2020版高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.2.2 雙曲線的幾何性質(zhì)學案(含解析)新人教B版選修1 -1.docx
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2.2.2雙曲線的幾何性質(zhì)學習目標1.掌握雙曲線的幾何性質(zhì),如范圍、對稱性、頂點、漸近線和離心率等.2.能用雙曲線的簡單性質(zhì)解決一些簡單問題.3.了解直線與雙曲線相交的相關問題知識點一雙曲線的性質(zhì)標準方程1(a0,b0)1(a0,b0)圖形性質(zhì)范圍xa或xaya或ya對稱性對稱軸:坐標軸;對稱中心:原點頂點坐標A1(a,0),A2(a,0)A1(0,a),A2(0,a)漸近線yxyx離心率e,e(1,),其中ca,b,c間的關系c2a2b2(ca0,cb0)特別提醒:(1)已知雙曲線方程為1(a0,b0),可知雙曲線的漸近線方程:令1為0可得0yx,這樣便于記憶(2)雙曲線與它的漸近線無限接近,但永不相交(3)與雙曲線1(a0,b0)有共同漸近線的雙曲線的方程可表示為(0)知識點二等軸雙曲線實軸和虛軸等長的雙曲線,它的漸近線方程是yx,離心率為.1雙曲線1與1(a0,b0)的形狀相同()2雙曲線1與1(a0,b0)的漸近線相同()3等軸雙曲線的漸近線互相垂直,離心率e.()4橢圓的離心率與雙曲線的離心率取值范圍相同()5雙曲線有四個頂點,分別是雙曲線與其實軸及虛軸的交點()題型一由雙曲線方程研究其幾何性質(zhì)例1求雙曲線9y24x236的頂點坐標、焦點坐標、實軸長、虛軸長、離心率、漸近線方程考點雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題點由雙曲線方程求a,b,c,漸近線解將9y24x236化為標準方程為1,即1,所以a3,b2,c.因此頂點坐標為A1(3,0),A2(3,0),焦點坐標為F1(,0),F(xiàn)2(,0),實軸長2a6,虛軸長2b4,離心率e,漸近線方程為yxx.引申探究求雙曲線nx2my2mn(m0,n0)的實半軸長、虛半軸長、焦點坐標、離心率、頂點坐標和漸近線方程解把方程nx2my2mn(m0,n0)化為標準方程為1(m0,n0),由此可知,實半軸長a,虛半軸長b,c,焦點坐標為(,0),(,0),離心率e,頂點坐標為(,0),(,0),所以漸近線方程為yx,即yx.反思感悟由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)的解題步驟(1)把雙曲線方程化為標準形式是解決此類題的關鍵(2)由標準方程確定焦點位置,確定a,b的值(3)由c2a2b2求出c的值,從而寫出雙曲線的幾何性質(zhì)跟蹤訓練1求雙曲線9y216x2144的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程考點雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題點由雙曲線方程求a,b,c,漸近線解把方程9y216x2144化為標準方程為1.由此可知,實半軸長a4,虛半軸長b3;c5,焦點坐標是(0,5),(0,5);離心率e;漸近線方程為yx.題型二由雙曲線的幾何性質(zhì)求標準方程例2求滿足下列條件的雙曲線的標準方程:(1)以直線2x3y0為漸近線,過點(1,2);(2)與雙曲線1具有相同的漸近線,且過點M(3,2);(3)過點(2,0),與雙曲線1離心率相等;(4)與橢圓1有公共焦點,離心率為.考點雙曲線性質(zhì)的應用題點由雙曲線的幾何性質(zhì)求方程解(1)方法一由題意可設所求雙曲線方程為4x29y2(0),將點(1,2)的坐標代入方程解得32.因此所求雙曲線的標準方程為1.