附錄A譯文
非線性不確定系統(tǒng)汽車結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計
閻浮
福特汽車公司，MD2115，SRL2122，Dearborn，MI48142，美國
KEMAL H.SAHIN
Hechshermer str.2/Geb.51,CPC系統(tǒng) GmbH,D-55131 Mainz，德國
摘要：隨著計算機(jī)應(yīng)用的不斷發(fā)展，汽車結(jié)構(gòu)設(shè)計恰當(dāng)?shù)膽?yīng)用計算機(jī)方法并給新車的開發(fā)帶來了更大的效率。大多數(shù)以虛擬為基礎(chǔ)的優(yōu)化方法的產(chǎn)生確定性最優(yōu)化沒有考慮到在模型虛擬和制造方面的多種影響。這種遺漏的主要原因是因?yàn)槠嚱Y(jié)構(gòu)設(shè)計的單一碰撞分析的計算時間即使用美國最先進(jìn)的計算機(jī)也需要大量的時間。這就需要不確定性優(yōu)化方法的發(fā)展和執(zhí)行效率。在這篇文章中，一種包含元模型優(yōu)勢技術(shù)和非線性不確定性優(yōu)化方法的綜合的隨機(jī)優(yōu)化方法被提出以用于汽車的側(cè)面碰撞設(shè)計。非線性元模型用逐步回歸方法去代替昂貴的計算模型和應(yīng)用BONUS來得到不確定性的優(yōu)化設(shè)計。汽車安全設(shè)計的基準(zhǔn)問題曾經(jīng)用來描述這種方法。這一案例研究的目的是維持和加強(qiáng)汽車側(cè)面碰撞測試實(shí)驗(yàn)，盡量減少汽車重量。
關(guān)鍵詞：元模型，非線性規(guī)劃，不確定性優(yōu)化，隨機(jī)優(yōu)化，汽車側(cè)面碰撞
1. 簡介
汽車碰撞的計算機(jī)分析對于減少新產(chǎn)品的開發(fā)時間是一個有效的工具?，F(xiàn)在非線性有限元基礎(chǔ)碰撞分析代碼普遍應(yīng)用與模擬汽車碰撞試驗(yàn)例如，前懸的影響，邊緣的影響，內(nèi)部前面影響，后懸影響。
數(shù)字優(yōu)化是有用的系統(tǒng)的工具對于自動選擇優(yōu)先設(shè)計參數(shù)。這種方法在汽車工業(yè)得到了廣泛應(yīng)用并且取得了顯著效果。然而為了保證產(chǎn)品質(zhì)量和產(chǎn)品使用性，在模型模擬，和制造上的不確定因素需要考慮。一種新的隨機(jī)優(yōu)化方法被稱作bonus由Sahin和Diwekar開發(fā)。Bonus用樣本估算目標(biāo)和約束因素通過不確定因素。這種技術(shù)在優(yōu)化過程中通過重復(fù)衡量的方法減少了過度繁瑣計算的重?fù)?dān)。然而汽車碰撞分析是密集的計算，它通過用當(dāng)前的計算機(jī)花費(fèi)幾小時到幾天的時間來控制一個虛擬。因此工程師利用許多元模型及時被用來建立代理模型（也被叫做元模型或響應(yīng)表面模型）去代替昂貴的計算模型以及時的方法去解決現(xiàn)實(shí)問題。本期刊提出了結(jié)合元模型和非線性系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計的綜合方法進(jìn)行汽車結(jié)構(gòu)設(shè)計。
車輛側(cè)面碰撞的問題，是眾所周知的自動化工業(yè)的基準(zhǔn)問題，被用來描述集成方法。這種方法被產(chǎn)業(yè)和學(xué)術(shù)研究者廣泛應(yīng)用區(qū)描述各種在元模型上的新方法，可靠性基礎(chǔ)設(shè)計優(yōu)化，隨機(jī)優(yōu)化設(shè)計和多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化。表面模型的全球反映產(chǎn)生于用逐步回歸耦合優(yōu)化超立方體樣本的設(shè)計實(shí)驗(yàn)，該實(shí)驗(yàn)被認(rèn)為是這種研究的真正模型。傳統(tǒng)的Monte Carlo方法和BONUS是用來解決不確定性的優(yōu)化問題。通過Monte Carlo方法和BONUS的大量對比試驗(yàn)出來這樣的結(jié)論，優(yōu)化過程是通用的也同樣能夠應(yīng)用在其他工程領(lǐng)域。
