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線性方程與非線性方程的概述與運用,問題背景和研究目的,解方程（代數(shù)方程）是最常見的數(shù)學問題之一，也是眾多應(yīng)用領(lǐng)域中不可避免的問題之一。,求解一般非線性方程沒有通用的解析方法，但如果在任意給定的精度下，能夠解出方程的近似解，則可以認為問題已能夠解決，至少可以滿足實際需要。,本節(jié)主要介紹一些有效的求解方程的數(shù)值方法：二分法，迭代法（牛頓法）。同時要求大家學會如何利用Matlab來求方程的近似解。,2.6非線性方程近似根,相關(guān)概念,如果f(x)是一次多項式，稱上面的方程為線性方程；否則稱之為非線性方程。,線性方程與非線性方程,問題：如何求連續(xù)的非線性方程實根的近似值。,根的隔離,若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)f(b)<0，則f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一個根。通過根的隔離，可假設(shè)此區(qū)間內(nèi)存在唯一根x*。,基本思想,二分法,將隔離區(qū)間進行對分，判斷出解在某個子區(qū)間內(nèi)，然后再對該子區(qū)間對分，依次類推，直到滿足給定的精度為止。,算法,二分法,設(shè)方程在區(qū)間[a,b]內(nèi)連續(xù)，且f(a)f(b)<0，給定精度要求?，若有|f(x)|>symsx>>f=sin(x)+3*x^2;>>g=diff(f,x),>>g=diff(sin(x)+3*x^2,x),作業(yè),每題分別用兩種一步迭代法（要求寫出迭代格式）：1）Newton迭代法；2）自己構(gòu)造的非牛頓切線或割線法迭代格式（需討論收斂性）根據(jù)迭代格式用計算機（器）求下列非線性方程的根：,迭代法的加速,設(shè)迭代xk+1=?(xk)，第k步和第k+1步得到的近似根分別為xk和?(xk)，令,其中wk稱為加權(quán)系數(shù)或權(quán)重。得新迭代xk+1=?(xk),松弛迭代法,松弛法迭代公式：,松弛法具有較好的加速效果，甚至有些不收斂的迭代格式，通過加速后也能收斂。,缺點：每次迭代都需計算導數(shù),Altken迭代法,Altken迭代法,用差商近似微商,設(shè)x*是方程的根，則由微分中值定理可得,,,Altken迭代法,Altken迭代公式,,k=0,1,2,......,Altken法同樣具有較好的加速效果,