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,第12章機械振動基礎(chǔ),,引言,振動是一種運動形態(tài)，是指物體在平衡位置附近作往復(fù)運動。,物理學(xué)知識的深化和擴展－物理學(xué)中研究質(zhì)點的振動；工程力學(xué)研究系統(tǒng)的振動，以及工程構(gòu)件和工程結(jié)構(gòu)的振動。,振動屬于動力學(xué)第二類問題－已知主動力求運動。,,振動問題的研究方法－與分析其他動力學(xué)問題相類似：,?選擇合適的廣義坐標(biāo)；,?分析運動；,?分析受力；,?選擇合適的動力學(xué)定理；,?建立運動微分方程；,?求解運動微分方程，利用初始條件確定積分常數(shù)。,與分析其他動力學(xué)問題不同的是：一般情形下，都選擇平衡位置作為廣義坐標(biāo)的原點。,研究振動問題所用的動力學(xué)定理：,?矢量動力學(xué)基礎(chǔ)中的－動量定理；動量矩定理；動能定理；達朗伯原理。,按激勵特性劃分：,振動問題的分類,?自由振動－沒有外部激勵，或者外部激勵除去后，系統(tǒng)自身的振動。,?參激振動－激勵源為系統(tǒng)本身含隨時間變化的參數(shù)，這種激勵所引起的振動。,?自激振動－系統(tǒng)由系統(tǒng)本身運動所誘發(fā)和控制的激勵下發(fā)生的振動。,?受迫振動－系統(tǒng)在作為時間函數(shù)的外部激勵下發(fā)生的振動，這種外部激勵不受系統(tǒng)運動的影響。,按系統(tǒng)特性或運動微分方程類型劃分：,?線性振動－系統(tǒng)的運動微分方程為線性方程的振動。,?非線性振動－系統(tǒng)的剛度呈非線性特性時，將得到非線性運動微分方程，這種系統(tǒng)的振動稱為非線性振動。,按系統(tǒng)的自由度劃分：,?單自由度振動－一個自由度系統(tǒng)的振動。,?多自由度振動－兩個或兩個以上自由度系統(tǒng)的振動。,?連續(xù)系統(tǒng)振動－連續(xù)彈性體的振動。這種系統(tǒng)具有無窮多個自由度。,,,12-1單自由度系統(tǒng)的自由振動,,1.自由振動微分方程,l0——彈簧原長；k——彈簧剛性系數(shù)；,?st——彈簧的靜變形；,取靜平衡位置為坐標(biāo)原點，x向下為正，則有：,,A——振幅；?n——固有頻率；（?n+?）——相位；?——初相位。,單自由度線性系統(tǒng)無阻尼自由振動微分方程,物理學(xué)基礎(chǔ)的擴展,這一方程，可以擴展為廣義坐標(biāo)的形式,,,設(shè)彈簧剛度系數(shù)分別為k1和k2，在W重力作用下，兩彈簧的總靜變形λs等于單個彈簧的靜變形之和，有,1.串聯(lián)情形,固有頻率,上式說明串聯(lián)彈簧的等效剛度系數(shù)為,由于彈簧是串連的，每個彈簧受的力W相等，于是,得,串聯(lián)彈簧與并聯(lián)彈簧的等效剛度,2.并聯(lián)情形,,固有頻率,上式說明并聯(lián)彈簧的等效剛度系數(shù)為,設(shè)彈簧剛度系數(shù)分別為k1和k2，在W重力作用下，靜變形為λs，有,求：（1）重物的振動規(guī)律；（2）鋼絲繩承受的最大張力。,解：鋼絲繩－重物系統(tǒng)可以簡化為彈簧－物塊系統(tǒng),彈簧的剛度為,設(shè)鋼絲繩被卡住的瞬時t＝0，這時重物的位置為初始平衡位置；以重物在鉛垂方向的位移x作為廣義坐標(biāo)，則系統(tǒng)的振動方程為,方程的解為,利用初始條件,求得,（2）鋼絲繩承受的最大張力。