蘇教版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件7.2空間幾何體的表面積和體積.ppt
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第2課時(shí)空間幾何體的表面積和體積,了解球、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積和體積的計(jì)算公式(不要求記憶公式),【命題預(yù)測(cè)】1表面積在高考中出現(xiàn)的頻率較高,多以填空題出現(xiàn),在計(jì)算題或解答題中出現(xiàn)時(shí),往往與其他知識(shí)相結(jié)合,綜合性較強(qiáng),難度適中2體積在高考中是熱點(diǎn),也是難點(diǎn),要求立體思維能力強(qiáng),空間想象力豐富,常常結(jié)合三角函數(shù)、面積等知識(shí)綜合考查,題型靈活多樣,【應(yīng)試對(duì)策】1棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積公式是由側(cè)面展開(kāi)圖得到的,不要死記硬背,計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)側(cè)面展開(kāi)圖的特點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算注意區(qū)分所求的是側(cè)面積還是表面積,還要認(rèn)清所求的幾何體是柱、錐,臺(tái)中的哪一類(lèi)對(duì)棱柱、棱錐和棱臺(tái)的側(cè)面積公式的內(nèi)在聯(lián)系必須明確,這樣有利于認(rèn)識(shí)這三個(gè)幾何體的本質(zhì),也有利于區(qū)分這三個(gè)幾何體,2在求解空間幾何體的表面積等問(wèn)題時(shí),常將空間幾何體的表面展開(kāi),化曲為直,將空間圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題,這是解決立體幾何問(wèn)題的常用方法研究柱、錐、臺(tái)表面積的關(guān)鍵是明確它們的平面展開(kāi)圖的形狀認(rèn)識(shí)了側(cè)面展開(kāi)圖的形狀,自己就可以得出側(cè)面積公式了對(duì)于能用公式直接求柱、錐、臺(tái)體與球的表面積的問(wèn)題,要結(jié)合它們的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與平面幾何知識(shí)來(lái)解決,3求組合體的面積或體積,首先要弄清它是由哪些基本幾何體構(gòu)成,然后將其轉(zhuǎn)化為這些簡(jiǎn)單幾何體的表面積或體積之和關(guān)于體積問(wèn)題為簡(jiǎn)單問(wèn)題;一是利用分割、拼補(bǔ)的技巧化復(fù)雜問(wèn)題為簡(jiǎn)單問(wèn)題;二是利用等積的技巧,利用體積作為中間量溝通有關(guān)元素之間的關(guān)系,從而完成計(jì)算,【知識(shí)拓展】1棱錐與平行于底面的截面的一個(gè)性質(zhì)棱錐與平行于底面的截面所構(gòu)成的小棱錐中,有如下比例性質(zhì):對(duì)應(yīng)線(xiàn)段(如高、斜高、底面邊長(zhǎng)等)的平方比,1直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的概念,側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積平面展開(kāi)圖:一些簡(jiǎn)單的多面體可以沿著多面體的某些棱將它剪開(kāi)而成平面圖形,這個(gè)平面圖形叫做該多面體的平面展開(kāi)圖,展開(kāi)圖的面積稱(chēng)為多面體的表面積(或全面積).,直棱柱,正棱柱,正棱錐,正棱臺(tái),ch,2.旋轉(zhuǎn)體的表面積公式(1)圓柱的側(cè)面積S(其中r為底面半徑,l為母線(xiàn)長(zhǎng))(2)圓錐的側(cè)面積S(其中r為底面半徑,l為母線(xiàn)長(zhǎng))(3)圓臺(tái)的側(cè)面積公式S(其中r,r為上、下底面半徑,l為母線(xiàn)長(zhǎng))(4)球的表面積公式S(其中R為球半徑),2rl,rl,(rr)l,4R2,3幾何體的體積公式(1)柱體的體積公式V(其中S為底面面積,h為高)(2)錐體的體積公式V(其中S為底面面積,h為高)(3)臺(tái)體的體積公式V(其中S,S為上、下底面面積,h為高)(4)球的體積公式V(其中R為球半徑),Sh,探究:對(duì)于不規(guī)則的幾何體應(yīng)如何求其體積?