2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 第1講 空間幾何體的表面積和體積(文)學(xué)案.docx
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第1講空間幾何體的表面積和體積考向預(yù)測1三視圖的識別和簡單應(yīng)用;2簡單幾何體的表面積與體積計算1空間幾何體的三視圖(1)幾何體的擺放位置不同,其三視圖也不同,需要注意長對正、高平齊、寬相等(2)由三視圖還原幾何體:一般先從俯視圖確定底面,再利用正視圖與側(cè)視圖確定幾何體2空間幾何體的兩組常用公式(1)正柱體、正錐體、正臺體的側(cè)面積公式:S柱側(cè)ch(c為底面周長,h為高);S錐側(cè)ch(c為底面周長,h為斜高/母線);S臺側(cè)(cc)h(c,c分別為上下底面的周長,h為斜高/母線);S球表4R2(R為球的半徑)(2)柱體、錐體和球的體積公式:V柱體Sh(S為底面面積,h為高);V錐體Sh(S為底面面積,h為高);V球R3熱點(diǎn)一空間幾何體的三視圖與直觀圖【例1】(1) (2018張家口期中)如圖所示,在正方體中,為的中點(diǎn),則圖中陰影部分在平面上的正投影是()ABCD(2)(2017泰安模擬)某三棱錐的三視圖如圖所示,其側(cè)視圖為直角三角形,則該三棱錐最長的棱長等于()A4BCD5解析(1)由題意,點(diǎn)在平面上的投影是的中點(diǎn),、在平面上的投影是它本身,所以在平面上的正投影是C中陰影部分,故選C. (2)根據(jù)幾何體的三視圖,知該幾何體是底面為直角三角形,兩側(cè)面垂直于底面,高為5的三棱錐PABC(如圖所示)棱錐最長的棱長PA答案(1)C(2)C探究提高1由直觀圖確定三視圖,一要根據(jù)三視圖的含義及畫法和擺放規(guī)則確認(rèn)二要熟悉常見幾何體的三視圖2由三視圖還原到直觀圖的思路(1)根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面(2)根據(jù)正視圖或側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征,調(diào)整實(shí)線和虛線所對應(yīng)的棱、面的位置(3)確定幾何體的直觀圖形狀【訓(xùn)練1】 (1)(2017蘭州模擬)如圖,在底面邊長為1,高為2的正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)P是平面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn),則三棱錐PBCD的正視圖與側(cè)視圖的面積之和為()A1 B2C3 D4(2)(2016天津卷)將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐,得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示,則該幾何體的側(cè)視圖為()解析(1)設(shè)點(diǎn)P在平面A1ADD1的射影為P,在平面C1CDD1的射影為P,如圖所示三棱錐PBCD的正視圖與側(cè)視圖分別為PAD與PCD,因此所求面積SSPADSPCD12122(2)由幾何體的正視圖和俯視圖可知該幾何體的直觀圖如圖,故其側(cè)視圖為圖答案(1)B(2)B熱點(diǎn)二幾何體的表面積與體積【例2】(1)(2018上饒期末)如圖所示為一個幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為()ABCD(2)(2017山東卷)由一個長方體和兩個圓柱構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖,則該幾何體的體積為_解析(1)根據(jù)三視圖可得該幾何體是有一個圓柱挖去兩個圓柱所得,作出幾何體的直觀圖(如圖),則該幾何體的表面積為故選C(2)該幾何體由一個長、寬、高分別為2,1,1的長方體和兩個半徑為1,高為1的圓柱體構(gòu)成,所以V21121212答案(1)C(2)2探究提高1由幾何體的三視圖求其表面積:(1)關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及度量大小(2)還原幾何體的直觀圖,套用相應(yīng)的面積公式2(1)多面體的表面積是各個面的面積之和;組合體的表面積注意銜接部分的處理(2)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用3求不規(guī)則幾何體的體積:常用分割或補(bǔ)形的思想,將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解【訓(xùn)練2】 (1) (2017棗莊模擬)如圖,某三棱錐的三視圖是三個邊長相等的正方形及對角線,若該三棱錐的體積是,則它的表面積是_(2)(2016山東卷)一個由半球和四棱錐組成的幾何體,其三視圖如圖所示則該幾何體的體積為()A BC D1解析(1)由題設(shè)及幾何體的三視圖知,該幾何體是一個正方體截去4個三棱錐后剩余的內(nèi)接正三棱錐BA1C1D(如圖所示)設(shè)正方體的棱長為a,則幾何體的體積是Va34a2aa3,a1,三棱錐的棱長為,因此該三棱錐的表面積為S4()22(2)由三視圖知該四棱錐是底面邊長為1,高為1的正四棱錐,結(jié)合三視圖可得半球半徑為,從而該幾何體的體積為121答案(1)2;(2) C熱點(diǎn)三多面體與球的切、接問題【例3】(2019廣東一模)九章算術(shù)中將底面為長方形,且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”.現(xiàn)有一陽馬,其正視圖和側(cè)視圖是如圖所示的直角三角形若該陽馬的頂點(diǎn)都在同一個球面上,則該球的體積為()ABCD解析如圖所示,該幾何體為四棱錐,底面為長方形.其中底面,.易知該幾何體與變成為的長方體有相同的外接球,則該陽馬的外接球的直徑為.球體積為:.答案A.