七年級數(shù)學(xué)下冊 培優(yōu)新幫手 專題22 直線、射線與線段試題 (新版)新人教版.doc
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22直線、射線與線段閱讀與思考構(gòu)成平面圖形的基本元素是點(diǎn)和線,在幾何圖形中,點(diǎn)無大小,線無寬窄,它們都是抽象思維的產(chǎn)物,點(diǎn)與線有著密切的聯(lián)系,點(diǎn)運(yùn)動成線,線與線相交的地方形成點(diǎn),一條線確定了兩個(gè)端點(diǎn),線的長短也就確定了,從這個(gè)意義上講,點(diǎn)是線的界限在線中,最簡單、最常見的就是直線、射線、線段,它們是最基本的圖形,它們的概念、性質(zhì)及畫圖是今后研究由線段所組成的比較復(fù)雜圖形(如三角形、四邊形等)的基礎(chǔ),解與直線、射線、線段相關(guān)問題常涉及如下知識與方法:1直線、射線、線段的區(qū)別與聯(lián)系2線段中點(diǎn)的概念3枚舉法、分類討論法例題與求解【例1】已知一條直線上有A,B,C三點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為P,AB10,線段BC的中點(diǎn)為Q,BC6,則線段PQ的長為(江蘇省競賽試題)解題思路:未給出圖形,注意C點(diǎn)位置有多種可能【例2】在一條直線上已知四個(gè)不同的點(diǎn)依次是A,B,C,D,那么到A,B,C,D的距離之和最小的點(diǎn)()A可以是直線AD外的某一點(diǎn)B只有點(diǎn)B或點(diǎn)CC只是線段AD的中點(diǎn)D有無窮多個(gè)(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)解題思路:直線上的四個(gè)點(diǎn)把直線分成五部分,就每一種情況畫圖表示出到A,B,C,D的距離,從直觀的圖形中作出判斷【例3】如圖,C是線段上的一點(diǎn),D是BC的中點(diǎn),已知圖中所有線段的長度之和為23,線段AC的長度與線段BC的長度都是正整數(shù),求線段AC的長(“希望杯”邀請賽試題)解題思路:解題的關(guān)鍵是將每一條線段用AC或BC來表示,依題意可列一個(gè)關(guān)于AC,BC的方程,討論此不定方程的正整數(shù)解【例4】如圖所示,點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn),點(diǎn)E為線段AB上的點(diǎn),點(diǎn)D為線段AE的中點(diǎn)(1)若線段AB,CE,0,求,(2)如圖,在(1)的條件下,求線段DE的長(3)如圖,若AB15,AD2BE,求線段CE的長圖圖(湖北省武漢市調(diào)考試題)解題思路:將幾何問題代數(shù)化,對于(3),引入未知數(shù),列方程求解【例5】(1)一條直線可以把平面分成兩個(gè)部分(或區(qū)域),如圖,兩條直線可以把平面分成幾個(gè)部分?三條直線可以把平面分成幾個(gè)部分?試畫圖說明(2)四條直線最多可以把平面分成幾個(gè)部分?試畫出示意圖,并說明這四條直線的位置關(guān)系(3)平面上有條直線,每兩條直線都恰好相交,且沒有三條直線交于一點(diǎn),處于這種位置的條直線分一個(gè)平面所成的區(qū)域最多,記為,試研究與之間的關(guān)系(山東省聊城市中考試題)解題思路:從簡單情形入手,由簡到繁,歸納發(fā)現(xiàn)規(guī)律【例6】已知線段AB,CD,線段CD在直線上運(yùn)動(A在B左側(cè),C在D左側(cè)),若與互為相反數(shù)(1)求線段AB,CD的長(2)M,N分別是線段AC,BD的中點(diǎn),若BC4,求MN(3)當(dāng)CD運(yùn)動到某一時(shí)刻時(shí),D點(diǎn)與B點(diǎn)重合,P是線段延長線上任意一點(diǎn),下列兩個(gè)結(jié)論:是定值;是定值可以證明,有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的,請你作出正確的選擇并畫圖求值(浙江省寧波市中考試題改編)