩流動流體力學(xué)相似呢？也就是說，保證了什么條件才能相似，這就是要討論的相似準(zhǔn)則問題。兩相似流動必須滿足同一運動微分方程（N-S方程）：,所有同類的物理量均具有同一比例系數(shù)，因此有：,由對兩運動微分方程及同類物理量有同一比例關(guān)系，對比后可寫出：,式中：（1）----單位質(zhì)量的時變慣性力；（2）----單位質(zhì)量的位變慣性力；（3）----單位質(zhì)量的質(zhì)量力；（4）----單位質(zhì)量的壓力；（5）----單位質(zhì)量的摩擦力。,（4-17）,（1）,（5）,（4）,（3）,（2）,（4-17）式就表示模型流動和原型流動的力多邊相似。將（4-17）式中用除全式，可得：,（4-18）,（1）,（4）,（3）,（2）,（4-18）式表示模型流動和原型流動在動力相似時，各比例系數(shù)之間有一個約束，并非各比例系數(shù)的數(shù)值可隨便選取。,1、斯特勞哈爾相似準(zhǔn)數(shù)(Strouhal),由（4-18）式第（1）項：,Sr是一個無量綱的量，它代表了時變慣性力與位變慣性力之比，反映了流體運動隨時間變化的情況。對于非定常流動，Sr就是決定性相似準(zhǔn)數(shù)。,2、弗勞德相似準(zhǔn)數(shù)(Froude)----重力作用下兩流動的相似準(zhǔn)則,由（4-18）式第（2）項：,即在動力相似中要求：,Fr代表了流動中慣性力與重力之比，反映了流體流動中重力所起的影響作用。若，比如在同一實驗地點，則：,3、歐拉相似準(zhǔn)數(shù)(Euler)----壓力作用下兩流動的相似準(zhǔn)則,由（4-18）式第（3）項：,即在動力相似中要求：,Eu準(zhǔn)數(shù)代表了流體流動中所受的壓力與慣性力之比，反映了流動中壓力所起的影響作用。它也是一個無量綱的量。,4、雷諾相似準(zhǔn)數(shù)(Reynolds)----粘性摩擦力作用下兩流動的相似準(zhǔn)則,由（4-18）式第（4）項：,即在動力相似中要求：,Re準(zhǔn)數(shù)代表了流體流動中所受的慣性力與粘性力之比，反映了流動中粘性摩擦力所起的影響作用。它也是一個無量綱的量。,兩流動現(xiàn)象的摩擦阻力作用相似時，其沿程阻力系數(shù)必相等，即：對于層流區(qū)和紊流水力光滑區(qū)，由Re數(shù)所決定。,但在紊流阻力平方區(qū)，Re數(shù)的變化對值沒有影響，這一條件并不是相似所必要的。所以阻力平方區(qū)又稱為自模擬區(qū)。,5、馬赫相似準(zhǔn)數(shù)(Mach),Ma準(zhǔn)數(shù)代表了流動中的可壓縮程度。C為聲速，微小擾動在流體中的傳播速度。,,位變慣性力,時變慣性力,,,表征,斯特勞哈爾數(shù),,弗勞德數(shù),,歐拉數(shù),,雷諾數(shù),位變慣性力,,重力,位變慣性力,,粘性力,位變慣性力,,壓差力,,表征,,表征,,表征,由上面的分析可知：要使兩流動動力相似，則必須：,模型實驗時要同時滿足所有的相似準(zhǔn)則十分困難，且無此必要，這時要抓住主要矛盾，即根據(jù)流動的性質(zhì)來選取決定性相似準(zhǔn)數(shù)。例如：重力起支配作用的流動，F(xiàn)r為決定性相似準(zhǔn)數(shù)。粘性摩擦力起支配作用的流動，Re為決定性相似準(zhǔn)數(shù)。對于非定常流動，Sr為決定性相似準(zhǔn)數(shù)對于可壓縮流動，Ma為決定性相似準(zhǔn)數(shù)。要注意的是在其它相似準(zhǔn)數(shù)作為決定性相似準(zhǔn)數(shù)滿足相等時，歐拉準(zhǔn)數(shù)相等是能同時滿足的，這是因為由流體流動的基本方程，決定了流動相似的結(jié)果壓力場也相似。,,可見粘性和重力相似條件產(chǎn)生矛盾，除非改變g和?.而我們知道改變g是不大可能的（由此可知為什么有些實驗要在航天飛機(jī)上做），改變?