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第四節(jié)　圖形的相似 姓名：________　班級：________　限時：______分鐘 1．(xx邵陽)如圖所示，點E是平行四邊形ABCD的邊BC延長線上一點，連接AE，交CD于點F，連接BF.寫出圖中任意一對相似三角形：________________ ____________________________________________________. 2．(xx嘉興)如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC交l1，l2，l3于點A、B、C；直線DF交l1，l2，l3于點D、E、F，已知＝，則＝______． 3．(xx吉林)如圖是測量河寬的示意圖，AE與BC相交于點D，∠B＝∠C＝90，測得BD＝120 m，DC＝60 m，EC＝50 m，求得河寬AB＝__________m. 4．(xx南充)如圖，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延長線于點F，若AD＝1，BD＝2，BC＝4，則EF＝________． 5．(xx上海)如圖，已知正方形DEFG的頂點D、E在△ABC的邊BC上，頂點G、F分別在邊AB、AC上，如果BC＝4，△ABC的面積是6，那么這個正方形的邊長是________． 6．(xx柳州)如圖，在Rt△ABC中，∠BCA＝90，∠DCA＝30，AC＝，AD＝，則BC的長為__________． 7．(xx臨安)如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形(陰影部分)與△ABC相似的是( ) 8．(xx廣東)在△ABC中，點D、E分別是邊AB、AC的中點，則△ADE與△ABC的面積比為( ) A. B. C. D. 9．(xx河北)若△ABC的每條邊長增加各自的10%得△A′B′C′，則∠B′的度數(shù)與其對應角∠B的度數(shù)相比( ) A．增加了10% B．減少了10% C．增加了(1＋10%) D．沒有改變 10．(xx長春)《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學著作，成書于約一千五百年前，其中有首歌謠：今有竿不知其長，量得影長一丈五尺，立一標桿，長一尺五寸，影長五寸，問竿長幾何？意即：有一根竹竿不知道有多長，量出它在太陽下的影子長一丈五尺，同時立一根一尺五寸的小標桿，它的影長五寸(提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸)，則竹竿的長為( ) A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺 11．(xx荊門)如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，E、F為CD邊的兩個三等分點，連接AF、BE交于點G，則S△EFG∶S△ABG＝( ) A. 1∶3 B. 3∶1 C. 1∶9 D. 9∶1 12．(xx合肥模擬)如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，則下列結論正確的是( ) A．BD＝AD B．BC2＝ABCD C．AD2＝BDAB D．CD2＝ADBD 13．(xx哈爾濱)如圖，△ABC中，點D在BC邊上，連接AD，點G在線段AD上，GE∥BD，且交AB于點E，GF∥AC，且交CD于點F，則下列結論一定正確的是( ) A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ 14．(xx棗莊)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點E，交CB于點F.若AC＝3，AB＝5，則CE的長為( ) A. B. C. D. 15．(2019原創(chuàng))如圖，將一張直角三角形紙片BEC的斜邊放在矩形ABCD的BC邊上，恰好完全重合，BE、CE分別交AD于點F、G，BC＝6，AF∶FG∶GD＝3∶2∶1，則AB的長為( ) A．1 B. C. D．2 16．(xx江西)如圖，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分線，BD交AC于點E.求AE的長． 17．(xx杭州)如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD為BC邊上的中線，DE⊥AB于點E. (1)求證：△BDE∽△CAD； (2)若AB＝13，BC＝10，求線段DE的長． 