,取重物為研究對象,解：簡支梁中點和懸臂梁端點的靜撓度分別為,和,相當(dāng)?shù)膹椈上禂?shù)分別為,和,則固有頻率分別為,和,解：取靜平衡位置為其坐標(biāo)原點，由動量矩定理，得,在靜平衡位置處，有,,,12-2計算固有頻率的能量法,物塊的動能為,取靜平衡位置為零勢能點，有,在靜平衡位置處，有,物塊在平衡位置處，其動能最大,物塊在偏離平衡位置的極端處，其勢能最大,無阻尼自由振動系統(tǒng)是保守系統(tǒng)，系統(tǒng)的機械能守恒,,,解：設(shè)OA桿作自由振動時，其擺角?的變化規(guī)律為,系統(tǒng)的最大動能為,系統(tǒng)的最大勢能為,由機械能守恒定律有,解：設(shè)擺角?的變化規(guī)律為,系統(tǒng)的最大動能為,取平衡位置處為零勢能點，則系統(tǒng)的勢能為,由機械能守恒定律有,,,12-3單自由度系統(tǒng)有阻尼自由振動,阻尼－系統(tǒng)中存在的各種阻力：干摩擦力，潤滑表面阻力，液體或氣體等介質(zhì)的阻力、材料內(nèi)部的阻力。,物體運動沿潤滑表面的阻力與速度的關(guān)系,C－粘性阻尼系數(shù)或粘阻系數(shù),1.阻尼,2.振動微分方程,取平衡位置為坐標(biāo)原點，在建立此系統(tǒng)的振動微分方程時，可以不再計入重力的影響。,物塊的運動微分方程為,,本征方程,本征值,本征值與運動微分方程的通解的形式與阻尼比有關(guān)。,設(shè)其解為,其通解為,3.小阻尼情形,當(dāng)n1)情形,臨界阻尼(?＝1)情形,這兩種情形下，運動不再是周期型的，而是按負(fù)指數(shù)衰減,,,12-4單自由度系統(tǒng)無阻尼受迫振動,受迫振動,系統(tǒng)在外界激勵下產(chǎn)生的振動。,激勵形式,外界激勵一般為時間的函數(shù)，可以是周期函數(shù)，也可以是非周期函數(shù)。,簡諧激勵是最簡單的激勵。一般的周期性激勵可以通過傅里葉級數(shù)展開成簡諧激勵的疊加。,1.振動微分方程,振動微分方程,,微分方程的解為：,將x2代入微分方程，得,解得,2.受迫振動的振幅,幅頻特性曲線,3.共振現(xiàn)象,當(dāng)?＝?n時，激振力頻率等于系統(tǒng)的固有頻率時，振幅在理論上應(yīng)趨于無窮大，這種現(xiàn)象稱為共振。,這表明無阻尼系統(tǒng)發(fā)生共振時，振幅將隨時間無限地增大。,,,12-5單自由度系統(tǒng)有阻尼受迫振動,這一微分方程的全解等于齊次方程的全解與非齊次方程的特解之和。,有阻尼系統(tǒng)在簡諧激勵下，運動微分方程的全解,代入微分方程，解得,運動微分方程的通解為：,在簡諧激勵的作用下，有阻尼系統(tǒng)的總響應(yīng)由二部分組成：第一部分是衰減振動；第二部分是受迫振動。,引入：,,幅頻特性與相頻特性,1、?＝0的附近區(qū)域(低頻區(qū)或彈性控制區(qū))，?→1，?＝0，響應(yīng)與激勵同相；對于不同的?值，曲線密集，阻尼影響不大。,2、?>>1的區(qū)域(高頻區(qū)或慣性控制區(qū))，?→0，?→?，響應(yīng)與激勵反相；阻尼影響也不大。,幅頻特性與相頻特性,在低頻區(qū)和高頻區(qū)，當(dāng)?<>1時，B/a→1。因此，設(shè)計時應(yīng)當(dāng)使測振儀具有比較低的固有頻率，才能有比較大的?值。被測頻率愈高，測量精度也高；被測頻率低，測量精度便低。對于同一?值，阻尼較大時，B/a趨近于1。,,?單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動,?受迫振動中的能量關(guān)系,慣性力、阻尼力、彈性恢復(fù)力和激勵力在一個周期內(nèi)怎樣作功？又有怎樣的能量關(guān)系呢？,無阻尼自由振動,系統(tǒng)機械能守恒，既無能量的損耗又無外界能量的輸入，一個周期內(nèi)僅有系統(tǒng)動能和勢能的轉(zhuǎn)換。