提示:對(duì)于求一些不規(guī)則幾何體的體積常用割補(bǔ)的方法,轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決雖說(shuō)在某些情況下,割補(bǔ)法優(yōu)于整體法,但是一般情況下,還是應(yīng)該先對(duì)問(wèn)題進(jìn)行整體思考,1(2010栟茶中學(xué)學(xué)情分析)正方體中,連接相鄰兩個(gè)面的中心的連線(xiàn)可以構(gòu)成一個(gè)美麗的幾何體若正方體的邊長(zhǎng)為1,則這個(gè)美麗的幾何體的體積為_(kāi)答案:,2圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)為6和4的矩形,則圓柱的全面積為_(kāi)答案:6(43)或8(31),3已知某球的體積大小等于其表面積大小,則此球的半徑是_解析:設(shè)球的半徑為R,則R34R2,R3.答案:3,4(2010江蘇連云港市高考模擬)在一個(gè)密封的容積為1的透明正方體容器內(nèi)裝有部分液體如果任意轉(zhuǎn)動(dòng)該正方體,液面的形狀都不可能是三角形,那么液體體積的取值范圍是_答案:,1多面體的展開(kāi)圖:(1)直棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形(2)正棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖是由一些全等的等腰三角形拼成的,底面是正多邊形(3)正棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是由一些全等的等腰梯形拼成的,底面是正多邊形,2旋轉(zhuǎn)體的展開(kāi)圖:(1)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形,矩形的長(zhǎng)是底面圓周長(zhǎng),寬是圓柱的母線(xiàn)長(zhǎng)(2)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形,扇形的半徑是圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng),弧長(zhǎng)是圓錐的底面周長(zhǎng)(3)圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是扇環(huán),扇環(huán)的上、下弧長(zhǎng)分別為圓臺(tái)的上、下底面周長(zhǎng),【例1】如圖,已知圓柱的高為80cm,底面半徑為10cm,軸截面上有P、Q兩點(diǎn),且PA=40cm,B1Q=30cm,若一只螞蟻沿著側(cè)面從P點(diǎn)爬到Q點(diǎn),問(wèn)螞蟻爬過(guò)的最短路徑是多少?思路點(diǎn)撥:把圓柱的側(cè)面展開(kāi),這樣就把求最短路徑轉(zhuǎn)化成了求展開(kāi)圖上線(xiàn)段的長(zhǎng)度,解:將圓柱側(cè)面沿母線(xiàn)AA1展開(kāi),得到右圖的矩形所以A1B1=2r=r=10(cm)作QSAA1于點(diǎn)S,在RtPQS中,PS=80-40-30=10(cm),QS=A1B1=10(cm)PQ=(cm)即螞蟻爬過(guò)的最短路徑是10cm.,變式1:如圖所示,長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=a,BC=b,BB1=c,并且abc0.求沿著長(zhǎng)方體的表面自A到C1的最短線(xiàn)路的長(zhǎng)解:將長(zhǎng)方體相鄰兩個(gè)面展開(kāi)有下列三種可能,如下圖所示,1多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面,計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算,而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和2組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理,【例2】(2009福建)如右圖,平行四邊形ABCD中,DAB=60,AB=2,AD=4.