接下來的部分簡要的介紹了綜合BONUS算法，第三部分介紹了汽車側(cè)面碰撞問題目的在于盡量減少汽車重量以維持和加強(qiáng)汽車側(cè)面碰撞測試實(shí)驗(yàn)。第四部分提出了魯棒性基線和確定性優(yōu)化設(shè)計以及考慮到多種不確定性的隨機(jī)優(yōu)化設(shè)計的方法，即傳統(tǒng)的設(shè)計方法和BONUS算法。最后第五部分得出結(jié)論。
2. 一種綜合的BONUS算法
常用的隨機(jī)優(yōu)化方法包括兩種密集遞歸循環(huán)：（1）內(nèi)部樣本循環(huán)，和（2）外部優(yōu)化循環(huán)。內(nèi)部樣本循環(huán)普遍應(yīng)用的方法是Monte Carlo技術(shù)，這種技術(shù)是從假象輸入分布中隨機(jī)進(jìn)行樣本選擇來得到輸出分布和相關(guān)的統(tǒng)計特性，比如平均值，方差，或百分率。一種解決非線性規(guī)劃問題的外部優(yōu)化設(shè)計數(shù)字方法是序列二次規(guī)劃。隨著優(yōu)化過程和新設(shè)計變量的確定，不確定變量的改變導(dǎo)致新的輸出分布。在優(yōu)化迭代中，甚至是小的樣本數(shù)據(jù)，對模型的重復(fù)評價是顯著的瓶頸。
以有限元為基礎(chǔ)的整車結(jié)構(gòu)碰撞模擬式汽車工業(yè)用于評價汽車碰撞性能常用的設(shè)計工具。對于大多數(shù)的應(yīng)用中，為了解決問題及時的優(yōu)化和魯棒性分析用在元模型上，用不同的元模型方法以小數(shù)量的有限元模擬建立的。在衡量了一些元模型技術(shù)后，yang推薦使用第二多項(xiàng)式回歸模型和移動最小二乘回歸模型進(jìn)行汽車安全性優(yōu)化。
在優(yōu)化過程中由Sahin和Diwekar開發(fā)的BONUS算法用來有效地估計隨機(jī)目標(biāo)和約束職能。傳統(tǒng)的方法依賴于開發(fā)一個樣本循環(huán)和評估由輸入分布產(chǎn)生的每一個樣本循環(huán)。另外，BONUS算法是通過整個輸入空間對均勻分布參數(shù)運(yùn)行模型首先產(chǎn)生基本分布的所有響應(yīng)，然后在對輸出分布的概率進(jìn)行密度估計的基礎(chǔ)上用衡量的方法對輸出分布進(jìn)行估算。在Sahin和Diwekar的期刊中可以找到BONUS算法的具體闡釋。這種技術(shù)的有點(diǎn)事在每一次迭代中對新樣本模型通過性的評估是對隨機(jī)優(yōu)化的計算集中。對于優(yōu)化計算來說利用每一次設(shè)計變量在目標(biāo)和約束職能上的小的增量和計算變量的無數(shù)的梯度擾動是至關(guān)重要的。另外一個優(yōu)勢是這種算法無需額外的昂貴的模型模擬便提供了開發(fā)完全設(shè)計空間的收斂概率。
圖一顯示了用傳統(tǒng)的Monte Carlo方法和新的綜合BONUS方法進(jìn)行不確定性過程的優(yōu)化。首先，實(shí)驗(yàn)技術(shù)設(shè)計是通過輸入空間產(chǎn)生統(tǒng)一樣本，接下來用有限元模型進(jìn)行設(shè)計。第二，利用有限元模型模擬結(jié)果通過元模型技術(shù)建立元模型。第三，最優(yōu)化解決方案是通過從不同初始點(diǎn)開始的大量樣本用Monte Carlo方法得到的。同BONUS算法比較這種設(shè)計被認(rèn)為是全面的真正的全面的解決方案。BONUS在最優(yōu)化設(shè)計中提出了魯棒評價，該評價開始與相同設(shè)置的不同初始點(diǎn)，一個對比得到了。最后得到了兩種算法的比較結(jié)果。
圖1. 在不確定性下利用傳統(tǒng)Monte Carlo方法和新的綜合BONUS方法優(yōu)化
3. 汽車側(cè)向碰撞設(shè)計問題
