2020版高中數學 第四章 導數應用章末復習學案(含解析)北師大版選修1 -1.docx
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第四章 導數應用章末復習學習目標1.掌握利用導數判斷函數單調性的方法,會用導數求函數的極值和最值.2.會用導數解決一些簡單的實際應用問題1函數的單調性、極值與導數(1)函數的單調性與導數在某個區(qū)間(a,b)內,如果f(x)0,那么函數yf(x)在這個區(qū)間內是增加的;如果f(x)0,那么函數yf(x)在這個區(qū)間內是減少的(2)函數的極值與導數極大值:在點xa附近,滿足f(a)f(x),當x0,當xa時,f(x)0,則點a叫作函數的極大值點,f(a)叫作函數的極大值;極小值:在點xa附近,滿足f(a)f(x),當xa時,f(x)a時,f(x)0,則點a叫作函數的極小值點,f(a)叫作函數的極小值2求函數yf(x)在a,b上的最大值與最小值的步驟(1)求函數yf(x)在(a,b)內的極值(2)將函數yf(x)的各極值與端點處函數值f(a),f(b)比較,其中最大的一個為最大值,最小的一個為最小值題型一函數的單調性與導數例1已知函數f(x)(x2ax2a23a)ex(xR),其中aR.(1)當a0時,求曲線yf(x)在點(1,f(1)處的切線的斜率;(2)試求f(x)的單調區(qū)間考點利用導數研究函數的單調性題點求含參數函數的單調區(qū)間解(1)當a0時,f(x)x2ex,f(x)(x22x)ex,故f(1)3e.即曲線yf(x)在點(1,f(1)處的切線的斜率為3e,(2)f(x)x2(a2)x2a24aex.令f(x)0,解得x2a或xa2,當2aa2,即a時,f(x)0,f(x)在R上是增加的;當2a時,則當x(,2a)或x(a2,)時,f(x)0,故f(x)在(,2a),(a2,)上為增函數,當x(2a,a2)時,f(x)a2,即a0,故f(x)在(,a2),(2a,)上為增函數當x(a2,2a)時,f(x)0,f(x)在(a2,2a)上為減函數綜上所述,當a時,f(x)的增區(qū)間為(,2a),(a2,),減區(qū)間為(2a,a2)反思感悟(1)關注函數的定義域,單調區(qū)間應為定義域的子區(qū)間(2)已知函數在某個區(qū)間上的單調性時轉化要等價(3)分類討論求函數的單調區(qū)間實質是討論不等式的解集(4)求參數的范圍時常用到分離參數法跟蹤訓練1已知函數f(x)x3ax1.(1)若f(x)在R上是增加的,求a的取值范圍;(2)是否存在實數a,使f(x)在(1,1)上是減少的,若存在,求出a的取值范圍,若不存在,請說明理由考點利用函數單調性求變量題點已知函數單調性求參數解(1)求導得f(x)3x2a,因為f(x)在R上是增函數,所以f(x)0在R上恒成立即3x2a0在R上恒成立即a3x2,而3x20,所以a0.當a0時,f(x)x31在R上是增加的,符合題意所以a的取值范圍是(,0(2)假設存在實數a,使f(x)在(1,1)上是減少的,則f(x)0在(1,1)上恒成立即3x2a0在(1,1)上恒成立,即a3x2,又因為在(1,1)上,03x23,所以a3.當a3時,f(x)3x23,在(1,1)上,f(x)0,所以f(x)在(1,1)上是減少的,即a3符合題意所以存在實數a,使f(x)在(1,1)上是減少的,且a的取值范圍是3,)題型二函數的極值、最值與導數例2已知函數f(x)x2alnx.(1)若a1,求函數f(x)的極值,并指出是極大值還是極小值;(2)若a1,求函數f(x)在1,e上的最大值和最小值;(3)若a1,求證:在區(qū)間1,)上,函數f(x)的圖像在函數g(x)x3的圖像的下方考點導數的綜合應用題點導數的綜合應用(1)解由于函數f(x)的定義域為(0,),當a1時,f(x)x,令f(x)0,得x1或x1(舍去),當x(0,1)時,f(x)0,函數f(x)是增加的,所以f(x)在x1處取得極小值,且極小值為.(2)解當a1時,f(x)x2lnx,f(x)x0,則函數f(x)在1,e上為增函數,所以f(x)minf(1),f(x)maxf(e)e21.(3)證明設F(x)f(x)g(x)x2lnxx3,則F(x)x2x2,當x1時,F(x)0,故F(x)在區(qū)間1,)上是減函數,又F(1)0,所以在區(qū)間1,)上,F(x)0恒成立即f(x)g(x)恒成立因此,當a1時,在區(qū)間1,)上,函數f(x)的圖像在函數g(x)的圖像的下方反思感悟1.已知極值點求參數的值后,要代回驗證參數值是否滿足極值的定義2討論極值點的實質是討論函數的單調性,即f(x)的正負3求函數在閉區(qū)間上的最值,只需比較極值和端點處的函數值即可跟蹤訓練2已知函數f(x)exaxa(aR且a0)(1)若函數f(x)在x0處取得極值,求實數a的值,并求此時f(x)在2,1上的最大值;(2)若函數f(x)不存在零點,求實數a的取值范圍考點導數的綜合應用題點導數的結合應用解(1)函數f(x)的定義域為R,f(x)exa,f(0)e0a0,a1.f(x)ex1,在(,0)上,f(x)0,f(x)是增加的,當x0時,f(x)取得極小值,a1.f(x)在2,0上是減少的,在(0,1上是增加的,且f(2)3,f(1)e,f(2)f(1),f(x)在2,1的最大值為3.