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第4課時 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
1．(2018江西南昌市一模)對任意的實數(shù)k，直線y＝kx－1與圓x2＋y2－2x－2＝0的位置關(guān)系是( )
A．相離 B．相切
C．相交 D．以上都有可能
答案 C
解析 圓C：x2＋y2－2x－2＝0，配方，得(x－1)2＋y2＝3，圓心(1，0)，直線y＝kx－1恒過M(0，－1)，而(0－1)2＋(－1)2<3，即M點在圓內(nèi)，所以直線y＝kx－1與圓x2＋y2－2x－2＝0相交．
2．直線xsinθ＋ycosθ＝2＋sinθ與圓(x－1)2＋y2＝4的位置關(guān)系是( )
A．相離 B．相切
C．相交 D．以上都有可能
答案 B
解析 圓心到直線的距離d＝＝2.所以直線與圓相切．
3．兩圓C1：x2＋y2＋2x－6y－26＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的位置關(guān)系是( )
A．內(nèi)切 B．外切
C．相交 D．外離
答案 A
解析 由于圓C1的標準方程為(x＋1)2＋(y－3)2＝36，故圓心為C1(－1，3)，半徑為6；圓C2的標準方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝1，故圓心為C2(2，－1)，半徑為1.因此，兩圓的圓心距|C1C2|＝＝5＝6－1，顯然兩圓內(nèi)切．
4．(2018安徽屯溪一中月考)若曲線x2＋y2－6x＝0(y>0)與直線y＝k(x＋2)有公共點，則k的取值范圍是( )
A．[－，0) B．(0，)
C．(0，] D．[－，]
答案 C
解析 ∵x2＋y2－6x＝0(y>0)可化為(x－3)2＋y2＝9(y>0)，∴曲線表示圓心為(3，0)，半徑為3的上半圓，它與直線y＝k(x＋2)有公共點的充要條件是：圓心(3，0)到直線y＝k(x＋2)的距離d≤3，且k>0，∴≤3，且k>0，解得0
0)上的動點，過點P作圓C：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0的兩條切線，A，B是切點，C是圓心，若四邊形PACB面積的最小值為2，則k的值為( )
A．3 B．2
C. D.
答案 A
解析 圓的標準方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝1，則圓心為C(1，－2)，半徑為1.由題意知直線與圓相離，如圖所示，S四邊形PACB＝S△PAC＋S△PBC，而S△PAC＝|PA||CA|＝|PA|，S△PBC＝|PB||CB|＝|PB|，又|PA|＝|PB|＝，∴|PC|取最小值時，S△PAC＝S△PBC取最小值，此時，CP垂直于直線，四邊形PACB面積的最小值為2，S△PAC＝S△PBC＝，∴|PA|＝2，|CP|＝3，∴＝3，又k>0，∴k＝3.故選A.
12．(1)若點P(1，2)在以坐標原點為圓心的圓上，則該圓在點P處的切線方程為________．
(2)以C(1，3)為圓心，并且與直線3x－4y－6＝0相切的圓的方程為________．
答案 (1)x＋2y－5＝0 (2)(x－1)2＋(y－3)2＝9
解析 (1)由題意，得kOP＝＝2，則該圓在點P處的切線方程的斜率為－，所以所求切線方程為y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.
(2)r＝＝3，所求圓的方程為(x－1)2＋(y－3)2＝9.
13．已知直線x－y＋2＝0及直線x－y－10＝0截圓C所得的弦長均為8，則圓C的面積是________．
答案 25π
解析 因為已知的兩條直線平行且截圓C所得的弦長均為8，所以圓心到直線的距離d為兩直線距離的一半，即d＝＝3.又因為直線截圓C所得的弦長為8，所以圓的半徑r＝＝5，所以圓C的面積是25π.
14．已知點P(2，2)和圓C：x2＋y2＝1，設(shè)k1，k2分別是過點P的圓C兩條切線的斜率，則k1k2的值為________．
答案 1
解析 設(shè)過點P的切線斜率為k，方程為y－2＝k(x－2)，即kx－y－2k＋2＝0.
其與圓相切則＝1，化簡得3k2－8k＋3＝0.
所以k1k2＝1.
15．過直線x＋y－2＝0上一點P作圓x2＋y2＝1的兩條切線，若兩條切線的夾角是60，則點P的坐標是________．
答案 (，)
解析 ∵點P在直線x＋y－2＝0上，∴可設(shè)點P(x0，－x0＋2)，且其中一個切點為M.∵兩條切線的夾角為60，∴∠OPM＝30.故在Rt△OPM中，有|OP|＝2|OM|＝2.由兩點間的距離公式得，|OP|＝＝2，解得x0＝.故點P的坐標是(，)．
16．(2014大綱全國)直線l1和l2是圓x2＋y2＝2的兩條切線．若l1與l2的交點為(1，3)，則l1與l2的夾角的正切值等于________．
答案
解析 利用兩點間距離公式及直角三角形求△AOB各邊，進而利用二倍角公式求夾角的正切值．
如圖，|OA|＝＝.
∵半徑為，∴|AB|＝＝＝2.
∴tan∠OAB＝＝＝.
∴所求夾角的正切值為tan∠CAB＝＝＝.
17．(2017天津)設(shè)拋物線y2＝4x的焦點為F，準線為l.已知點C在l上，以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點A.若∠FAC＝120，則圓的方程為________．
答案 (x＋1)2＋(y－)2＝1
解析 由題意知該圓的半徑為1，設(shè)圓心坐標為C(－1，a)(a>0)，則A(0，a)，又F(1，0)，所以＝(－1，0)，＝(1，－a)，由題意得與的夾角為120，得cos120＝＝－，解得a＝，所以圓的方程為(x＋1)2＋(y－)2＝1.
