2018-2019學年高中數(shù)學第三章推理與證明1.1歸納推理學案北師大版選修.docx
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1.1歸納推理學習目標1.了解歸納推理的含義.2.能用歸納方法進行簡單的推理,體會并認識歸納推理在數(shù)學發(fā)展中的作用知識點歸納推理思考(1)一個人看見一群烏鴉都是黑的,于是說“天下烏鴉一般黑”;(2)銅、鐵、鋁、金、銀等金屬都能導電,猜想:一切金屬都能導電以上屬于什么推理?答案屬于歸納推理符合歸納推理的定義特征,即由部分對象具有某些特征,推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理梳理歸納推理的定義及特征定義根據(jù)一類事物中部分事物具有某種屬性,推斷該類事物中每一個事物都有這種屬性,我們將這種推理方式稱為歸納推理特征(1)歸納推理是由部分到整體,由個別到一般的推理(2)利用歸納推理得出的結(jié)論不一定是正確的1歸納推理得到的結(jié)論可作為定理應用()2由個別到一般的推理為歸納推理()3由歸納推理得出的結(jié)論一定是正確的()類型一歸納推理在數(shù)與式中的應用例1(1)觀察下列等式:1121,(21)(22)2213,(31)(32)(33)23135,照此規(guī)律,第n個等式可為_(2)已知f(x),設f1(x)f(x),fn(x)fn1(fn1(x)(n1,且nN),則f3(x)的表達式為_,猜想fn(x)(nN)的表達式為_考點歸納推理的應用題點歸納推理在數(shù)對(組)中的應用答案(1)(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(2)f3(x)fn(x)解析(1)觀察規(guī)律可知,左邊為n項的積,最小項和最大項依次為(n1),(nn),右邊為連續(xù)奇數(shù)之積乘以2n,則第n個等式為(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(2)f(x),f1(x).又fn(x)fn1(fn1(x),f2(x)f1(f1(x),f3(x)f2(f2(x),f4(x)f3(f3(x),f5(x)f4(f4(x),根據(jù)前幾項可以猜想fn(x).引申探究在本例(2)中,若把“fn(x)fn1(fn1(x)”改為“fn(x)f(fn1(x)”,其他條件不變,試猜想fn(x) (nN)的表達式解f(x),f1(x).又fn(x)f(fn1(x),f2(x)f(f1(x),f3(x)f(f2(x),f4(x)f(f3(x).因此,可以猜想fn(x).反思與感悟已知等式或不等式進行歸納推理的方法(1)要特別注意所給幾個等式(或不等式)中項數(shù)和次數(shù)等方面的變化規(guī)律;(2)要特別注意所給幾個等式(或不等式)中結(jié)構形成的特征;(3)提煉出等式(或不等式)的綜合特點;(4)運用歸納推理得出一般結(jié)論跟蹤訓練1已知:1;11;1;12;.根據(jù)以上不等式的結(jié)構特點,歸納出一般性結(jié)論考點歸納推理的應用題點歸納推理在數(shù)對(組)中的應用解1211,3221,7231,15241,猜想不等式左邊最后一項的分母為2n1,而不等式右端依次分別為,.歸納得一般性結(jié)論:1(nN)類型二歸納推理在數(shù)列中的應用例2已知數(shù)列an中,a11,且an1(n1,2,3,),試歸納出這個數(shù)列的通項公式考點歸納推理的應用題點歸納推理在數(shù)列中的應用解當n1時,a11,當n2時,a2,當n3時,a3,當n4時,a4,歸納得數(shù)列an的通項公式為an(n1,2,3,)反思與感悟用歸納推理解決數(shù)列問題的方法在求數(shù)列的通項和前n項和公式中,經(jīng)常用到歸納推理得出結(jié)論,在得出具體結(jié)論后,要注意統(tǒng)一形式,以便尋找規(guī)律,然后歸納猜想得出結(jié)論跟蹤訓練2如圖所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”,則運用歸納推理得到第11行第2個數(shù)(從左往右數(shù))為()A.B.C.D.考點歸納推理的應用題點歸納推理在數(shù)陣(表)中的應用答案B解析由“萊布尼茲調(diào)和三角形”中數(shù)的排列規(guī)律,我們可以推斷:第10行的第一個數(shù)為,第11行的第一個數(shù)為,第11行的第2個數(shù)為.