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,耿哲老師,,-----書山有路勤為徑，學(xué)海無涯苦作舟,幾何概型,1.正確理解幾何概型定義及與古典概率的區(qū)別。2.掌握幾何概型的概率計(jì)算公式，并能解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題。3.了解隨機(jī)數(shù)的意義,能運(yùn)用模擬方法估計(jì)或計(jì)算概率.,一、高考目標(biāo),,1.重點(diǎn)熟練掌握幾何概型的判斷及幾何概型的概率計(jì)算公式。2.難點(diǎn)幾何概型應(yīng)用中集合度量的確定及運(yùn)算。,二、重點(diǎn)、難點(diǎn),,,三、基礎(chǔ)知識(shí)的深刻理解（高考的初級(jí)層次要求）,,問題1：射箭比賽的箭靶涂有五個(gè)彩色得分環(huán)，從外向內(nèi)為白色、黑色、藍(lán)色、紅色，靶心為金色．金色靶心叫“黃心”．奧運(yùn)會(huì)的比賽靶面直徑為122cm，靶心直徑為12.2cm，運(yùn)動(dòng)員在70m外射．假設(shè)射箭都能中靶，且射中靶面內(nèi)任意一點(diǎn)都是等可能的，那么射中黃心的概率有多大？,問題情境,,三、基礎(chǔ)知識(shí)的深刻理解（高考的初級(jí)層次要求）,,能用古典概型描述該事件的概率嗎？為什么？,（1）試驗(yàn)中的基本事件是什么？,（2）每個(gè)基本事件的發(fā)生是等可能的嗎？,射中靶面上每一點(diǎn)都是一個(gè)基本事件,這一點(diǎn)可以是靶面直徑為122cm的大圓內(nèi)的任意一點(diǎn).,（3）符合古典概型的特點(diǎn)嗎？,,三、基礎(chǔ)知識(shí)的深刻理解（高考的初級(jí)層次要求）,,問題2:取一根長(zhǎng)度為3m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長(zhǎng)都不小于1m的概率有多大？,（1）試驗(yàn)中的基本事件是什么？,能用古典概型描述該事件的概率嗎？為什么？,（2）每個(gè)基本事件的發(fā)生是等可能的嗎？,（3）符合古典概型的特點(diǎn)嗎？,從每一個(gè)位置剪斷都是一個(gè)基本事件,剪斷位置可以是長(zhǎng)度為3m的繩子上的任意一點(diǎn).,,,問題3:有一杯1升的水，其中漂浮有1個(gè)微生物，用一個(gè)小杯從這杯水中取出0.1升，求小杯水中含有這個(gè)微生物的概率.,（1）試驗(yàn)中的基本事件是什么？,能用古典概型描述該事件的概率嗎？為什么？,（2）每個(gè)基本事件的發(fā)生是等可能的嗎？,（3）符合古典概型的特點(diǎn)嗎？,微生物出現(xiàn)的每一個(gè)位置都是一個(gè)基本事件,微生物出現(xiàn)位置可以是1升水中的任意一點(diǎn).,三、基礎(chǔ)知識(shí)的深刻理解（高考的初級(jí)層次要求）,,,三、基礎(chǔ)知識(shí)的深刻理解（高考的初級(jí)層次要求）,(1)一次試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(gè)；(2)每個(gè)結(jié)果的發(fā)生都具有等可能性．,上面三個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有什么共同特點(diǎn)？,對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),將每個(gè)基本事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn),該區(qū)域中每一個(gè)點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣;而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到所述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn).這里的區(qū)域可以是線段,平面圖形,立體圖形等.用這種方法處理隨機(jī)試驗(yàn),稱為幾何概型.,,,三、基礎(chǔ)知識(shí)的深刻理解（高考的初級(jí)層次要求）,將古典概型中的有限性推廣到無限性，而保留等可能性，就得到幾何概型．,古典概型的本質(zhì)特征：,1.基本事件的個(gè)數(shù)有限的。2.每一個(gè)基本事件都是等可能發(fā)生的。,幾何概型的本質(zhì)特征：,3.事件A就是所投擲的點(diǎn)落在S中的可度量圖形A中．,1.有一個(gè)可度量的幾何圖形S；,2.試驗(yàn)E看成在S中隨機(jī)地投擲一點(diǎn)；,,,如何求幾何概型的概率？