汽車的側(cè)向碰撞模型在圖2中列舉出來。系統(tǒng)模型包括一個整車有限元結(jié)構(gòu)模型，一個有限元側(cè)向碰撞模擬模型，和有限元側(cè)面碰撞變形障礙模型。系統(tǒng)模型包括85941個外殼元素和96122個節(jié)點(diǎn)。在有限元模擬側(cè)面碰撞試驗(yàn)中，障礙物有48.89千米每小時的初始速率和碰撞汽車結(jié)構(gòu)。在一個原始的SGI2000的計算機(jī)上用RADIOSS軟件進(jìn)行非線性有限元模擬需要20小時。設(shè)計的目標(biāo)是盡量減少汽車重量以維持和加強(qiáng)側(cè)面碰撞性能。
對于汽車的側(cè)面保護(hù)，汽車設(shè)計需要滿足或者超過汽車市場對側(cè)面碰撞需要和指定的規(guī)定。兩個基本的側(cè)面碰撞保護(hù)規(guī)則是美國聯(lián)邦汽車安全標(biāo)準(zhǔn)214號和美國經(jīng)濟(jì)委員會歐洲規(guī)則95號
圖2.汽車側(cè)面碰撞模型
在這項(xiàng)研究中，ECE側(cè)面碰撞試驗(yàn)被應(yīng)用。在側(cè)面碰撞的研究中的模擬響應(yīng)時主公制。ECE側(cè)面碰撞規(guī)定中指定的碰撞模擬標(biāo)準(zhǔn)包括腹路粘性標(biāo)準(zhǔn)車身轉(zhuǎn)向和公共symphysis力。模擬響應(yīng)必須滿足或超過ECE標(biāo)準(zhǔn)。其它側(cè)面碰撞設(shè)計的內(nèi)容是在中點(diǎn)時的B-Pillar速率和前門的B-Pillar速率。
對于側(cè)面碰撞，厚度設(shè)計變量的增加在某種程度上可能會加強(qiáng)模擬實(shí)驗(yàn)性能。然而，他也會增加汽車重量，緊接著會造成燃料經(jīng)濟(jì)性上的欠缺。因此，必須尋找減輕重量和增加安全性能之間的平衡。這次研究的目標(biāo)就是在減輕汽車重量的同時保證汽車模擬測試性能。表1列舉了ECE規(guī)則和基準(zhǔn)模型的設(shè)計規(guī)則。因?yàn)楸酒诳难芯糠秶顷U述綜合BONUS方法的好處所以注意那些數(shù)字變量和設(shè)計目標(biāo)是illustrative。
應(yīng)用于汽車側(cè)面碰撞試驗(yàn)的九個設(shè)計變量被汽車工程師證明了。設(shè)計變量是厚度和重要部分的material properties。所有的厚度設(shè)計變量都是連續(xù)的在一定范圍內(nèi)變化的x0是設(shè)計變量的基準(zhǔn)。這兩種材料設(shè)計變量是分離的，并且是低碳鋼或者高碳鋼。在側(cè)面碰撞模型中假設(shè)這些變量是在這9個設(shè)計變量周圍獨(dú)立的正常分布的非確定性變量。兩個輔助的不確定分離變量需要高碳鋼和低碳鋼材料的代替，兩個額外的不確定因素是障礙高度和碰撞位置，他們也符合正常分布。不確定變量的標(biāo)準(zhǔn)分布列在表2中。
在這篇期刊中Gu建立的元模型用在了這一基本問題上。元模型技術(shù)在33個優(yōu)化超立方樣本上用二次方程式后退回歸的方法解決汽車側(cè)面碰撞問題，所有的這11個響應(yīng)的元模型總結(jié)如下：
4. 隨機(jī)優(yōu)化設(shè)計
在工程設(shè)計中，確定優(yōu)化設(shè)計在降低系統(tǒng)設(shè)計費(fèi)用和提高使用性能上得到了廣泛應(yīng)用，然而在制造或工程模擬中實(shí)際上存在的不確定因此需要包括不確定性的隨機(jī)優(yōu)化設(shè)計。為了比較確定優(yōu)化設(shè)計和不確定優(yōu)化設(shè)計的表現(xiàn)，這一部分首先解決確定性優(yōu)化設(shè)計的問題，見表三。確定性優(yōu)化設(shè)計在不考慮不確定性因素的情況下通過基線設(shè)計提高了汽車側(cè)面碰撞測試性能同時減低了汽車重量。
汽車碰撞隨機(jī)優(yōu)化問題在2中得以確切的闡述：
可以注意到如果一個分布響應(yīng)符合正常分布，一個特定限制的約束與百分之九十的可靠性是相同的。還可以了解到本文提出的這種方法可以很容易的通過改變目標(biāo)變量去執(zhí)行魯棒設(shè)計以達(dá)到盡量減小響應(yīng)的差異，比如重量。