,有阻尼自由振動,阻尼不斷耗散能量，而外界又無能量補充，因此振動幅值隨時間衰減。,受迫振動,,?單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動,?受迫振動中的能量關(guān)系,根據(jù)力在dt時間內(nèi)所作之元功,dW=Fvdt,當(dāng)力和速度同相位時，每一時刻都作正功；而當(dāng)力和速度反相位時，每一時刻都作負(fù)功。,阻尼力和速度反相，因此始終作負(fù)功，在一個周期內(nèi)所作的負(fù)功為,,?單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動,?受迫振動中的能量關(guān)系,若力與速度相位相差?/2，則力在一個周期內(nèi)作功等于零。,慣性力和彈性恢復(fù)力的相位都與速度相位相差?/2，因此，慣性力與彈性恢復(fù)力在一個周期內(nèi)所作之功都作功等于零。,,?單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動,?受迫振動中的能量關(guān)系,激勵力超前位移?相位，可將其分解為與速度和位移同相位的兩部分。,對于微分方程簡諧激勵力,第二部分的相位與位移的相位相同，一個周期內(nèi)作功為零。這樣，激勵力在一個周期內(nèi)所作之功為,,?單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動,?受迫振動中的能量關(guān)系,第二部分的相位與位移的相位相同，一個周期內(nèi)作功為零。這樣，激勵力在一個周期內(nèi)所作之功為,這表明，穩(wěn)態(tài)受迫振動一個周期內(nèi)激勵力所作之功等于阻尼力耗散的能量。這就可以解釋為什么有阻尼系統(tǒng)受迫振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)有一個穩(wěn)定的振幅。,根據(jù)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值的表達式有,,,?單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動,?受迫振動中的能量關(guān)系,因為在一個周期內(nèi)激勵力所作之功與振幅成正比，而阻尼耗散的能量與振幅平方成正比，當(dāng)振動幅值還未達到穩(wěn)定值B0時，激勵力所作之功大于阻尼耗散的能量，振幅將增加。,當(dāng)振幅到達B0時，激勵力所作之功與阻尼耗散的能量相等，系統(tǒng)能夠維持等幅振動。,,?單自由度線性系統(tǒng)的受迫振動,?受迫振動中的能量關(guān)系,若由于某種干擾使振幅大于B0時，阻尼耗散的能量大于激勵力所作之功，振幅又會衰減，直至在B0處又維持穩(wěn)定的振幅。,,?結(jié)論與討論,,?按激勵不同，可將振動分為自由振動、強迫振動和自激振動等，若按系統(tǒng)特性分類，則可分為線性振動和非線性振動。,?關(guān)于振動概念,?工程力學(xué)將振動的概念從物理學(xué)中的單個質(zhì)點擴展到系統(tǒng)。系統(tǒng)可以是單自由度，也可以是多自由度，乃至無限多自由度。,?系統(tǒng)要產(chǎn)生振動必須有內(nèi)因和外因：內(nèi)因是系統(tǒng)本身既要有彈性又要有慣性，二者缺一不可。對有阻尼系統(tǒng)，僅在弱阻尼時運動才有振動形態(tài)。外因是系統(tǒng)要受到激勵。,?結(jié)論與討論,,?關(guān)于運動微分方程,?