類型三歸納推理在圖形中的應用例3如圖(1)是一個水平擺放的小正方體木塊,圖(2),圖(3)是由(1)中的小正方體木塊疊放而成的按照這樣的規(guī)律擺放下去,第7個圖形中,小正方體木塊的總個數(shù)是_考點歸納推理的應用題點歸納推理在圖形中的應用答案91解析記第n個圖形中木塊的總數(shù)為an,觀察前三個圖形中的木塊數(shù)可知,a11,a21(14)156,a315(54)15915,按照題中的規(guī)律放下去,可知,第7個圖形中小木塊的總個數(shù)為1592591.反思與感悟歸納推理在圖形中的應用策略跟蹤訓練3如圖,在所給的四個選項中,能使兩組圖呈現(xiàn)一定的規(guī)律性的為()考點歸納推理的應用題點歸納推理在圖形中的應用答案A解析觀察第一組中的三個圖,可知每一個黑色方塊都從右向左循環(huán)移動,每次向左移動一格,由第二組的前兩個圖,可知整體圖形再次向左移動一格,第三個圖,左邊沒有格的情況下,應從最右邊出現(xiàn),故選A.1根據(jù)給出的數(shù)塔猜測12345697等于()192111293111123941111123495111111234596111111A1111110B1111111C1111112D1111113考點歸納推理的應用題點歸納推理在數(shù)對(組)中的應用答案B解析由數(shù)塔猜測應是各位都是1的七位數(shù),即1111111.2已知a11,a2,a3,a4,則數(shù)列an的一個通項公式an等于()A.B.C.D.考點歸納推理的應用題點歸納推理在數(shù)列中的應用答案C解析a1,a2,a3,a4,則an.3已知x1,由不等式x2;x23;x34;,可以推廣為()AxnnBxnn1Cxnn1Dxnn考點歸納推理的應用題點歸納推理在數(shù)對(組)中的應用答案B解析不等式左邊是兩項的和,第一項是x,x2,x3,右邊的數(shù)是2,3,4,利用此規(guī)律觀察所給的不等式,都是寫成xnn1的形式,從而歸納出一般性結(jié)論:xnn1,故選B.4有一串彩旗,代表藍色,代表黃色兩種彩旗排成一行:,那么在前200個彩旗中黃旗的個數(shù)為()A111B89C133D67考點歸納推理的應用題點歸納推理在圖形中的應用答案D解析觀察彩旗排列規(guī)律可知,顏色的交替成周期性變化,周期為9,每9個旗子中有3個黃旗,則200922余2,則200個旗子中黃旗的個數(shù)為223167.故選D.5按照圖1、圖2、圖3的規(guī)律,第10個圖中圓點的個數(shù)為_考點歸納推理的應用題點歸納推理在圖形中的應用答案40解析圖1中的點數(shù)為414,圖2中的點數(shù)為824,圖3中的點數(shù)為1234,所以圖10中的點數(shù)為10440.1歸納推理的四個特點(1)前提:幾個已知的特殊現(xiàn)象,歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象,該結(jié)論超越了前提所包括的范圍(2)結(jié)論:具有猜測的性質(zhì),結(jié)論是否真實,還需經(jīng)過邏輯證明和實踐檢驗,因此,歸納推理不能作為數(shù)學證明的工具(3)步驟:先搜集一定的事實資料,有了個別性的、特殊性的事實作為前提,才能進行歸納推理,因此歸納推理要在觀察和實驗的基礎上進行(4)作用:具有創(chuàng)造性的推理,通過歸納推理能夠發(fā)現(xiàn)新事實,獲得新結(jié)論,是科學發(fā)現(xiàn)的重要手段2歸納推理解決問題的思維過程實驗、觀察分析概括猜測總結(jié)一、選擇題1觀察下列等式:132332,13233362,13233343102,根據(jù)上述規(guī)律可知,132333435363等于()A192B202C212D222考點歸納推理的應用題點歸納推理在數(shù)對(組)中的應用答案C解析由題意可知,132333435363(123456)2212.2.觀察圖形規(guī)律,在其右下角的空格內(nèi)畫上合適的圖形為()A.BC.D考點歸納推理的應用題點歸納推理在圖形中的應用答案A解析觀察可發(fā)現(xiàn)規(guī)律:每行、每列中,方、圓、三角三種形狀均各出現(xiàn)一次,每行、每列有兩陰影一空白,即得結(jié)果3觀察下列式子:1,1,1,根據(jù)以上式子可以猜想:1小于()A.B.C.D.考點歸納推理的應用題點歸納推理在數(shù)對(組)中的應用答案C解析觀察可以發(fā)現(xiàn),第n(n1)個不等式左端有n1項,分子為1,分母依次為12,22,32,(n1)2;右端分母為n1,分子成等差數(shù)列,首項為3,公差為2,因此第n個不等式為1,所以當n2018時不等式為1.4觀察下列各式:7249,73343,742401,則72019的末兩位數(shù)字為()A01B43C07D49考點歸納推理的應用題點歸納推理在數(shù)對(組)中的應用答案B解析由717,7249,73343,742401,7516807,76117649,77823543,可以看出末兩位數(shù)字呈周期出現(xiàn),且周期為4,201945043.