西安電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模講義第三講.ppt
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數(shù)學(xué)建模講義,主講人:穆學(xué)文,西安電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)系Email:mxw1334,第三講微分方程模型,動態(tài)模型,描述對象特征隨時間(空間)的演變過程,分析對象特征的變化規(guī)律,預(yù)報(bào)對象特征的未來性態(tài),研究控制對象特征的手段,根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù),微分方程建模,根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設(shè),按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程,主要內(nèi)容,生物單種群增長模型3.1人口增長模型3.2傳染病模型生物多種群增長模型3.3正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)3.4捕食系統(tǒng)的Volterra方程,為了保持自然資料的合理開發(fā)與利用,人類必須保持并控制生態(tài)平衡,甚至必須控制人類自身的增長。本節(jié)將建立幾個簡單的單種群增長模型,以簡略分析一下這方面的問題。一般生態(tài)系統(tǒng)的分析可以通過一些簡單模型的復(fù)合來研究,大家若有興趣可以根據(jù)生態(tài)系統(tǒng)的特征自行建立相應(yīng)的模型。,美麗的大自然,種群的數(shù)量本應(yīng)取離散值,但由于種群數(shù)量一般較大,為建立微分方程模型,可將種群數(shù)量看作連續(xù)變量,甚至允許它為可微變量,由此引起的誤差將是十分微小的。,離散化為連續(xù),方便研究,3.1如何預(yù)報(bào)人口的增長-Malthus模型與Logistic模型,背景,世界人口增長概況,中國人口增長概況,研究人口變化規(guī)律,控制人口過快增長,指數(shù)增長模型馬爾薩斯提出(1798),常用的計(jì)算公式,x(t):時刻t的人口,基本假設(shè):人口(相對)增長率r是常數(shù),不考慮移民,今年人口x0,年增長率r,k年后人口,隨著時間增加,人口按指數(shù)規(guī)律無限增長,Malthus模型實(shí)際上只有在群體總數(shù)不太大時才合理,到總數(shù)增大時,生物群體的各成員之間由于有限的生存空間,有限的自然資源及食物等原因,就可能發(fā)生生存競爭等現(xiàn)象。,所以Malthus模型假設(shè)的人口凈增長率不可能始終保持常數(shù),它應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)。,指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性,與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合,適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代,可用于短期人口增長預(yù)測,不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律,不能預(yù)測較長期的人口增長過程,19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù),阻滯增長模型(Logistic模型),人口增長到一定數(shù)量后,增長率下降的原因:,資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用,且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大,假設(shè),r固有增長率(x很小時),xm人口容量(資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量),x(t)S形曲線,x增加先快后慢,阻滯增長模型(Logistic模型),參數(shù)估計(jì),用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預(yù)報(bào),必須先估計(jì)模型參數(shù)r或r,xm,利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合,例:美國人口數(shù)據(jù)(單位百萬),專家估計(jì),阻滯增長模型(Logistic模型),繼續(xù),最小二乘法,設(shè)經(jīng)實(shí)際測量已得到n組數(shù)據(jù)(xi,yi),i=1,n。將數(shù)據(jù)畫在平面直角坐標(biāo)系中,見圖。如果建模者判斷這n個點(diǎn)很象是分布在某條直線附近,令該直線方程為y=ax+b,進(jìn)而利用數(shù)據(jù)來求參數(shù)a和b。由于該直線只是數(shù)據(jù)近似滿足的關(guān)系式,故yi-(axi+b)=0一般不成立,但我們希望,最小,此式對a和b的偏導(dǎo)數(shù)均為0,解相應(yīng)方程組,求得:,用MATLAB作線性最小二乘擬合,1.