將CBD沿BD折起到EBD的位置,使平面EBD平面ABD.(1)求證:ABDE;(2)求三棱錐EABD的側(cè)面積證明:(1)在A(yíng)BD中,AB=2,AD=4,DAB=60,BD=AB2+BD2=AD2,ABBD.又平面EBD平面ABD,平面EBD平面ABD=BD,AB平面ABD,AB平面EBD.又DE平面EBD,ABDE.,(2)解:由(1)知ABBD,CDAB,CDBD,從而DEBD,在RtDBE中,DB=2,DE=DC=AB=2,SBDE=DBDE=2.又AB平面EBD,BE平面EBD,ABBE.BE=BC=AD=4,SABE=ABBE=4,DEBD,平面EBD平面ABD,ED平面ABD,而AD平面ABD,EDAD,SADE=ADDE=4綜上,三棱錐EABD的側(cè)面積S=8+2.,如右圖,斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)均為a,且A1AC=A1AB=60.(1)求證:四邊形BCC1B1為矩形;(2)求三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)面積和體積,變式2:,解:(1)證明:證法一:連結(jié)A1B、A1C,取BC的中點(diǎn)D,連結(jié)AD、A1D,由AB=AC=AA1,如右圖,且A1AC=A1AB=60知A1ABA1AC,則A1BA1C,A1DBC,又ADBC.因此BC平面A1AD,則BCAA1,又BB1AA1,則BB1BC,因此BCC1B1是矩形,證法二:如右圖,取BC的中點(diǎn)D,作A1O平面ABC由A1ABA1AC60知,垂足OAD.ABAC,則ADBC,根據(jù)三垂線(xiàn)定理得AA1BC,又BB1AA1,BB1BC,即BCC1B1為矩形(2)如右圖,作BEAA1垂足為E,連結(jié)CE,EAB60,則E為AA1的中點(diǎn),又ABEACE,則CEAA1,又BECEABa,則S側(cè)面積(BECEBC)AA1(1)a2三棱柱的體積VSBECAA1a3.,(1)計(jì)算多面體的體積,基礎(chǔ)仍是多面體中一些主要線(xiàn)段的關(guān)系,要求概念清楚,點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系要明確,關(guān)鍵是正確地計(jì)算其底面面積和相應(yīng)的高(2)在計(jì)算多面體體積時(shí)要注意割補(bǔ)法和等積變換的應(yīng)用(3)計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的體積關(guān)鍵是計(jì)算半徑和高度,【例3】圓臺(tái)的上、下底面面積分別為4和16,中截面把圓臺(tái)分成兩部分,試求這兩部分的體積之比思路點(diǎn)撥:中截面把圓臺(tái)分成兩個(gè)圓臺(tái),分別求出兩個(gè)圓臺(tái)的體積即可得出比值,解:設(shè)這兩部分的體積分別為V1,V2,圓臺(tái)的高為2h,上、下底面的面積之比為,上、下底面的半徑之比為,截得圓臺(tái)的大圓錐的高為4h,設(shè)截得圓臺(tái)的大圓錐被圓臺(tái)上底面截下的小圓錐的體積為V,則,V1V.,變式3:如圖所示,三棱臺(tái)ABCA1B1C1中,ABA1B1=12,則三棱錐A1ABC,BA1B1C,CA1B1C1的體積之比為.解析:設(shè)棱臺(tái)的高為h,SABC=S,則SA1B1C1=4S.答案:124,【規(guī)律方法總結(jié)】1應(yīng)注意各個(gè)公式的推導(dǎo)過(guò)程,不要死記硬背公式本身,要熟悉柱體中的矩形、錐體中的直角三角形、臺(tái)體中的直角梯形等特征圖形在公式推導(dǎo)中的作用2如果不是正棱柱、正棱錐、正棱臺(tái),在求其側(cè)面積或全面積時(shí),應(yīng)對(duì)每一個(gè)側(cè)面的面積分別求解后再相加,3圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形,兩邊為底面周長(zhǎng)和母線(xiàn);圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形,弧長(zhǎng)為底面周長(zhǎng),半徑為母線(xiàn)長(zhǎng);圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