所以72019的末兩位數(shù)字為43.5用火柴棒擺“金魚”,如圖所示按照圖中所示的規(guī)律,第n個“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為()A6n2B8n2C6n2D8n2考點歸納推理的應用題點歸納推理在圖形中的應用答案C解析從可以看出,從圖開始每個圖中的火柴棒都比前一個圖中的火柴棒多6根,故火柴棒數(shù)成等差數(shù)列,第一個圖中火柴棒為8根,故可歸納出第n個“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為6n2.6觀察下列各式:ab1,a2b23,a3b34,a4b47,a5b511,則a10b10等于()A28B76C123D199考點歸納推理的應用題點歸納推理在數(shù)對(組)中的應用答案C解析利用歸納法:ab1,a2b23,a3b3314,a4b4437,a5b57411,a6b611718,a7b7181129,a8b8291847,a9b9472976,a10b107647123,規(guī)律為從第三組開始,其結(jié)果為前兩組結(jié)果的和7記Sk1k2k3knk,當k1,2,3,時,觀察下列等式:S1n2n,S2n3n2n,S3n4n3n2,S4n5n4n3n,S5An6n5n4Bn2,可知推測AB等于()A.B.C.D.考點歸納推理的應用題點歸納推理在數(shù)陣(表)中的應用答案D解析觀察發(fā)現(xiàn)各式等號右邊第一項的系數(shù)為對應項指數(shù)的倒數(shù),且各項系數(shù)之和為1,故A,B,所以AB.8如圖,已知ABC的周長為2,連接ABC三邊的中點構成第二個三角形,再連接第二個三角形三邊的中點構成第三個三角形,依此類推,第2018個三角形的周長為()A.B.C.D.考點歸納推理的應用題點歸納推理在圖形中的應用答案D解析第一個三角形的周長為2,第二個三角形的周長為1,第三個三角形的周長為,第n個三角形的周長為22n,第2018個三角形的周長為222018.二、填空題9經(jīng)計算發(fā)現(xiàn)下列不等式:2,2,2,根據(jù)以上不等式的規(guī)律,試寫出一個對正實數(shù)a,b都成立的條件不等式:_.考點歸納推理的應用題點歸納推理在數(shù)對(組)中的應用答案已知a,b是正實數(shù)且ab,若ab20,則0,a21.同理,a3.a11,a21,a3.利用歸納推理,猜測:an,nN.四、探究與拓展14給出以下數(shù)對序列:(1,1)(1,2),(2,1)(1,3),(2,2),(3,1)(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)記第n行的第m個數(shù)對為anm(m,nN),如a43(3,2),則:(1)a54_;(2)anm_.考點歸納推理的應用題點歸納推理在數(shù)陣(表)中的應用答案(1)(4,2)(2)(m,nm1)解析若anm(a,b),則am,bnm1,a54(4,2)15某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史,圖所示的為她們刺繡的最簡單的四個圖案,這些圖案都是由小正方形構成的,小正方形數(shù)越多,刺繡越漂亮現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同),設第n個圖形包含f(n)個小正方形(1)求f(5)的值;(2)利用合情推理的“歸納推理思想”,歸納出f(n1)與f(n)之間的關系式,并根據(jù)你得到的關系式求出f(n)的表達式;(3)求的值考點歸納推理的應用題點歸納推理在圖形中的應用解(1)f(5)41.(2)f(2)f(1)441,f(3)f(2)842,f(4)f(3)1243,f(5)f(4)1644,由上述規(guī)律,得f(n1)f(n)4n.f(n1)f(n)4n,f(n)f(n1)4(n1)f(n2)4(n1)4(n2)f(1)4(n1)4(n2)4(n3)42n22n1.(3)當n2時,11.- 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- 2018 2019 學年 高中數(shù)學 第三 推理 證明 1.1 歸納推理 北師大 選修
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