基于曲面元模型，傳統(tǒng)的方法解決了隨機(jī)優(yōu)化的問題，Monte Carlo利用魯棒評定對大量的樣本進(jìn)行了模擬。然后用開始于200個初始點(diǎn)的SQP尋找設(shè)計變量的優(yōu)化方法。表四列舉了用傳統(tǒng)方法進(jìn)行基線魯棒評定的結(jié)果和確定性及隨機(jī)優(yōu)化設(shè)計。這一結(jié)果顯示了不確定因素對基線設(shè)計和確定優(yōu)化設(shè)計的影響。另一方面，隨機(jī)優(yōu)化設(shè)計提高了汽車側(cè)面碰撞性能并減小了汽車的重量。傳統(tǒng)方法中隨機(jī)優(yōu)化設(shè)計的應(yīng)用獎拿來與BONUS算法中的優(yōu)化設(shè)計進(jìn)行比較。因?yàn)锽ONUS得主要優(yōu)勢是在反復(fù)優(yōu)化中用衡量的方法估算目標(biāo)函書和約束函數(shù)去代替模型模擬，這種方法成功的主要是對相應(yīng)的真實(shí)價值的準(zhǔn)確預(yù)測。為了證明用反復(fù)衡量的方法估算的準(zhǔn)確性，在研究中用到了同一分布的200個獨(dú)立設(shè)計設(shè)置。為提供更全面的準(zhǔn)確圖片，應(yīng)用了三種不同的方法：絕對誤差平均值、絕對誤差分離標(biāo)準(zhǔn)、絕對誤差最大值。這些方法的方程式在方程式（3）（4）（5）準(zhǔn)確的給出。
Yi代表50000次在元模型基礎(chǔ)上的Monte Carlo模擬得到的真實(shí)響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)，另一字母代表相應(yīng)的BONUS預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)。ARAE代表從真實(shí)響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)中分離出來的BONUS估算平均值。ARAE的標(biāo)準(zhǔn)值越小，BONUS估算越精確。
SRAE代表絕對誤差的延伸，對于證明ARAE的主要區(qū)別是很有用的。
即使在總體上ARAE的評定結(jié)果是精確的，在設(shè)計范圍內(nèi)一個大的MRAE暗示一個大的誤差。因此應(yīng)選擇小的MRAE值。
計算ARAE,SRAE和MRAE的過程包括四步。它們分別是：
第一步，在設(shè)計空間隨機(jī)生成200個相同分布的獨(dú)立設(shè)計。
第二步，根據(jù)它們的不確定性分布生成50000個MCS值，啟用元模型得到響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)，然后計算每個響應(yīng)的平均值和差值。
第三步，生成一定數(shù)量的HSS樣本，運(yùn)用元模型得到基本分布的響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)，并用BONUS中的衡量方法估算第一步中的200個設(shè)計中的每個響應(yīng)的平均值和差值。
第四步，計算ARAE,SRAE和MRAE。
表5代表與Monte Carlo模擬的200個獨(dú)立設(shè)計的所有響應(yīng)相比較下的BONUS估算中的ARAE,SRAE和MRAE值。通常，估算技術(shù)為真實(shí)響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)提供真實(shí)預(yù)測。ARAE的生成趨勢是隨著HSS樣本數(shù)量的增多誤差減少。然而在一些情況下，為了增加HSS樣本的數(shù)量，ARAE標(biāo)準(zhǔn)值也略有增長，但是這些并不是十分重要，事實(shí)上SRAE標(biāo)準(zhǔn)值比兩個ARAE標(biāo)準(zhǔn)值的差值要大的多。有兩個比10%大得多的ARAE響應(yīng)；它們因?yàn)檫@些約束的相互作用它們并不會產(chǎn)生負(fù)面的結(jié)果。這些至關(guān)重要的約束，像公共symphysis力量，低骨架轉(zhuǎn)向和B-Pillar速率顯示更好的精確性。令一個趨勢是隨著HSS樣本數(shù)量的增加SRAE標(biāo)準(zhǔn)值的減少，這意味著絕對誤差的擴(kuò)大在縮減。甚至在設(shè)計中BONUS估算的整車性能是好的，依然會在一些設(shè)計空間的一些范圍中存在著困難。這可以從MRAE標(biāo)準(zhǔn)中看出來。通常HSS樣本數(shù)量的增加時有幫助的，然而，這增加了計算時間，這是沒有預(yù)料到的。