解題思路:(1)與的平方互為相反數(shù),可以推出二者都為零,否則一個(gè)正數(shù)是不可能等于一個(gè)負(fù)數(shù)的,所以6,12(2)需要分類討論:如圖,當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B左側(cè)時(shí),根據(jù)“M,N分別為線段AC,BD的中點(diǎn)”,先計(jì)算出AM,DN的長度,然后計(jì)算MNADAMDN;如圖,當(dāng)點(diǎn)C位于點(diǎn)B右側(cè)時(shí),利用線段間的和差關(guān)系求得MN的長度(3)能計(jì)算出或的值是一個(gè)常數(shù)的,即為符合題意的結(jié)論能力訓(xùn)練A級1已知點(diǎn)O在直線AB上,且線段OA的長度為4cm,線段OB的長度為6cm,E,F(xiàn)分別為線段A,OB的中點(diǎn),則線段EF的長度為(黑龍江省中考試題)2如圖,線段ABBCCDDE1厘米,那么圖中所有線段的長度之和等于厘米(“希望杯”邀請賽試題)3如圖,B,C,D依次是上的三點(diǎn),已知AE8.9cm,BD3cm,則圖中以A,B,C,D,E這5個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的所有線段長度的和為cm(中學(xué)生數(shù)理化讀刊用刊知識競賽試題)4平面內(nèi)兩兩相交的8條直線,其交點(diǎn)個(gè)數(shù)最少為,最多為(“希望杯”邀請賽試題)5直線,共點(diǎn)O,直線與上述五條直線分別交于A,B,C,D,E五點(diǎn),則上述圖形中共有線段()條A4B5C10D156如圖,點(diǎn)A,B,C順次在直線上,M是線段AC的中點(diǎn),N是線段BC的中點(diǎn)若想求出MN的長度,則只需條件()AAB12BBC4CAM5DCN2(海南省競賽試題)7如圖,A,B,C,D四點(diǎn)在同一直線上,M是線段AB的中點(diǎn),N是線段DC的中點(diǎn),MN,BC則AD()ABCD8如圖,ACAB,BDAB,且AECD,則CE為AB長的()ABCD9已知線段AB6(1)取線段AB的三等分點(diǎn),這些點(diǎn)連同線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)可以組成多少條線段?求這些線段長度的和(2)再在線段AB上取兩種點(diǎn):第一種是線段AB的四等分點(diǎn);第二種是線段AB的六等分點(diǎn),這些點(diǎn)連同(1)中的三等分點(diǎn)和線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)可以組成多少條線段?求這些線段長度的和(湖北省武漢市武昌區(qū)期末調(diào)考試題)10已知AB60cm,點(diǎn)C是直線AB上不同于A,B的點(diǎn),M為AC中點(diǎn),N是BC中點(diǎn),求MN的長度11如圖,已知點(diǎn)A,B,C是數(shù)軸上三點(diǎn),點(diǎn)C對應(yīng)的數(shù)為6,BC4,AB12(1)求點(diǎn)A,B對應(yīng)的數(shù);(2)動點(diǎn)P,Q同時(shí)從A,C出發(fā),分別以每秒6個(gè)單位和3個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動M為AP的中點(diǎn),N在CQ上,且CNCQ,設(shè)運(yùn)動時(shí)間(0)求點(diǎn)M,N對應(yīng)的數(shù)(用含的式子表示)為何值時(shí),OM2BN?B級1把線段AB延長至D,使BDAB,再延長BA至C,使CAAB,則BC是CD的倍2如圖,ABBCCD234,AB的中點(diǎn)M與CD的中點(diǎn)N的距離是3厘米,則BC厘米3如圖,C是線段AB的中點(diǎn),D是線段CB上的一點(diǎn),若所有線段的長度都是正整數(shù),且線段AB的所有可能的長度數(shù)的乘積等于140,則線段AB的所有可能的長度數(shù)的和等于(“希望杯”邀請賽試題)4如圖,已知B,C是線段AD上