的可能性也不大，因為流體力學(xué)實驗可供選擇的流體種類是很少的。通常我們只能抓主要矛盾，保證起決定作用的那個相似準(zhǔn)數(shù)相等，稱為。,部分相似,在相似的條件下進(jìn)行實驗,相似準(zhǔn)則：,重力相似準(zhǔn)則：保證兩現(xiàn)象的弗勞德數(shù)相等,非恒定相似準(zhǔn)則：保證兩現(xiàn)象的斯特勞哈爾數(shù)相等,壓差力相似，即歐拉數(shù)相等往往是兩現(xiàn)象動力相似的結(jié)果,粘性相似準(zhǔn)則：保證兩現(xiàn)象的雷諾數(shù)相等,三、模型的設(shè)計與數(shù)據(jù)換算,1、模型流動的設(shè)計,設(shè)計原則：滿足幾何相似、運動相似和主要動力相似。即使模型流動和原型流動在時空相似的基礎(chǔ)上，滿足決定性相似準(zhǔn)數(shù)相等。,2、數(shù)據(jù)換算,可由模型流動中已確定的一些比例系數(shù)以及物理量之間的關(guān)系，來確定其它一些比例系數(shù)，這樣，原型流動中所要獲得的數(shù)據(jù)就等于模型流動中的相應(yīng)數(shù)據(jù)除以對應(yīng)的比例系數(shù)。,,相似理論的應(yīng)用,在相似的條件下進(jìn)行實驗,應(yīng)該測量實驗結(jié)果無量綱表達(dá)式包含的所有物理量,實驗結(jié)果應(yīng)整理成以相似準(zhǔn)數(shù)和其它無量綱量來表示的函數(shù)關(guān)系式或繪制成曲線；實驗結(jié)果只能應(yīng)用于相似現(xiàn)象之間。,在什么條件下進(jìn)行實驗?,應(yīng)該測量哪些物理量?,實驗結(jié)果如何應(yīng)用?,如何進(jìn)行實驗?,例題1,,解：,由于流程較短，重力起主要作用，粘性力可不計，選Fr為決定性相似準(zhǔn)數(shù)。,,例題2,解：,（1）轎車行駛時，空氣的粘性摩擦阻力決定其迎面阻力，而重力的作用則很小，故只要保證雷諾數(shù)相等，即可使流動力學(xué)相似。,,由于模型中所用流體與原型中所用的流體是同種而且是同溫度的。,尺度比例系數(shù)一般小于1，本實驗的風(fēng)洞實驗段比較大，因此?。?故風(fēng)洞實驗段內(nèi)氣流速度應(yīng)是：,模型轎車的高度為：,于是風(fēng)洞實驗段內(nèi)的氣流速度為：,此時風(fēng)洞內(nèi)氣流已不能作為不可壓縮流體來處理，因此尺度比例系數(shù)不可取?？梢娫谌〕叨缺壤禂?shù)時，要考慮流動性質(zhì)和實驗條件，并非完全隨意。,（2）在模型流動設(shè)計時已定下：,在相同的流體和相同的溫度下，流體密度比例系數(shù)為1，而力比例系數(shù)：,第二節(jié)量綱分析（因次分析）,相似理論告訴我們?nèi)绾芜M(jìn)行模型實驗，如何將模型實驗的所得數(shù)據(jù)換算到實型上去。而量綱分析也是實驗的一個理論依據(jù)，它的作用是對已建立物理方程的流動問題，能給出肯定的答案，對于方程尚未建立的流動，雖不能給予肯定的回答，但卻是處理這一類問題唯一可行的辦法。兩種常用的量綱分析方法：雷利法、π定理。它們的共同特點是通過對有關(guān)物理量的量綱分析，使各物理量函數(shù)關(guān)系中的自變量減為最少，使實驗大大簡化。本節(jié)僅討論π定理。,一、量綱分析的基本概念,1、量綱——物理量的單位種類。量綱是指物理量所包含的基本物理要素及其結(jié)合形式，表示物理量的類別，是物理量的質(zhì)的特征。在量度物理量數(shù)值大小的標(biāo)準(zhǔn)（單位）確定之后，一個具體的物理量就對應(yīng)于一個數(shù)值，有了比較意義上的大小，這是物理量的量的特征。,2、基本量綱和導(dǎo)出量綱,基本量綱具有獨立性，比如與溫度無關(guān)的動力學(xué)問題可選取長度[L]、時間[T]和質(zhì)量[M]為基本量綱。