根據(jù)不同大量不同的HSS樣本數(shù)據(jù)用BONUS算法得到的結(jié)果見表六。多種優(yōu)化方式會出現(xiàn)在來自200個不同起始點(diǎn)的BONUS算法，表六僅僅列舉出了最好的方法。這些結(jié)果顯示：由于估算精確性的問題，樣本數(shù)量越少比如100和150個HSS點(diǎn)，用BONUS算法的優(yōu)化設(shè)計可能不會滿足5000個MCS點(diǎn)所有的約束條件。結(jié)果顯示了用300個HSS點(diǎn)，BONUS算法能得到預(yù)想的滿足所有約束條件并且有好的目標(biāo)值的設(shè)計。當(dāng)樣本的數(shù)量繼續(xù)增加由500增大到2000，和300個HSS點(diǎn)比起來BONUS算法的優(yōu)化方式很容易的就可以滿足所有約束上的限制，但是在目標(biāo)值上有一點(diǎn)犧牲。可以看出來在考慮不確定性的情況下，BONUS算法的優(yōu)化設(shè)計比那些基線設(shè)計更加輕量化并且在汽車側(cè)面碰撞上有更好的測試性能。
5. 結(jié)論
一種新的包含有模型技術(shù)和BONUS的綜合隨機(jī)優(yōu)化方法成功的應(yīng)用在汽車側(cè)面碰撞的基本問題上。結(jié)果闡述了綜合BONUS方法能夠在優(yōu)化循環(huán)中用元模型和近似技術(shù)代替模型模擬估算可能的約束和目標(biāo)值，這就減少了計算量。結(jié)果也顯示了BONUS算法在變量不確定性的條件下盡量減小汽車重量方面是以中很有價值的工具。
此研究結(jié)論是在假想曲面元模型和FE模型有效和分布于不確定變量準(zhǔn)確地情況下得到的，。然而，模型的有效性和不確定性的系統(tǒng)分析的超出了論文的研究范圍。
致謝
我要感謝Urmila Diwekar先生在BONUS算法上的指導(dǎo)和支持。接下來，我要感謝兩位審閱者提供的寶貴意見。最后我要感謝Sandia 國家實(shí)驗(yàn)室在經(jīng)濟(jì)上對BONUS算法的援助。
參考文獻(xiàn)
Choi, K.K. and B.D. Youn. (2001). “Hybrid Analysis Method for Reliability-Based Design Optimization.”
In Proceedings of ASME Design Engineering Technical Conferences, Pittsburgh, PA, paper
DETC2001/DAC-21044, pp. 1–10.
Choi, K.K., B.D. Youn, and R.J. Yang. (2001). “Moving Least Square Method for Reliability-Based Design
Optimization.” In Proceedings of 4th World Congress of Structural and Multidisciplinary Optimization,
Dalian, China, pp. 1–6.
Du, X. and W. Chen. (2002). “Sequential Optimization and Reliability Assessment Method for Efficient
Probabilistic Design.” In Proceedings of ASME 2002 Design Automation Conference, Montreal, Canada,
paper DETC2002/DAC-34127, pp. 1–14.
