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經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)中的諧振子,學(xué)生姓名：辛**指導(dǎo)教師：陳**,1.經(jīng)典力學(xué)中的諧振子,1.1簡(jiǎn)諧振子1.2受驅(qū)諧振子1.3阻尼諧振子1.4受驅(qū)阻尼振子1.5完整數(shù)學(xué)描述1.6經(jīng)典諧振子的計(jì)算,1.1簡(jiǎn)諧振子,簡(jiǎn)諧振子不受驅(qū)動(dòng)力和摩擦力，其合力為：由牛頓第二定律，且加速度等于x對(duì)t的二次微分導(dǎo)數(shù)，得：若定義，則方程可以寫(xiě)為：其一般解為：,,,,,,,1.2受驅(qū)諧振子,一受驅(qū)諧振子滿足如下非齊次二階線性微分方程：其中A0是驅(qū)動(dòng)振幅，ω是驅(qū)動(dòng)頻率，針對(duì)的是一弦波式的驅(qū)動(dòng)機(jī)制。這樣的系統(tǒng)出現(xiàn)在交流LC（電感L-電容C）電路以及理想化的彈簧系統(tǒng)（沒(méi)有內(nèi)部力學(xué)阻力或外部的空氣阻力）。,,1.3阻尼諧振子,阻尼諧振子滿足如下二階微分方程：其中b是阻尼常數(shù)，滿足關(guān)系式。滿足此方程的一個(gè)例子為置于水中的加權(quán)彈簧，假設(shè)水所施的阻尼力與速度v呈線性比例關(guān)系。,,,1.4受驅(qū)阻尼振子,受驅(qū)阻尼振子滿足方程:其一般解為兩個(gè)解的和，一個(gè)為暫態(tài)解,與初始條件相關(guān)；另一個(gè)為穩(wěn)態(tài)解為：總結(jié)來(lái)說(shuō)，在穩(wěn)態(tài)時(shí)，振動(dòng)頻率等同于驅(qū)動(dòng)力的頻率,但振動(dòng)與驅(qū)動(dòng)力在相位上有偏移，且振幅大小與驅(qū)動(dòng)頻率相關(guān)；當(dāng)驅(qū)動(dòng)頻率與振動(dòng)系統(tǒng)偏好（共振）頻率相同時(shí)，振幅達(dá)到最大。,,,1.5完整數(shù)學(xué)描述,多數(shù)諧振子，基本上滿足以下的微分方程：其中t是時(shí)間，b是阻尼常數(shù)，是本征角頻率，而代表驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的某種事物，其振幅為，角頻率為ω，x是進(jìn)行振蕩的被測(cè)量量，可以是位置、電流或其他任何可能的物理量。角頻率與頻率f有關(guān)，關(guān)系式為：,,,,1.6經(jīng)典諧振子的計(jì)算,一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)沿ox軸運(yùn)動(dòng)，它所受到的回復(fù)力可從勢(shì)函數(shù)的微商得到。勢(shì)函數(shù)為：力的表達(dá)式為：i是沿ox軸的單位矢量。運(yùn)動(dòng)方程可以寫(xiě)成：,,,,令，上式可變?yōu)椋浩浣饩哂邢铝行问剑核硎疽粋€(gè)正弦運(yùn)動(dòng)，其振幅為，相位為，角頻率為，相應(yīng)的頻率是：只與質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m和恢復(fù)力常數(shù)k有關(guān)，而振幅和相位都與運(yùn)動(dòng)初始條件有關(guān)。振子的總能量：,,,,,,,動(dòng)能和勢(shì)能的表達(dá)式為：由上兩式可知：當(dāng)時(shí)，勢(shì)能有最小值0，而此時(shí)動(dòng)能具有最大值；而當(dāng)時(shí)，勢(shì)能具有最大值，而此時(shí)動(dòng)能值最小為0。顯然總能量在運(yùn)動(dòng)中是不變的，即,,,,,,,,進(jìn)一步，對(duì)于經(jīng)典振子：經(jīng)典振子的速度v為：利用，且已知：其中為振幅，平衡點(diǎn)為原點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，由上式知，此時(shí)經(jīng)典振子的速度v有最大值，即經(jīng)典振子在X=0處逗留時(shí)間最短，出現(xiàn)的幾率最小。