建立系統(tǒng)運動方程屬于動力學(xué)第二類問題，即：已知主動力求運動的問題。主要過程與求解動力學(xué)其它問題相似，但振動問題還要注意廣義坐標(biāo)原點的選擇，通常以靜平衡位置作為廣義坐標(biāo)原點。,?結(jié)論與討論,,?關(guān)于運動微分方程,?建立振動系統(tǒng)運動微分方程所用的動力學(xué)原理,?*拉格朗日方程－對于無阻尼的情形,?結(jié)論與討論,,?關(guān)于運動微分方程,?建立振動系統(tǒng)運動微分方程所用的動力學(xué)原理,?*拉格朗日方程－對于有阻尼的情形,?結(jié)論與討論,,?關(guān)于運動微分方程,?動量矩定理－對于有一固定軸，并且繞固定軸轉(zhuǎn)動的系統(tǒng)，特別對于扭轉(zhuǎn)振動的情形，采用動量矩定理更好。,JO－系統(tǒng)繞固定軸O的轉(zhuǎn)動慣量的代數(shù)和；,LO－所有外力對固定軸O之矩的代數(shù)和。力矩方向與廣義坐標(biāo)方向相同時為正，反之為負(fù)。,?建立振動系統(tǒng)運動微分方程所用的動力學(xué)原理,?結(jié)論與討論,,?關(guān)于運動微分方程,?機械能守恒－對于沒有能量損耗的保守系統(tǒng),?建立振動系統(tǒng)運動微分方程所用的動力學(xué)原理,?結(jié)論與討論,,?有阻尼系統(tǒng)僅在弱阻尼時才有振動形態(tài)，阻尼使自由振動頻率略有降低使振幅按指數(shù)衰減，振動過程中有能量耗散。,?單自由度線性系統(tǒng)自由振動要點,?固有頻率是系統(tǒng)的固有屬性，它僅與系統(tǒng)的等效剛度和等效質(zhì)量有關(guān)。,?無阻尼系統(tǒng)的自由振動是簡諧振動，其頻率就是固有頻率；振幅和初相位取決于初始條件；振動過程中沒有能量的補充或耗散。,?結(jié)論與討論,,?單自由度線性系統(tǒng)簡諧激勵的受迫振動要點,?激勵引起的穩(wěn)態(tài)受迫振動，即微分方程的特解。振動頻率為激勵頻率?。即使系統(tǒng)有阻尼，振幅也不會隨時間衰減。,?簡諧激勵的響應(yīng)包括三部分：,?激勵引起的自由振動，頻率也為?d，振幅與激勵有關(guān)。,這兩部分振動疊加就是運動微分方程滿足初始條件的齊次解。對有阻尼系統(tǒng)，它們的振幅隨時間衰減。,穩(wěn)態(tài)受迫振動中最重要的是共振區(qū)、彈性區(qū)和慣性區(qū)幅頻特性和相頻特性研究。,?初始條件引起的自由振動，頻率為?d，振幅與激勵無關(guān)。,?結(jié)論與討論,,?單自由度線性系統(tǒng)簡諧激勵的受迫振動要點,?穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅是穩(wěn)定的，不會因受干擾而偏離；無阻尼系統(tǒng)共振時，振幅將越來越大。這些現(xiàn)象都可以由穩(wěn)態(tài)受迫振動中的能量關(guān)系加以解釋。,?結(jié)論與討論,,?多自由度線性系統(tǒng)振動的概念,?結(jié)論與討論,,?多自由度線性系統(tǒng)振動的概念,?結(jié)論與討論,,?多自由度線性系統(tǒng)振動的概念,?結(jié)論與討論,,?多自由度線性系統(tǒng)振動的概念,?*對于多自由度系統(tǒng)，固有頻率怎樣定義？,?*多自由度系統(tǒng)的振動有什么特點？,?*多自由度系統(tǒng)的自由振動是否也是簡諧振動？,?結(jié)論與討論,,?多自由度線性系統(tǒng)振動的概念,*一般情形下，多自由度系統(tǒng)的自由振動并不是簡諧振動。但在特定條件下可以是簡諧振動，此時系統(tǒng)各質(zhì)點同步到達最大偏離位置或同步到達平衡位置。,,