Fu, Y. (2003). “A New Hybrid Stochastic Optimization Method for Vehicle Structural Design.” In Proceedings
of SAE World Congress, Detroit, MI, paper 2003-01-0881, pp. 1–10.
Fu, Y., S. Wang, U.M. Diwekar, and K.H. Sahin. (2002). “A Stochastic Optimization Application for Vehicle
Structures.” In Proceedings of ASME 2002 Design Engineering Technical Conferences, Montreal,
Canada, paper DETC2002/DAC-34075, pp. 1–10.
Gu, L. and R.J. Yang. (2002). “Large-Scale Reliability Based Optimization for Vehicle Crash Safety.” In
Proceedings of the American Statistical Association, Statistical Computing Section (CD-ROM), pp. 1–
10. Alexandria, VA: American Statistical Association.
Gu, L. and R.J. Yang. (2003). “Recent Applications on Reliability-Based Optimization of Automotive
Structures.” In Proceedings of SAE 2003 World Congress and Exhibition, Detroit MI, paper 2003-01-
0152, pp. 1–12.
Gu, L., R.J. Yang, C.H. Tho, M. Makowski, O. Faruque, and Y. Li. (2001). “Optimization and Robustness
for Crashworthiness of Side Impact.” International Journal of Vehicle Design 26(4), 348–360.
Koch, P.N., R.J. Yang, and L. Gu. (2004). “Design for Six Sigma through Robust Optimization.” in Structural
and Multidisciplinary Optimization 26, 235–248.
Kodiyalam, S., R.J. Yang, L. Gu, and C.H. Tho. (2004). “Multidisciplinary Design Optimization of a Vehicle
System in a Scalable, High Performance Computing Environment.” Structural and Multidisciplinary
Optimization 26, 256–263.
Sahin, K.H. and U.M. Diwekar. (2004). “Better Optimization of Nonlinear Uncertain Systems (BONUS):
A New Algorithm for Stochastic Programming Using Reweighting for Density Estimation.” Annals of
Operational Research 132, 47–68.
Silverman, B.W. (1998). Density Estimation for Statistics and Data Analysis. Boca Raton, FL: Chapman &
Hall.
Yang, R.J. and L. Gu. (2004). “Experience with Approximate Reliability-Based Optimization Methods.”
Structural and Multidisciplinary Optimization 26, 152–159.
Yang, R.J., L. Gu, L. Liaw, C. Gearhart, C.H. Tho, X. Liu, and B.P. Wang. (2000). “Approximations for
Safety Optimization of Large Systems.” In Proceedings of ASME Design Engineering Technical Conferences,
Baltimore, MD, paper DETC2000/DAC-14245, pp. 1–10.
Yang, R.J., L. Gu, C.H. Tho, K.K. Choi, and B.D. Youn. (2002a). “Reliability-Based Multidisciplinary
Design Optimization of a Full Vehicle System.” In Proceedings of 43rd AIAA SDM Conference, Denver,
CO, paper AIAA-2002-1758, pp. 1–9.
Yang, R.J., L. Gu, C.H. Tho, K.K. Choi, and B.D. Youn. (2002b). “Reliability-Based Multidisciplinary
Design Optimization of Vehicle Structures.” In Proceedings of IMechE Statistics and Analytical Methods
in Automotive Engineering, London, UK, pp. 1–9.
Yang, R.J., C.H. Tho, and L. Gu. (2002). “Recent Development in Multidisciplinary Design Optimization
of Vehicle Structures.” In Proceedings of 9th AIAA/ISSMO Symposium on MAO, Atlanta, GA, paper
AIAA-2002-5606, pp. 1–8.
Youn, B.D., K.K. Choi, and R.J. Yang. (2003). “Efficient Evaluation Approaches for Probabilistic Constraints
in Reliability-Based Design Optimization.” In Proceedings of 5th World Congress on Structural
and Multidisciplinary Optimization, Venice, Italy, pp. 1–10.
Youn, B.D., K.K. Choi, R.J. Yang, and L. Gu. (2004). “Reliability-Based Design Optimization for Crashworthiness
of Vehicle Side Impact.” Structural and Multidisciplinary Optimization 26, 272–283.
附錄B外文文獻(xiàn)
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