,P(A)=,P(B)=,P(C)=,三、基礎(chǔ)知識(shí)的深刻理解（高考的初級(jí)層次要求）,,,三、基礎(chǔ)知識(shí)的深刻理解（高考的初級(jí)層次要求,注意：D的測(cè)度不能為0,其中“測(cè)度”的意義依D確定.當(dāng)D分別為線段,平面圖形,立體圖形時(shí),相應(yīng)的“測(cè)度”分別為長(zhǎng)度,面積,體積等.,,三、基礎(chǔ)知識(shí)的深刻理解（高考的初級(jí)層次要求),,例1：某人午覺醒來,發(fā)現(xiàn)表停了,他打開收音機(jī),想聽電臺(tái)報(bào)時(shí),求他等待的時(shí)間不多于10分鐘的概率.,解：設(shè)A={等待的時(shí)間不多于10分鐘}.事件A恰好是打開收音機(jī)的時(shí)刻位于[50,60]時(shí)間段內(nèi),因此由幾何概型的求概率的公式得答：“等待的時(shí)間不超過10分鐘”的概率為．,,三、基礎(chǔ)知識(shí)的深刻理解（高考的初級(jí)層次要求),,,例2：一海豚在水池中自由游弋，水池長(zhǎng)30m，寬20m的長(zhǎng)方形，求此刻海豚嘴尖離岸小于2m的概率．,答:海豚嘴尖離岸小于2m的概率約為0.31.,,三、基礎(chǔ)知識(shí)的深刻理解（高考的初級(jí)層次要求),,,(3)在1000mL的水中有一個(gè)草履蟲，現(xiàn)從中任取出2mL水樣放到顯微鏡下觀察，發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率.阿,0.002,(2)在1萬平方千米的海域中有40平方千米的大陸架儲(chǔ)藏著石油,如果在海域中任意點(diǎn)鉆探,鉆到油層面的概率.,0.004,(1)在區(qū)間（0，10）內(nèi)的所有實(shí)數(shù)中隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)a，則這個(gè)實(shí)數(shù)a>7的概率為.,0.3,,,,,,,三、基礎(chǔ)知識(shí)的深刻理解（高考的初級(jí)層次要求,,,,例3：取一個(gè)邊長(zhǎng)為2a的正方形及其內(nèi)切圓(如圖),隨機(jī)地向正方形內(nèi)丟一粒豆子,求豆子落入圓內(nèi)的概率.,解:記“豆子落入圓內(nèi)”為事件A,則,P(A)=,答:豆子落入圓內(nèi)的概率為,撒豆試驗(yàn)：向正方形內(nèi)撒n顆豆子，其中有m顆落在圓內(nèi)，當(dāng)n很大時(shí)，頻率接近于概率．,,,,,,例3：取一個(gè)邊長(zhǎng)為2a的正方形及其內(nèi)切圓(如圖),隨機(jī)地向正方形內(nèi)丟一粒豆子,求豆子落入圓內(nèi)的概率.,解:記“豆子落入圓內(nèi)”為事件A,則,P(A)=,答:豆子落入圓內(nèi)的概率為,撒豆試驗(yàn)：向正方形內(nèi)撒n顆豆子，其中有m顆落在圓內(nèi)，當(dāng)n很大時(shí)，頻率接近于概率．,,,三、基礎(chǔ)知識(shí)的深刻理解（高考的初級(jí)層次要求),,練習(xí)3：在正方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，求∠APB＞90的概率．,∠APB＝90？,概率為0的事件可能發(fā)生！,,,三、基礎(chǔ)知識(shí)的深刻理解（高考的初級(jí)層次要求),,,回顧小結(jié)：,1.幾何概型的特點(diǎn)：,⑶事件A就是所投擲的點(diǎn)落在S中的可度量圖形A中．,⑴有一個(gè)可度量的幾何圖形S；,⑵試驗(yàn)E看成在S中隨機(jī)地投擲一點(diǎn)；,2.古典概型與幾何概型的區(qū)別.,相同：兩者基本事件的發(fā)生都是等可能的；不同：古典概型要求基本事件有有限個(gè)，幾何概型要求基本事件有無限多個(gè).,,,三、基礎(chǔ)知識(shí)的深刻理解（高考的初級(jí)層次要求),,,回顧小結(jié)：,3.幾何概型的概率公式.,4.幾何概型問題的概率的求解.,,,三、知識(shí)的綜合應(yīng)用（高考的高層次要求),,,,例1(1)(2016全國乙卷,理4)某公司的班車在7:30,8:00,8:30發(fā)車,小明在7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車,且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的,則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是()(2)如圖,四邊形ABCD為矩形,AB=,BC=1,以A為圓心,1為半徑作四分之一個(gè)圓弧DE,在∠DAB內(nèi)任作射線AP,則射線AP與線段BC有公共點(diǎn)的概率為.思考如何確定幾何概型的概率用長(zhǎng)度或角度的比來求?,考點(diǎn)1.