,誘導(dǎo)量綱可由量綱公式通過基本量綱導(dǎo)出。,任何特征量B的量綱可寫成：,若特征量B為無量綱量，則,加速度的量綱：,力的量綱：,面積的量綱：,壓強(qiáng)的量綱：,3、基本量和導(dǎo)出量,一個問題中諸多物理量可分成基本物理量（基本量）和其它物理量（導(dǎo)出量）兩組，前者為互相獨立的物理量，后者可通過某種關(guān)系式由前者導(dǎo)出。基本量可隨便取，但它們的量綱中應(yīng)包含有L、T、M這三個基本量綱在內(nèi)。如可取作為基本量，也可取作為基本量。,4、無量綱量（量綱為1）,物理量的所有量綱指數(shù)為零，用表示。無量綱量有：相似準(zhǔn)數(shù)；系數(shù)；比例數(shù)等。,無量綱量,正確反映客觀物理規(guī)律的函數(shù)關(guān)系式或方程式，其各項的量綱指數(shù)都分別相同。,二.量綱和諧原理（量綱齊次原理）,任何表示客觀物理規(guī)律的數(shù)學(xué)關(guān)系式，其數(shù)學(xué)形式不隨單位制變換而改變形式。,客觀物理規(guī)律必定可以通過無量綱量之間的關(guān)系式來表達(dá)。,物理過程的有量綱表達(dá)形式為，其中m個物理量的量綱被選為基本量綱，余下n-m個物理量可各自與這m個物理量組合成無量綱量，?定理的結(jié)論是：物理過程的無量綱表達(dá)形式為:,三.布金漢(Buckingham)?定理,物理過程涉及n個物理量，其中有m個物理量的量綱是互相獨立的，選這些量綱為基本量綱，可組成n-m個無量綱量，物理過程則可由這n-m個無量綱量的關(guān)系式描述。否則就違反了量綱和諧原理。,若描述某一力學(xué)現(xiàn)象或過程的n特征量之間有下列關(guān)系：,于是n個有量綱的函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)換成（n-3）個無量綱的函數(shù)關(guān)系：,（4-25）,上式即為∏定理的表達(dá)式，它表明任何有量綱的量之間的物理關(guān)系必可化為無量綱數(shù)之間的關(guān)系，并且減少了問題中的自變量的數(shù)目，這些無量綱數(shù)可由理論和實驗確定，從而可由已知特征量求得另一些特征量。,,例,初速為零的自由落體運動位移s,s～g,t,g,t選為基本量綱,三個量只能組成一個無量綱量s/gt2,初速為零的自由落體運動規(guī)律s/gt2=C,做一次實驗測得C=1/2，就不用再做類似實驗，包括在月球上做實驗。,從無量綱表達(dá)看，似乎物理過程涉及的因素減少了，其實涉及的物理量并未減少，只是這些物理量組合成了若干無量綱量相互關(guān)聯(lián)。比起有量綱表達(dá)來，無量綱表達(dá)更接近于相關(guān)物理量之間規(guī)律性聯(lián)系的實質(zhì)，也更具普遍性。,應(yīng)用?定理要點（也是難點）在于：確定物理過程涉及的物理量時，既不能遺漏，也不要多列。,,例題3：,解：所求問題的函數(shù)關(guān)系式可表示成：,N=7，基本量綱3個，故這7個有量綱物理量的關(guān)系式可轉(zhuǎn)換成4個無量綱數(shù)的函數(shù)關(guān)系式。,這樣，所求問題用無量綱數(shù)表示的方程為：,上式也可寫成：,例題4：,,N=5，基本量綱3個，故這5個有量綱物理量的關(guān)系式可轉(zhuǎn)換成2個無量綱數(shù)的函數(shù)關(guān)系式。,解：所求問題的函數(shù)關(guān)系式可表示成：,例題5:,,解：此流動的主要作用力為壓力和粘性摩擦力，故決定性相似準(zhǔn)數(shù)為雷諾數(shù)，非決定性相似準(zhǔn)數(shù)為歐拉數(shù)。,（1）由阻力相似的比尺關(guān)系：,（2）由壓力相似的比尺關(guān)系：,常用物理量的因次,作業(yè)：,4-74-104-11,