作多項(xiàng)式f(x)=a1xm+amx+am+1擬合,可利用已有程序:,a=polyfit(x,y,m),1.lsqcurvefit已知數(shù)據(jù)點(diǎn):xdata=(xdata1,xdata2,xdatan),ydata=(ydata1,ydata2,ydatan),用MATLAB作非線性最小二乘擬合,Matlab的提供了兩個求非線性最小二乘擬合的函數(shù):lsqcurvefit和lsqnonlin。兩個命令都要先建立M-文件fun.m,在其中定義函數(shù)f(x),但兩者定義f(x)的方式是不同的,可參考例題.,lsqcurvefit用以求含參量x(向量)的向量值函數(shù)F(x,xdata)=(F(x,xdata1),F(xiàn)(x,xdatan)T中的參變量x(向量),使得,輸入格式為:(1)x=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata);(2)x=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,options);(3)x=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,options,grad);(4)x,options=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,);(5)x,options,funval=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,);(6)x,options,funval,Jacob=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,);,說明:x=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,options);,lsqnonlin用以求含參量x(向量)的向量值函數(shù)f(x)=(f1(x),f2(x),fn(x)T中的參量x,使得最小。其中fi(x)=f(x,xdatai,ydatai)=F(x,xdatai)-ydatai,2.lsqnonlin,已知數(shù)據(jù)點(diǎn):xdata=(xdata1,xdata2,xdatan)ydata=(ydata1,ydata2,ydatan),輸入格式為:1)x=lsqnonlin(fun,x0);2)x=lsqnonlin(fun,x0,options);3)x=lsqnonlin(fun,x0,options,grad);4)x,options=lsqnonlin(fun,x0,);5)x,options,funval=lsqnonlin(fun,x0,);,說明:x=lsqnonlin(fun,x0,options);,例用下面一組數(shù)據(jù)擬合中的參數(shù)a,b,k,該問題即解最優(yōu)化問題:,1)編寫M-文件curvefun1.mfunctionf=curvefun1(x,tdata)f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)%其中x(1)=a;x(2)=b;x(3)=k;,2)輸入命令tdata=100:100:1000cdata=1e-03*4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59;x0=0.2,0.05,0.05;x=lsqcurvefit(curvefun1,x0,tdata,cdata)f=curvefun1(x,tdata),F(x,tdata)=,x=(a,b,k),解法1.用命令lsqcurvefit,3)運(yùn)算結(jié)果為:f=0.00430.00510.00560.00590.00610.00620.00620.00630.00630.0063x=0.0063-0.00340.2542,4)結(jié)論:a=0.0063,b=-0.0034,k=0.2542,返回,模型檢驗(yàn),用模型計(jì)算2000年美國人口,與實(shí)際數(shù)據(jù)比較,實(shí)際為281.4(百萬),模型應(yīng)用預(yù)報(bào)美國2010年的人口,加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計(jì)模型參數(shù),Logistic模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用(如耐用消費(fèi)品的售量),阻滯增長模型(Logistic模型),大量實(shí)驗(yàn)資料表明用Logistic模型來描述種群的增長,效果還是相當(dāng)不錯的。例如,高斯把5只草履蟲放進(jìn)一個盛有0.5cm3營養(yǎng)液的小試管,他發(fā)現(xiàn),開始時草履蟲以每天230.9%的速率增長,此后增長速度不斷減慢,到第五天達(dá)到最大量375個,實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與r=2.309,a=0.006157,N(0)=5的Logistic曲線:幾乎完全吻合,見圖3.6。,圖3-6,Malthus模型和Logistic模型的總結(jié),Malthus模型和Logistic模型均為對微分方程(3.7)所作的模擬近似方程。前一模型假設(shè)了種群增長率r為一常數(shù),(r被稱為該種群的內(nèi)稟增長率)。后一模型則假設(shè)環(huán)境只能供養(yǎng)一定數(shù)量的種群,從而引入了一個競爭項(xiàng)。