(2)f(x)exa,由于ex0.當a0時,f(x)0,f(x)是增函數,且當x1時,f(x)exa(x1)0.當x0時,取x,則f1aa0,函數f(x)存在零點,不滿足題意當a0時,令f(x)exa0,則xln(a)在(,ln(a)上,f(x)0,f(x)是增加的,當xln(a)時,f(x)取最小值函數f(x)不存在零點,等價于f(ln(a)eln(a)aln(a)a2aaln(a)0,解得e2a0,又由h0可得0r0,故V(r)在(0,5)上為增函數當r(5,5)時,V(r)0)(2)f(x)2x2(e1)(x0),當x1,2e時,f(x),f(x)隨x的變化情況如下表所示:x1,e)e(e,2ef(x)0f(x)極大值由上表得f(x)x22(e1)x2elnx2在1,2e上的最大值為f(e),且f(e)e22.即月生產量在1,2e萬件時,該公司在生產這種小型產品中所獲得的月利潤最大值為e22(萬元),此時的月生產量為e萬件導數中不等式證明問題典例已知函數f(x)xax2lnx(a0)(1)討論f(x)的單調性;(2)若f(x)有兩個極值點x1,x2,證明:f(x1)f(x2)32ln2.考點題點(1)解f(x)(x0,a0),不妨設(x)2ax2x1(x0,a0),(*)則關于x的方程2ax2x10的判別式18a.當a時,0,(x)0,故f(x)0,函數f(x)在(0,)上是減少的;當0a0,方程f(x)0有兩個不相等的正根x1,x2,不妨設x1x2,則當x(0,x1)及x(x2,)時,f(x)0,f(x)在(0,x1),(x2,)上是減少的,在(x1,x2)上是增加的(2)證明由(1)知當且僅當a時,f(x)有極小值點x1和極大值點x2,且x1,x2是方程(*)的兩個正根,則x1x2,x1x2,f(x1)f(x2)(x1x2)a(x1x2)22x1x2(lnx1lnx2)ln(2a)1lnaln21,令g(a)lnaln21,當a時,g(a)g32ln2,f(x1)f(x2)32ln2.素養(yǎng)評析(1)不等式證明中,常構造函數把不等式的證明轉化為利用導數研究函數的單調性或求最值解決(2)通過對條件和結論的分析,探索論證思路,選擇合適的論證方法給予證明,這正是邏輯推理素養(yǎng)的充分體現.1已知f(x)是定義在(0,)上的非負可導函數,且滿足xf(x)f(x)0,對任意的正數a,b,若ab,則必有()Abf(b)af(a) Bbf(a)af(b)Caf(a)bf(b) Daf(b)bf(a)考點利用導數研究函數的單調性題點比較函數值的大小答案A解析設g(x)xf(x),x(0,),則g(x)xf(x)f(x)0,g(x)在區(qū)間(0,)上是減少的或g(x)為常函數ab,g(a)g(b),即af(a)bf(b)故選A.2用長為18m的鋼條圍成一個長方體形狀的框架,要求長方體的長與寬之比為21,則該長方體的最大體積為()A2m3B3m3C4m3D5m3考點幾何類型的優(yōu)化問題題點幾何體體積的最值問題答案B解析設長方體的寬為xm,則長為2xm,高為h3x(m),故長方體的體積為V(x)2x29x26x3,從而V(x)18x18x218x(1x),令V(x)0,解得x1或x0(舍去)當0x0;當1x時,V(x)0,故在x1處V(x)取得極大值,并且這個極大值就是V(x)的最大值,從而最大體積VV(1)9126133(m3)3對于R上可導的任意函數f(x),若滿足(x1)f(x)0,則必有()Af(0)f(2)2f(1)Cf(0)f(2)2f(1)Df(0)f(2)2f(1)考點利用導數研究函數的單調性題點比較函數值的大小答案D解析若f(x)不恒為0,則當x1時,f(x)0,當xf(1),f(1)2f(1)若f(x)0恒成立,則f(2)f(0)f(1)綜合,知f(0)f(2)2f(1)4若函數yx3ax有三個單調區(qū)間,則a的取值范圍是_考點利用函數單調性求變量題點已知函數單調性求參數答案(0,)解析由題意知,y4x2a的圖像與x軸有兩個交點,16a0,a0.5已知函數f(x)lnx,其中aR,且曲線yf(x)在點(1,f(1)處的切線垂直于直線yx.(1)求a的值;(2)求函數f(x)的單調區(qū)間與極值考點函數的極值與導數的關系題點不含參數的函數求極值問題解(1)對f(x)求導得f(x),由f(x)在點(1,f(1)處的切線垂直于直線yx知,f(1)a2,解得a.(2)由(1)知f(x)lnx(x0),則f(x)(x0)令f(x)0,解得x1(舍)或x5.當x(0,5)時,f(x)0,故f(x)在(5,)內為增函數所以函數f(x)在x5時取得極小值f(5)ln5.1導數作為一種重要的工具,在研究函數中具有重要的作用,例如函數的單調性、極值與最值等問題,都可以通過導數得以解決不但如此,利用導數研究得到函數的性質后,還可以進一步研究方程、不等式等諸多代數問題,所以一定要熟練掌握利用導數來研究函數的各種方法2利用導數求解優(yōu)化問題,注意自變量中的定義域,找出函數關系式,轉化為求最值問題- 配套講稿:
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