18．(2018杭州學軍中學月考)已知圓C：x2＋y2＋2x＋a＝0上存在兩點關(guān)于直線l：mx＋y＋1＝0對稱．
(1)求實數(shù)m的值；
(2)若直線l與圓C交于A，B兩點，＝－3(O為坐標原點)，求圓C的方程．
答案 (1)m＝1 (2)x2＋y2＋2x－3＝0
解析 (1)圓C的方程為(x＋1)2＋y2＝1－a，圓心C(－1，0)．
∵圓C上存在兩點關(guān)于直線l：mx＋y＋1＝0對稱，
∴直線l：mx＋y＋1＝0過圓心C.
∴－m＋1＝0，解得m＝1.
(2)聯(lián)立消去y，得2x2＋4x＋a＋1＝0.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，Δ＝16－8(a＋1)>0，∴a<1.
由x1＋x2＝－2，x1x2＝，得y1y2＝(－x1－1)(－x2－1)＝－1.
∴＝x1x2＋y1y2＝a＋1－1＝a＝－3.
∴圓C的方程為x2＋y2＋2x－3＝0.
1．(2014安徽，文)若過點P(－，－1)的直線l與圓x2＋y2＝1有公共點，則直線l的傾斜角的取值范圍是( )
A．(0，] B．(0，]
C．[0，] D．[0，]
答案 D
解析 設(shè)直線l的方程為y＋1＝k(x＋)，即kx－y＋k－1＝0.
由d＝≤1，得0≤k≤.
∴0≤tanα≤，∴α∈[0，]，選D.
2．過點(3，1)作圓(x－1)2＋y2＝1的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為( )
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
答案 A
解析 如圖，圓心坐標為C(1，0)，易知A(1，1)．又kABkPC＝－1，且kPC＝＝，∴kAB＝－2.
故直線AB的方程為y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，故選A.
另解：易知PACB四點共圓，其方程為(x－1)(x－3)＋(y－0)(y－1)＝0，即x2＋y2－4x－y＋3＝0.
又已知圓為x2＋y2－2x＝0，
∴切點弦方程為2x＋y－3＝0，選A.
3．(2016山東，文)已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是( )
A．內(nèi)切 B．相交
C．外切 D．相離
答案 B
解析 圓M：x2＋y2－2ay＝0的圓心M(0，a)，半徑為a，
所以圓心M到直線x＋y＝0的距離為.
由直線x＋y＝0被圓M截得的弦長為2，知a2－＝2，
故a＝2，即M(0，2)且圓M的半徑為2.
又圓N的圓心N(1，1)，且半徑為1，
根據(jù)1<|MN|＝<3，知兩圓相交．故選B.
4．(2015課標全國Ⅱ，理)過三點A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圓交y軸于M，N兩點，則|MN|＝( )
A．2 B．8
C．4 D．10
答案 C
解析 設(shè)過A，B，C三點的圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則解得D＝－2，E＝4，F(xiàn)＝－20，所求圓的方程為x2＋y2－2x＋4y－20＝0，令x＝0，得y2＋4y－20＝0，設(shè)M(0，y1)，N(0，y2)，則y1＋y2＝－4，y1y2＝－20，所以|MN|＝|y1－y2|＝＝4，故選C.
5．已知點P的坐標(x，y)滿足過點P的直線l與圓C：x2＋y2＝14相交于A、B兩點，則|AB|的最小值是( )
A．2 B．4
C. D．2
答案 B
解析 根據(jù)約束條件畫出可行域，如圖中陰影部分所示，設(shè)點P到圓心的距離為d，則求最短弦長等價于求到圓心距離d最大的點，即圖中的P點，其坐標為(1，3)，則d＝＝，此時|AB|min＝2＝4，故選B.
6．(2018唐山一中模擬)已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動點，P為x軸上的動點，則|PM|＋|PN|的最小值為( )
A．6－2 B．5－4
C.－1 D.
答案 B
解析 ⊙C1關(guān)于x軸對稱的⊙C1′的圓心C1′(2，－3)，半徑仍為1，⊙C2的圓心為(3，4)，半徑為3，|PM|＋|PN|的最小值為⊙C1′和⊙C2的圓心距離減去兩圓的半徑，所以|PM|＋|PN|的最小值為5－4.
7．(2018衡水調(diào)研卷)在平面直角坐標系xOy中，曲線y＝x2－6x＋1與坐標軸的交點都在圓C上．
(1)求圓C的方程；
(2)若圓C與直線x－y＋a＝0交于A，B兩點，且OA⊥OB，求a的值．
答案 (1)(x－3)2＋(y－1)2＝9 (2)a＝－1
解析 (1)曲線y＝x2－6x＋1與y軸的交點為(0，1)，與x軸的交點為(3＋2，0)，(3－2，0)．
故可設(shè)圓C的圓心為(3，t)，
則有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.
則圓C的半徑為＝3.
所以圓C的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9.
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐標滿足方程組：
消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.
由已知可得，判別式Δ＝56－16a－4a2>0.
因此x1＝，x2＝，
從而x1＋x2＝4－a，x1x2＝.①
由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0，
又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，
所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.②
由①，②得a＝－1，滿足Δ>0，故a＝－1.
8．(2015課標全國Ⅰ)已知過點A(0，1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點．
(1)求k的取值范圍；
(2)若＝12，其中O為坐標原點，求|MN|.
答案 (1)(，) (2)2
解析 (1)由題設(shè)，可知直線l的方程為y＝kx＋1.
因為直線l與圓C交于兩點，所以<1.
解得
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第9章
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