方法二由題意可設所求雙曲線方程為1(mn0)由題意,得解得因此所求雙曲線的標準方程為1.(2)設所求雙曲線方程為(0)由點M(3,2)在雙曲線上,得,2.故所求雙曲線的標準方程為1.(3)當所求雙曲線的焦點在x軸上時,可設其方程為(0),將點(2,0)的坐標代入方程得,故所求雙曲線的標準方程為y21;當所求雙曲線的焦點在y軸上時,可設其方程為(0),將點(2,0)的坐標代入方程得0,b0)因為e,所以a2,則b2c2a25,故所求雙曲線的標準方程為1.方法二因為橢圓焦點在x軸上,所以可設雙曲線的標準方程為1(160,b0)焦點在y軸上的雙曲線的標準方程可設為1(a0,b0)與雙曲線1共焦點的雙曲線方程可設為1(0,b20),將點(5,4)代入雙曲線方程,得9,雙曲線方程為1.題型三雙曲線離心率問題例3設F1和F2為雙曲線1(a0,b0)的兩個焦點,若F1,F(xiàn)2,P(0,2b)是正三角形的三個頂點,則雙曲線的離心率等于()A.B2C.D3考點題點答案B解析設O為原點,則有|PO|2b,|OF1|c,又因為PF1F2為等邊三角形,所以|PF1|2c.而POF1F2,所以c2(2b)2(2c)2,即4b23c2,即4c24a23c2,于是c24a2,因此e24,故e2.反思感悟求雙曲線的離心率時,可以求出a與c的值,然后根據(jù)離心率的定義求得但在多數(shù)情況下,由于受到題目已知條件的限制,很難或不可能求出a和c的值,只能根據(jù)題目條件獲得關于a和c的關系式,進而求得,這時關鍵是利用圖形中的幾何關系來建立關于參數(shù)a,b,c的關系式,再結(jié)合c2a2b2,化簡為參數(shù)a,c的關系式進行求解跟蹤訓練3過雙曲線1(a0,b0)的一個焦點F引它的一條漸近線的垂線FM,垂足為M,并且交y軸于E,若M為EF的中點,則該雙曲線的離心率為()A2B.C3D.考點題點答案D題型四直線與雙曲線的位置關系例4已知雙曲線C:1(a0,b0)的焦距為4,且經(jīng)過點(3,2)(1)求雙曲線C的方程和其漸近線方程;(2)若直線l:ykx2與雙曲線C有且只有一個公共點,求所有滿足條件的k的取值考點題點解(1)由題意可知,雙曲線的焦點為(2,0)和(2,0),根據(jù)定義有2a2,a1,由以上可知,a21,c24,b23,所求雙曲線C的方程為x21.漸近線方程為yx.(2)由得(3k2)x24kx70.當3k20,即k時,此時直線與雙曲線相交于一個公共點,符合題意當3k20,即k時,由0得k,此時直線與雙曲線相切于一個公共點,符合題意綜上所述,符合題意的k的所有取值為,.引申探究本例條件不變,若直線y2xm被雙曲線C截得的弦長為2,求實數(shù)m的值解設直線y2xm與雙曲線C的交點分別為A(x1,y1),B(x2,y2),得x24mxm230,16m24(m23)0,得m1,x1x24m,x1x2m23,|AB|2,解得m,適合m1,故m.反思感悟(1)直線與雙曲線位置關系的判定方法通常把直線與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組,通過消元后化為ax2bxc0的形式,在a0的情況下考查方程的判別式當0時,直線與雙曲線有兩個不同的公共點當0時,直線與雙曲線只有一個公共點當0,b0)依題意可知c,方程可以化為1,將直線yx1代入,得(72a2)x22a2x8a2a40,設M(x1,y1),N(x2,y2),則x1x2,MN的中點的橫坐標為,解得a22,此時0,曲線的方程為1.