是扇環(huán),兩弧長(zhǎng)為兩底面周長(zhǎng),腰為母線(xiàn)長(zhǎng),4常用的幾個(gè)思想方法(1)還臺(tái)為錐的思想:這是處理臺(tái)體時(shí)常用的思想方法(2)割補(bǔ)法:求不規(guī)則圖形面積或幾何體體積時(shí)常用(3)等積變換法:充分利用三棱錐的任意一個(gè)面都可作為底面的特點(diǎn),靈活求解三棱錐的體積(4)截面法:尤其是關(guān)于旋轉(zhuǎn)體及與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的組合體問(wèn)題,常畫(huà)出軸截面進(jìn)行分析求解.,【例4】如圖所示的OAB繞x軸和y軸各旋轉(zhuǎn)一周,各自會(huì)產(chǎn)生怎樣的幾何體,分別計(jì)算其表面積.,【錯(cuò)因分析】解本題易出現(xiàn)的主要錯(cuò)誤有:(1)錯(cuò)誤判斷幾何體的形狀,如繞x軸旋轉(zhuǎn)時(shí)漏掉了線(xiàn)段OB所產(chǎn)生的圓面,這樣計(jì)算時(shí)就少了這個(gè)圓的面積;(2)用錯(cuò)旋轉(zhuǎn)體的面積計(jì)算公式,特別是圓臺(tái)的側(cè)面積公式,導(dǎo)致運(yùn)算結(jié)果錯(cuò)誤,【答題模板】解:繞x軸旋轉(zhuǎn)一周形成的空間幾何體是一個(gè)上下底面半徑分別為2,3,高為3的圓臺(tái),挖去了一個(gè)底面半徑為3,高為的3圓錐,如圖(1)所示,其表面積是圓臺(tái)的半徑為2的底面積、圓臺(tái)的側(cè)面積、圓錐的側(cè)面積之和圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)是,圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)是3,故其表面積S122(23)33(459);繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的空間幾何體是一個(gè)大圓錐挖去了一個(gè)小圓錐,,如圖(2)所示,此時(shí)大圓錐的底面半徑為3,母線(xiàn)長(zhǎng)為3,小圓錐的底面半徑為3,母線(xiàn)長(zhǎng)為,這個(gè)空間幾何體的表面積是這兩個(gè)圓錐的側(cè)面積之和,故S2333(93).,旋轉(zhuǎn)體的面積公式圓柱:S全2r22rh(r為底面半徑,h為高或母線(xiàn)長(zhǎng));圓錐:S全r2rl(r為底面半徑,l為母線(xiàn)長(zhǎng));圓臺(tái):S全(r2r2rlrl)(r為下底半徑,r為上底半徑,l為母線(xiàn)長(zhǎng));球:S球4R2(R為球的半徑)在解決面積計(jì)算問(wèn)時(shí),一要看準(zhǔn)計(jì)算的是全面積還是側(cè)面積,二要準(zhǔn)確地利用公式,防止出現(xiàn)誤用公式.,1一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上,且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為1,2,3,則此球的表面積為_(kāi)解析:由球與長(zhǎng)方體的關(guān)系可知,球的直徑為長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn),即2R,從而S球4R214.答案:14,2如圖所示,斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為a的正三角形,側(cè)棱長(zhǎng)等于b,一條側(cè)棱AA1和底面相鄰兩邊AB、AC都成45角,求這個(gè)三棱柱的側(cè)面積解:求斜棱柱的側(cè)面積一般有兩種方法:一是定義法;一是公式法,AA1和底面AB、AC成等角,且為45角,A1在底面ABC上的射影在BAC的平分線(xiàn)AG上,又ABC為正三角形,AGBC.A1A在底面ABC上的射影在A(yíng)G上,BCA1A.又A1AB1B,B1BBC,即側(cè)面B1BCC1為矩形SB1BCC1B1BBCab.又側(cè)面A1ABB1和側(cè)面A1ACC1都是平行四邊形,且全等,SA1ABB1SA1ACC1A1AABsin45ab,S側(cè)(1)ab.,- 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