18．如圖，已知四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，點E在對角線AC上，且滿足∠ADE＝∠BAC. (1)求證：CDAE＝DEBC； (2)以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交邊BC于點F，連結AF.求證：AF2＝CECA. 19．(xx濟寧)如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別是邊AD、BC的中點，連接DF，過點E作EH⊥DF，垂足為H，EH的延長線交DC于點G. (1)猜想DG與CF的數(shù)量關系，并證明你的結論； (2)過點H作MN∥CD，分別交AD、BC于點M、N.若正方形ABCD的邊長為10，點P是MN上一點，求△PDC周長的最小值． 1．(xx云南二模)如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點F，AC⊥AB于點A，點E在邊CD上，且滿足DFDB＝DEDC，F(xiàn)E＝FB，BD平分∠ABE，若AB＝6，CF＝9，則OE的長為______． 2．(xx萊蕪)如圖，在矩形ABCD中，∠ADC的平分線與AB交于E，點F在DE的延長線上，∠BFE＝90，連接AF、CF，CF與AB交于G.有以下結論： ①AE＝BC；②AF＝CF；③BF2＝FGFC；④EGAE＝BGAB； 其中正確的個數(shù)是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 參考答案 【基礎訓練】 1．△ADF∽△ECF或△EBA∽△ECF或△ADF∽△EBA(任意寫一對即可)　2.2　3.100　4.　5.　6.2或5 7．B　8.C　9.D　10.B　11.C　12.D　13.D　14.A　15.C 16．解：∵BD為∠ABC的平分線， ∴∠ABD＝∠CBD， 又∵AB∥CD，∴∠D＝∠ABD， ∴∠D＝∠CBD，∴BC＝CD， ∵BC＝4，∴CD＝4， ∵AB∥CD， ∴△ABE∽△CDE， ∴＝，∴＝，∴AE＝2CE， ∵AC＝AE＋CE＝6， ∴AE＝4. 17．解：(1)證明： ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C， 又∵AD為BC邊上的中線， ∴AD⊥BC， ∵DE⊥AB， ∴∠BED＝∠ADC＝90， ∴△BDE∽△CAD. (2)解： ∵BC＝10，AD為BC邊上的中線， ∴BD＝CD＝5， ∵AC＝13， ∴由勾股定理可得AD＝＝12， 由(1)△BDE∽△CAD可知：＝， 即＝，故DE＝. 18．證明：(1)∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠ACB， ∵∠ADE＝∠BAC，∴△ADE∽△CAB， ∴＝， ∴ABAE＝DEBC， ∵AB＝CD，∴CDAE＝DEBC； (2)∵AD∥BC，AB＝CD， ∴∠ADC＝∠DAB， ∵∠ADE＝∠BAC，∠ADC＝∠ADE＋∠CDE，∠DAB＝∠BAC＋∠CAD，　 ∴∠CDE＝∠CAD， 又∵∠DCE＝∠ACD， ∴△CDE∽△CAD， ∴＝， ∴CD2＝CECA， 由題意，得AB＝AF，AB＝CD， ∴AF＝CD，∴AF2＝CECA. 19．解：(1)CF＝2DG. 證明：∵四邊形ABCD是正方形， ∴AD＝BC＝CD，AD∥BC，∠ADC＝90. ∵E、F分別是邊AD、BC的中點， ∴DE＝AD，CF＝BC. ∴DE＝CF＝CD. ∵∠ADC＝90，EH⊥DF， ∴∠CDF＋∠EDF＝90，∠DEG＋∠EDF＝90. ∴∠CDF＝∠DEG. 在Rt△FCD中，tan∠CDF＝＝. 在Rt△DEG中，tan∠DEG＝＝. ∴＝.∴CF＝2DG. (2)如解圖所示．在NB上取NQ＝NC，連接DQ交MN于點P. ∵MN∥CD，CD⊥BC， ∴MN⊥BC. 又∵NQ＝NC，∴PC＝PQ. ∴PD＋PC＝PD＋PQ＝DQ. 由“兩點之間，線段最短”知，此時PD＋PC最短．　 又∵CD＝10，∴此時△PDC的周長＝PD＋PC＋CD＝DQ＋10最短． ∵MN∥CD， ∴∠MHD＝∠CDF. ∴tan∠MHD＝＝tan∠CDF＝. ∴MH＝2MD. 設MD＝t，則MH＝2t. 同理ME＝2MH＝4t. ∴DE＝5t. ∴CD＝2DE＝10t＝10. ∴t＝1. ∴CQ＝2DM＝2. 在Rt△CDQ中，由勾股定理得DQ＝＝＝2. ∴△PDC周長的最小值為2＋10. 【拔高訓練】 1．2 2．C