存在性問題需驗證典例已知雙曲線2x2y22,過點B(1,1)能否作直線l,使l與所給雙曲線交于點Q1,Q2,且點B是弦Q1Q2的中點,若存在這樣的直線l,求出它的方程;若不存在,請說明理由考點直線與雙曲線的位置關系題點直線與雙曲線的其他問題解由題意知,設Q1(x1,y1),Q2(x2,y2)是雙曲線上的兩點,則x1x2,且x1x22,y1y22,由兩式相減并變形得2,若存在,則直線l為y12(x1),即y2x1,聯(lián)立得2x24x30,而80,方程無實根,即直線與雙曲線無交點,故不存在滿足條件的直線素養(yǎng)評析(1)利用“點差法”解題,其過程是無法保證直線與雙曲線相交的,因此必須對所求得直線方程的存在性進行驗證(2)確定好運算方法,形成運算程序的完備性,有利于培養(yǎng)學生一絲不茍、嚴謹求實的科學素養(yǎng).1雙曲線2x2y28的實軸長是()A2B2C4D4答案C解析雙曲線的標準方程為1,故實軸長為4.2設雙曲線1的漸近線方程為3x2y0,則a的值為()A4B3C2D1答案A解析方程表示雙曲線,a0,b0)的實軸長為2,一個焦點的坐標為(,0)(1)求雙曲線C的方程;(2)若斜率為2的直線l交雙曲線C于A,B兩點,且|AB|4,求直線l的方程考點題點解(1)實軸長為2,一個焦點的坐標為(,0),2a2,即a,c,b2c2a22,雙曲線C的方程為1.(2)設直線l的方程為y2xm,A(x1,y1),B(x2,y2),由得10x212mx3(m22)0,由24(m210)0,得|m|,又x1x2,x1x2,|AB|4,解得m,滿足|m|,直線l的方程為y2x或y2x.1通過雙曲線方程可以討論雙曲線的幾何性質(zhì),通過雙曲線的幾何性質(zhì)也可以得到雙曲線方程2漸近線是雙曲線特有的性質(zhì),兩方程聯(lián)系密切,把雙曲線的標準方程1(a0,b0)右邊的常數(shù)“1”換為“0”,就是漸近線方程反之由漸近線方程axby0變?yōu)閍2x2b2y2,再結(jié)合其他條件求得就可得雙曲線方程3直線與雙曲線的位置關系可以通過聯(lián)立直線方程與雙曲線方程得到的方程來判斷,首先看二次項系數(shù)是否為零,若不為零,再利用來判斷直線與雙曲線的位置關系.一、選擇題1下列雙曲線中,漸近線方程為y2x的是()Ax21B.y21Cx21D.y21答案A解析由雙曲線漸近線方程的求法知,雙曲線x21的漸近線方程為y2x,故選A.2雙曲線1的焦點到漸近線的距離為()A2B2C.D1答案A解析雙曲線1的一個焦點為F(4,0),其中一條漸近線方程為yx,點F(4,0)到xy0的距離為2.3已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為F(3,0),離心率等于,則雙曲線C的方程是()A.1B.1C.1D.1答案B解析依題意得,c3,e,所以a2,從而a24,b2c2a25,故選B.4直線ykx1與雙曲線1有且只有一個交點,則k的值為()AkBkCk或kDk答案C解析將直線方程代入雙曲線方程,得(94k2)x28kx400.當94k20,即k時,直線與雙曲線只有一個交點;當94k20,0時,k,此時直線與雙曲線相切,只有一個公共點5若實數(shù)k滿足0k5,則曲線1與曲線1的()A實半軸長相等B虛半軸長相等C離心率相等D焦距相等答案D解析因為0k0,mb0)的離心率互為倒數(shù),那么以a,b,m為邊長的三角形是()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D等腰三角形答案B解析雙曲線的離心率e1,橢圓的離心率e2,由e1e21,得(a2b2)(m2b2)a2m2,故a2b2m2,因此三角形為直角三角形7設F1,F(xiàn)2分別為雙曲線1(a0,b0)的左、右焦點,若雙曲線上存在一點P使得|PF1|PF2|3b,|PF1|PF2|ab,則該雙曲線的離心率為()A.B.C.D3答案B解析不妨設P為雙曲線右支上一點,|PF1|r1,|PF2|r2.根據(jù)雙曲線的定義,得r1r22a.又r1r23b,故r1,r2.又r1r2ab,所以ab,解得(負值舍去)故e,故選B.