,用模擬近似法建立微分方程來研究實(shí)際問題時必須對求得的解進(jìn)行檢驗(yàn),看其是否與實(shí)際情況相符或基本相符。相符性越好則模擬得越好,否則就得找出不相符的主要原因,對模型進(jìn)行修改。,Malthus模型與Logistic模型雖然都是為了研究種群數(shù)量的增長情況而建立的,但它們也可用來研究其他實(shí)際問題,只要這些實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型有相同的微分方程即可,下面我們來看兩個較為有趣的實(shí)例。,年齡分布對于人口預(yù)測的重要性,只考慮自然出生與死亡,不計(jì)遷移,人口發(fā)展方程,人口發(fā)展方程,一階偏微分方程,例2:傳染病模型,問題,描述傳染病的傳播過程,分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律,預(yù)報(bào)傳染病高潮到來的時刻,預(yù)防傳染病蔓延的手段,按照傳播過程的一般規(guī)律,用機(jī)理分析方法建立模型,已感染人數(shù)(病人)i(t),每個病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為,模型1,假設(shè),若有效接觸的是病人,則不能使病人數(shù)增加,建模,?,模型2,區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人),假設(shè),1)總?cè)藬?shù)N不變,病人和健康人的比例分別為,2)每個病人每天有效接觸人數(shù)為,且使接觸的健康人致病,建模,日接觸率,SI模型,模型2,tm傳染病高潮到來時刻,(日接觸率)tm,病人可以治愈!,?,t=tm,di/dt最大,模型3,傳染病無免疫性病人治愈成為健康人,健康人可再次被感染,增加假設(shè),SIS模型,3)病人每天治愈的比例為,日治愈率,建模,日接觸率,1/感染期,一個感染期內(nèi)每個病人的有效接觸人數(shù),稱為接觸數(shù)。,接觸數(shù)=1閾值,如果感染期內(nèi)有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù),患者就會全部治愈。,模型4,傳染病有免疫性病人治愈后即移出感染系統(tǒng),稱移出者,SIR模型,假設(shè),1)總?cè)藬?shù)N不變,病人、健康人和移出者的比例分別為,2)病人的日接觸率,日治愈率,接觸數(shù)=/,建模,需建立的兩個方程,模型4,SIR模型,模型4,SIR模型,相軌線的定義域,在D內(nèi)作相軌線的圖形,進(jìn)行分析,SIR模型,相軌線及其分析,s(t)單調(diào)減相軌線的方向,P1:s01/i(t)先升后降至0,P2:s00,存在一個0,只要|x(0)-x0|0且x2(t)0,相應(yīng)的相軌線應(yīng)保持在第一象限中。,求(3.31)的相軌線,將兩方程相除消去時間t,得:,令,用微積分知識容易證明:,有:,與的圖形見圖3-20,易知僅當(dāng)時(3.32)才有解,當(dāng)時,軌線退化為平衡點(diǎn)。,當(dāng)時,軌線為一封閉曲線(圖3-21),即周期解。,證明具有周期解。,只需證明:存在兩點(diǎn)及,時,方程無解。,由的性質(zhì),而,使得:,。同樣根據(jù)的性質(zhì)知,當(dāng)x1時,。此時:,由的性質(zhì),使成立。,當(dāng)x1=或時,,僅當(dāng)時才能成立。,而當(dāng)x1時,由于,,故無解。,得證。,確定閉曲線的走向,在每一子區(qū)域,與不變號,據(jù)此確定軌線的走向(圖3-22),將Volterra方程中的第二個改寫成:,將其在一個周期長度為T的區(qū)間上積分,得,等式左端為零,故可得:,同理:,解釋DAncona發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象,引入捕撈能力系數(shù),(01),表示單位時間內(nèi)捕撈起來的魚占總量的百分比。故Volterra方程應(yīng)為:,平衡點(diǎn)P的位置移動到了:,由于捕撈能力系數(shù)的引入,食用魚的平均量有了增加,而食肉魚的平均量卻有所下降,越大,平衡點(diǎn)的移動也越大。,食用魚的數(shù)量反而因捕撈它而增加,真的是這樣?!,P-P模型導(dǎo)出的結(jié)果雖非絕對直理,但在一定程度上是附合客觀實(shí)際的,有著廣泛的應(yīng)用前景。例如,當(dāng)農(nóng)作物發(fā)生病蟲害時,不要隨隨便便地使用殺蟲劑,因?yàn)闅⑾x劑在殺死害蟲的同時也可能殺死這些害蟲的天敵,(害蟲與其天敵構(gòu)成一個雙種群捕食系統(tǒng)),這樣一來,使用殺蟲劑的結(jié)果會適得其反,害蟲更加猖獗了。,(3)捕魚對食用魚有利而對食肉魚不利,多捕魚(當(dāng)然要在一定限度內(nèi),如r1)能使食用魚的平均數(shù)量增加而使食肉魚的平均數(shù)量減少。,根據(jù)P-P模型,我們可以導(dǎo)出以下結(jié)論:,(1)食用魚的平均量取決于參數(shù)r1與1,(2)食用魚繁殖率r1的減小將導(dǎo)致食肉魚平均量的減小,食肉魚捕食能力1的增大也會使自己的平均量減??;反之,食肉魚死亡率r2的降低或食餌對食肉魚供養(yǎng)效率2的提高都將導(dǎo)致食用魚平均量的減少。,- 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