與長(zhǎng)度、角度有關(guān)的問題,,,三、知識(shí)的綜合應(yīng)用（高考的高層次要求),,,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)設(shè)P在[0,5]上隨機(jī)地取值,則關(guān)于x的方程x2+px+1=0有實(shí)數(shù)根的概率為(),(2)如圖所示,在直角坐標(biāo)系內(nèi),射線OT落在30角的終邊上,任作一條射線OA,則射線OA落在∠yOT內(nèi)的概率為.,,考點(diǎn)2與面積、體積有關(guān)的幾何概型例3(1)(2015南昌二模)若在圓C:x2+y2=4內(nèi)任取一點(diǎn)P(x,y),則滿足y>x的概率是.,(2)(2015濟(jì)南一模)如圖,長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,有一動(dòng)點(diǎn)在此長(zhǎng)方體內(nèi)隨機(jī)運(yùn)動(dòng),則此動(dòng)點(diǎn)在三棱錐A-A1BD內(nèi)的概率為.,三、知識(shí)的綜合應(yīng)用（高考的高層次要求),,考點(diǎn)3：幾何概型與古典概型結(jié)合例4：（1）x的取值是區(qū)間[1,4]中的整數(shù)，任取一個(gè)x的值，求“取得值大于2”的概率。,古典概型P=2/4=1/2,（2）x的取值是區(qū)間[1,4]中的實(shí)數(shù)，任取一個(gè)x的值，求“取得值大于2”的概率。,1,2,3,幾何概型P=2/3,,,4,,三、知識(shí)的綜合應(yīng)用（高考的高層次要求),,例5:（1）x和y取值都是區(qū)間[1,4]中的整數(shù)，任取一個(gè)x的值和一個(gè)y的值，求“x–y≥1”的概率。,,,1234x,1,2,3,4,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,古典概型,-1,P=3/8,例6:（2）x和y取值都是區(qū)間[1,4]中的實(shí)數(shù)，任取一個(gè)x的值和一個(gè)y的值，求“x–y≥1”的概率。,,,,,,,,,,1234x,1,2,3,4,y,幾何概型,-1,作直線x-y=1,P=2/9,,,A,B,C,D,,E,F,例7.(會(huì)面問題）甲、乙二人約定在12點(diǎn)到17點(diǎn)之間在某地會(huì)面，先到者等一個(gè)小時(shí)后即離去設(shè)二人在這段時(shí)間內(nèi)的各時(shí)刻到達(dá)是等可能的，且二人互不影響．求二人能會(huì)面的概率.,解：以X,Y分別表示甲乙二人到達(dá)的時(shí)刻，于是,即點(diǎn)M落在圖中的陰影部分．所有的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形，即有無窮多個(gè)結(jié)果．由于每人在任一時(shí)刻到達(dá)都是等可能的，所以落在正方形內(nèi)各點(diǎn)是等可能的．,考點(diǎn)4：與線性規(guī)劃的結(jié)合,,二人會(huì)面的條件是：,答：兩人會(huì)面的概率等于,考點(diǎn)4：與線性規(guī)劃的結(jié)合,,三、知識(shí)的綜合應(yīng)用（高考的高層次要求),,四、課堂總結(jié),1.轉(zhuǎn)化思想在幾何概型中的應(yīng)用:處理幾何概型與非幾何知識(shí)的綜合問題的關(guān)鍵是,通過轉(zhuǎn)化,將某一事件所包含的基本事件用“長(zhǎng)度”“角度”“面積”“體積”等表示出來.如把這兩個(gè)變量分別作為一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo),這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個(gè)區(qū)域,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為面積的度量來解決.,2.當(dāng)考察對(duì)象為點(diǎn),點(diǎn)的活動(dòng)范圍在線段上時(shí),用線段長(zhǎng)度比計(jì)算幾何概型的概率;當(dāng)考察對(duì)象為線時(shí),一般用角度比計(jì)算幾何概型的概率.,,四、課后作業(yè),2.在一張方格紙上隨機(jī)投一個(gè)直徑1的硬幣，問方格多小才能使硬幣與線相交的概率大于0.99？,3.Bertrand問題：已知半徑為1的圓的內(nèi)接等邊三角形邊長(zhǎng)是，在圓內(nèi)隨機(jī)取一條弦，求弦長(zhǎng)超過的概率.,1.在線段AD上任意取兩個(gè)點(diǎn)B、C，在B、C處折斷此線段而得三折線，求此三折線能構(gòu)成三角形的概率.,4.一個(gè)服務(wù)窗口每次只能接待一名顧客，兩名顧客將在8小時(shí)內(nèi)隨機(jī)到達(dá).顧客甲需要1小時(shí)服務(wù)時(shí)間，顧客乙需要2小時(shí).計(jì)算有人需要等待的概率.,下課了，期待再見！,