二、填空題8與雙曲線x21有共同的漸近線,且過點(2,2)的雙曲線的標準方程是_答案1解析設所求雙曲線方程為x2,將點(2,2)代入,可得3,雙曲線方程為1.9過雙曲線x21的左焦點F1作傾斜角為的弦AB,則|AB|_.考點直線與雙曲線的位置關系題點直線與雙曲線相交弦長與三角形的面積答案3解析易得雙曲線的左焦點F1(2,0),直線AB的方程為y(x2),與雙曲線方程聯(lián)立,得8x24x130.設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2,x1x2,|AB|3.10已知雙曲線1的一個焦點在圓x2y22x80上,則雙曲線的漸近線方程為_答案yx解析由已知得一個焦點坐標為(4,0),故雙曲線方程為1,雙曲線的漸近線方程為yx.11已知雙曲線C:1的開口比等軸雙曲線的開口更開闊,則實數(shù)m的取值范圍是_答案(4,)解析等軸雙曲線的離心率為,且雙曲線C的開口比等軸雙曲線更開闊,雙曲線C:1的離心率e,即2,m4.三、解答題12過雙曲線的一個焦點F2作垂直于實軸的弦PQ,點F1是另一個焦點,若PF1Q90,求雙曲線的離心率解設F1,F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點,由題意知在焦點三角形F1PF2中,|PF1|2c,|PF2|2c,又|PF1|PF2|2a,故有e1.13已知雙曲線C:1(a0,b0)的離心率為,且雙曲線C經(jīng)過點(2,)(1)求雙曲線C的方程;(2)已知直線xym0與雙曲線C交于不同的兩點A,B,且線段AB的中點在圓x2y25上,求m的值考點題點解(1)由題意有解得雙曲線C的方程是x21.(2)由消去y得x22mxm220,4m24(m22)0.設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x22m,y1y2x1x22m4m,AB的中點坐標是x0m,y02m,又(m,2m)在圓x2y25上,m2(2m)25,解得m1.14已知F是雙曲線1(a0,b0)的左焦點,點E是該雙曲線的右頂點,過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點若ABE是銳角三角形,則該雙曲線的離心率e的取值范圍是_答案(1,2)解析要使ABE是銳角三角形,只需滿足AEB為銳角又ABE是等腰三角形,其中|AE|BE|,所以只需滿足AEF45.在RtAFE中,tanAEF1,即c2ac2a20,兩邊同除以a2,得e2e20,所以1e2.又e1,所以離心率e的取值范圍是(1,2)15已知雙曲線C1:x21.(1)求與雙曲線C1有相同的焦點,且過點P(4,)的雙曲線C2的標準方程;(2)直線l:yxm分別交雙曲線C1的兩條漸近線于A,B兩點,當3時,求實數(shù)m的值考點直線與雙曲線的位置關系題點直線與雙曲線的其它問題解(1)雙曲線C1的焦點坐標為(,0),(,0),設雙曲線C2的標準方程為1(a0,b0),則解得所以雙曲線C2的標準方程為y21.(2)雙曲線C1的漸近線方程為y2x,y2x,設A(x1,2x1),B(x2,2x2),由消去y化簡得3x22mxm20,由(2m)243(m2)16m20,得m0.因為x1x2,x1x22x1(2x2)3x1x2m2,所以m23,即m.- 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- 2020版高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.2.2 雙曲線的幾何性質(zhì)學案含解析新人教B版選修1 -1 2020 高中數(shù)學 第二 圓錐曲線 方程 2.2 雙曲線 幾何 性質(zhì) 解析 新人 選修
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