,,,,,,,,,,2.量子力學(xué)中的諧振子,2.1一維諧振子2.1.1哈密頓算符與能量本征態(tài)2.1.2階梯算符方法2.1.3自然長(zhǎng)度與自然能量2.2三維諧振子2.3諧振子的相干態(tài)2.3.1降算符的本征態(tài)2.3.2相干態(tài)的性質(zhì),2.1一維諧振子,2.1.1哈密頓算符和能量本征態(tài)一維諧振子的哈密頓量為：用冪級(jí)數(shù)方法在座標(biāo)基底下解定態(tài)薛定諤方程：得到的諧振子的能級(jí)為：引入厄米多項(xiàng)式，我們最后得到諧振子對(duì)應(yīng)于能量本征值的能量本征函數(shù)為：,,,,,,2.1.2階梯算符方法首先，我們定義算符與其伴隨算符：利用可觀測(cè)量算符x、p可以被表示為階梯算符的線性組合：由x、p正則對(duì)易關(guān)系，并引進(jìn)厄米算符，證明等式：得：表示態(tài)的能量本征值為：,,,,,,,,,2.1.3自然長(zhǎng)度與自然能量量子諧振子擁有自然長(zhǎng)度與自然能量?jī)蓚€(gè)自然尺度，可以用來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題。這可以透過(guò)無(wú)量綱化來(lái)實(shí)現(xiàn)。如果我們以為單位來(lái)測(cè)量能量，以及為單位來(lái)測(cè)量距離，則薛定諤方程變成：且能量本征態(tài)與本征值變成：,,,,,,2.2三維諧振子,三位諧振子的能量本征值方程為：其中為諧振子的勢(shì)。引進(jìn)無(wú)量綱參數(shù)整理得體系的能量本征值：其基態(tài)能量：,,,,,,2.3諧振子的相干態(tài),2.3.1降算符的本征態(tài)做一維運(yùn)動(dòng)的粒子，坐標(biāo)與動(dòng)量的差方平均值滿足下列不確定關(guān)系：對(duì)于線諧振子而言，在粒子數(shù)表象中，基態(tài)下的不確定關(guān)系為：而是降算符的本征態(tài)，相應(yīng)的本征值為0，即于是，可以推測(cè)降算符的本征態(tài)為最小不確定態(tài)，即相干態(tài)。經(jīng)計(jì)算，得到的降算符的本征態(tài)為：,,,,,,,,2.3.2相干態(tài)的性質(zhì),3.經(jīng)典諧振子與量子諧振子的區(qū)別,3.1能級(jí)3.1.1能量取值點(diǎn)3.1.2零點(diǎn)能3.2波函數(shù),3.1能級(jí),3.1.1能量取值點(diǎn)由式可知經(jīng)典諧振子的能量取值是連續(xù)的；而由式可知量子諧振子的取值不是連續(xù)的，是分立的，即是量子化的，其中n為量子數(shù)。而且量子諧振子的能級(jí)是等間距的，間距是。能量取分立值是由于微觀粒子具有波粒二象性這一量子特征。,,,,3.1.2零點(diǎn)能由式可知當(dāng)時(shí)，經(jīng)典諧振子的最低動(dòng)能為零；而由式可知，量子諧振子在基態(tài)的能量不為零。即當(dāng)n=0時(shí)，,被稱(chēng)為零點(diǎn)能。它與無(wú)限勢(shì)阱總粒子的基態(tài)能量（n=1,2,3…….）不為零是很相似的，這是一種量子效應(yīng),也是由于微觀粒子具有波粒二象性。,,,,,,,3.2波函數(shù),在量子力學(xué)中波函數(shù)本身無(wú)意義，但波函數(shù)的絕對(duì)值平方與粒子在空間某點(diǎn)出現(xiàn)的幾率成正比。其相應(yīng)的幾率密度為：看出經(jīng)典與量子的兩處不同：a.容易看出其在x=0處，概率擁有最大值：；而經(jīng)典諧振子中，由于在x=0處的速度最大，所以其出現(xiàn)幾率最小。,,,,,b.當(dāng)經(jīng)典諧振子的能量為時(shí)，經(jīng)典回轉(zhuǎn)點(diǎn)，經(jīng)典振子只能處于的區(qū)域中。應(yīng)該在處，勢(shì)能，即等于總能量。在這點(diǎn)速度減慢為零，不能再繼續(xù)往外跑。而按照量子力學(xué)計(jì)算，粒子在的區(qū)域，仍有不為零的幾率。,,,,,,,致謝,