的兩點(diǎn),M是AB的中點(diǎn),N是CD的中點(diǎn),若MN,BC,則線段AD5如圖,已知數(shù)軸上點(diǎn)A,B,C所對應(yīng)的數(shù),都不為0,且C是AB的中點(diǎn)如果0,那么原點(diǎn)O的位置在()A線段AC上B線段CA的延長線上C線段BC上D線段CB的延長線上(江蘇省競賽試題)6如圖,已知B是線段AC上的一點(diǎn),M是線段AB的中點(diǎn),N為線段AC的中點(diǎn),P為NA的中點(diǎn),Q為MA的中點(diǎn),則MNPQ等于()A1B2C3D47平面上有四個(gè)點(diǎn),經(jīng)過其中每兩個(gè)點(diǎn)畫一條直線,那么一共可以畫直線()A6條B1條或3條或6條C1條或4條D1條或4條或6條8如圖,在一條筆直的公路上有7個(gè)村莊,其中A,B,C,D,E,F(xiàn)離城市的距離分別為4,10,15,17,19,20公里,而村莊G正好是AF的中點(diǎn),現(xiàn)要在某個(gè)村莊建一個(gè)活動中心,使各村到活動中心的路程之和最短,則活動中心應(yīng)建在()AA處BC處CG處DE處城市(江蘇省競賽試題)9電子跳蚤游戲盤為ABC,AB,AC,BC,如果電子跳蚤開始時(shí)在BC邊上P0點(diǎn),BP0,第一步跳蚤跳到AC邊上P1點(diǎn),且CP1CP0;第二步跳蚤從P1跳到邊上P2點(diǎn),且AP2AP1;第三步跳蚤從P2跳到BC邊上P3點(diǎn),且BP3BP2跳蚤按上述規(guī)則跳下去,第2001次落到P2001,請計(jì)算P0與P2001之間的距離(“華杯賽”邀請賽試題)10設(shè)有甲、乙、丙三人,他們步行的速度相同,騎車的速度也相同,騎車的速度為步行速度的3倍現(xiàn)甲自A地去B地,乙、丙則從B地去A地,雙方同時(shí)出發(fā),出發(fā)時(shí),甲、乙為步行,丙騎車途中,當(dāng)甲、丙相遇時(shí),丙將車給甲騎,自己改為步行,三人仍按各自原有方向繼續(xù)前進(jìn);當(dāng)甲、乙相遇時(shí),甲將車給乙騎,自己又步行,三人仍按各自原有方向繼續(xù)前進(jìn)問:三人之中誰最先到達(dá)自己的目的地?誰最后到達(dá)自己的目的地?(“華羅庚金杯”競賽試題)11已知數(shù)軸上A,B兩點(diǎn)對應(yīng)數(shù)分別為2和4,P為數(shù)軸上一點(diǎn),對應(yīng)數(shù)為(1)若P為線段AB的三等分點(diǎn),求P點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)(2)數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P,使P點(diǎn)到A點(diǎn),B點(diǎn)距離和為10?若存在,求出值;若不存在,請說明理由(3)若點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)P(點(diǎn)P在原點(diǎn))同時(shí)向左運(yùn)動,它們的速度分別為1,2,1個(gè)(長度單位/分),則第幾分鐘時(shí),P為AB的中點(diǎn)?12條直線順次排列著1990個(gè)點(diǎn):P1,P2,P1990,已知點(diǎn)是線段的等分點(diǎn)當(dāng)中最靠近巧的那個(gè)點(diǎn)(21989),如P5是線段P4P6的5等分點(diǎn)當(dāng)中最靠近P6的那個(gè)分點(diǎn)如果線段P1P2的長度是1,線段P1989P1990的長度為求證:(浙江省競賽試題)專題22 直線、射線、線段例1 8或2例2 D例3 設(shè),則,故圖中所有線段長度之和為,即又為正整數(shù),例4 (1),(2) , (3)設(shè),則,又, 解得,即,例5 (1)如圖,兩條直線因其位置不同,可以分別把平面分成3個(gè)或4個(gè)區(qū)域;如圖, 三條直線因其位置不同,可以分輥把平面分成4個(gè),6個(gè),7個(gè)區(qū)域 (2)如圖,四條直線最多可以把平面分成11個(gè)區(qū)域,此時(shí)這四條直線位置關(guān)系是 兩兩都相交,且無三線共點(diǎn)。 (3)平面上條直線兩兩相交,且沒有三條直線交于一點(diǎn),把平面分成個(gè)區(qū)域, 平面本身就是一個(gè)區(qū)域,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),由此 可以歸納公式為4DE=4(AB+DE)+6(BC+CD)=4(AEBD)+6BD=4AE+2BD=48.9+23=41.6.4128 5D6A7D8C9(1)6條,長度和為20.(2)36條,長度和為88.10(1)當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A左側(cè)時(shí),MN=NCMC=cm.(2)當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A、B兩點(diǎn)之間時(shí),MN=NC+MC=cm.(3)當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B右側(cè)時(shí),MN=MCNC=cm.綜上所述:MN=30 cm.11(1)A、B兩點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)分別為10,2.(2)AP=6t,CQ=3t,M為AP中點(diǎn),CN=,則 點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù)為10+3t,點(diǎn)N對應(yīng)的數(shù)為6+t.OM=|10+3t|,BN=BC+CN=4+t,又OM=2BN,|10+3t|=8+2t.則10+3t=8+2t或10+3t=82t.解之得t=18秒或秒.B級1232442ab5A提示: 6B7D8B9因BP0=4a,根據(jù)題意:CP0=10a4a=6a,CP1=CP0=6a;AP1=9a6a=3a;AP2=AP1=3a;BP2=8a3a=5a,BP3=BP2=5a;CP3=10a5a=5a,CP4=CP3=5a;AP4=9a5a=4a,AP5=AP4=4a;BP5=8a4a=4a,BP6=BP5=4a.由此可見,P6點(diǎn)與P0點(diǎn)重合,又因?yàn)?001=6333+3,所以P2001點(diǎn)與P3點(diǎn)重合,P0與P2001之間的距離就是P0與P3之間的距離,積6a5a=a.10提示:如圖,設(shè)甲、丙在C點(diǎn)相遇,同時(shí)乙整好走到D點(diǎn),丙騎車的路程為整個(gè)BC,而甲騎車的路程不是整個(gè)BC(因?yàn)榧自谕局杏龅揭液蠹锤臑椴叫校员T車的路程比甲長,丙比甲先到目的地.因?yàn)榧滓也叫兴俣认嗟龋訟C=BD.設(shè)甲、乙在C、D之間的E點(diǎn)相遇,則甲騎車的路程只有CE這一段,而乙騎車的路程是AE=EC+CA,所以乙騎車路程比甲長,乙比甲先到目的地.最后,比較一下乙、丙騎車的路程:因?yàn)锳C=BD,所以丙騎車的路程BC=BD+DC=AC+DC=ADEA,從而丙比乙先到達(dá)目的地.因此,丙最先到達(dá)目的地,甲最后到達(dá)目的地.11(1)0或2.(2)當(dāng)x=4或6時(shí),PA+PB=10.(3)設(shè)t分鐘后,P為AB的中點(diǎn),A、B、P運(yùn)動t分鐘后對應(yīng)的數(shù)分別為2t,42t,t,由得t=2.12由題設(shè)可知,P2是線段P1P3的中點(diǎn),故P1P2=P2P3=1;P3是線段P2P4的3等分點(diǎn)當(dāng)中最靠近P4的那個(gè)分點(diǎn),故P3P4=P2P3=;一般地,Pk是線段PK1Pk+1的k等分點(diǎn)當(dāng)中最靠近Pk+1的那個(gè)分點(diǎn),故PkPk+1= Pk1Pk+1= Pk1Pk+ PkPk+1.于是有PkPk+1= Pk1Pk.當(dāng)k=4,5,6,1989時(shí),P4P5=,P5P6=,P6P7=,P1989P1990=,所以- 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