探究提高1與球有關(guān)的組合體問題,一種是內(nèi)切,一種是外接球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題,球與多面體的組合,通過多面體的一條側(cè)棱和球心或“切點(diǎn)”、“接點(diǎn)”作出截面圖,把空間問題化歸為平面問題2若球面上四點(diǎn)P,A,B,C,PA,PB,PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,可構(gòu)造長方體或正方體確定直徑解決外接問題【訓(xùn)練3】(2017濟(jì)南一中月考)已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn),AOB90,C為該球面上的動點(diǎn)若三棱錐OABC體積的最大值為36,則球O的表面積為()A36 B64C144 D256解析因?yàn)锳OB的面積為定值,所以當(dāng)OC垂直于平面AOB時,三棱錐OABC的體積取得最大值由R2R36,得R6從而球O的表面積S4R2144答案C1(2018全國I卷)已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面所成的角都相等,則截此正方體所得截面面積的最大值為()ABCD2(2018全國I卷)已知圓柱的上、下底面的中心分別為,過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形,則該圓柱的表面積為ABCD3(2018全國III卷)設(shè)是同一個半徑為4的球的球面上四點(diǎn),為等邊三角形且其面積為,則三棱錐體積的最大值為()ABCD4(2018全國II卷)已知圓錐的頂點(diǎn)為,母線,所成角的余弦值為,與圓錐底面所成角為45,若的面積為,則該圓錐的側(cè)面積為_1(2018全國III卷)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來,構(gòu)件的凸出部分叫榫頭,凹進(jìn)部分叫卯眼,圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體,則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是()A B C D2(2017浙江卷)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積(單位:cm3)是()A1B3C1D33(2016四川卷)已知三棱錐的四個面都是腰長為2的等腰三角形,該三棱錐的正視圖如圖所示,則該三棱錐的體積是_4(2017江蘇卷)如圖,在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O,該球與圓柱的上、下面及母線均相切記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2,則的值是_5(2015全國卷)如圖,長方體ABCDA1B1C1D1中,AB16,BC10,AA18,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在A1B1,D1C1上,A1ED1F4過點(diǎn)E,F(xiàn)的平面與此長方體的面相交,交線圍成一個正方形(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由);(2)求平面把該長方體分成的兩部分體積的比值1(2018鄭州質(zhì)檢)如圖,某幾何體的正視圖和俯視圖都是矩形,側(cè)視圖是平行四邊形,則該幾何體的表面積為()ABCD2(2017衡陽聯(lián)考)如圖所示,某空間幾何體的正視圖與側(cè)視圖相同,則此幾何體的表面積為()A6 BC4D23(2017衡水中學(xué)調(diào)研)一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的外接球的表面積為()ABC4D4體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的表面積為_5(2017沈陽質(zhì)檢)在三棱柱ABCA1B1C1中,側(cè)面AA1C1C底面ABC,AA1A1CACABBC2,且點(diǎn)O為AC中點(diǎn)(1)證明:A1O平面ABC;(2)求三棱錐C1ABC的體積參考答案1【解題思路】首先利用正方體的棱是3組每組有互相平行的4條棱,所以與12條棱所成角相等,只需與從同一個頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱所成角相等即可,從而判斷出面的位置,截正方體所得的截面為一個正六邊形,且邊長是面的對角線的一半,應(yīng)用面積公式求得結(jié)果.【答案】根據(jù)相互平行的直線與平面所成的角是相等的,所以在正方體中,平面與線所成的角是相等的,所以平面與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的,同理平面也滿足與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等,要求截面面積最大,則截面的位置為夾在兩個面與中間的,且過棱的中點(diǎn)的正六邊形,且邊長為,所以其面積為,故選A.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)平面被正方體所截得的截面多邊形的面積問題,首要任務(wù)是需要先確定截面的位置,之后需要從題的條件中找尋相關(guān)的字眼,從而得到其為過六條棱的中點(diǎn)的正六邊形,利用六邊形的面積的求法,應(yīng)用相關(guān)的公式求得結(jié)果.2【解題思路】首先根據(jù)正方形的面積求得正方形的邊長,從而進(jìn)一步確定圓柱的底面圓半徑與圓柱的高,從而利用相關(guān)公式求得圓柱的表面積.【答案】根據(jù)題意,可得截面是邊長為的正方形,結(jié)合圓柱的特征,可知該圓柱的底面為半徑是的圓,且高為,所以其表面積為,故選B.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)圓柱的表面積的求解問題,在解題的過程中,需要利用題的條件確定圓柱的相關(guān)量,即圓柱的底面圓的半徑以及圓柱的高,在求圓柱的表面積的時候,一定要注意是兩個底面圓與側(cè)面積的和.3【解題思路】作圖,為與球的交點(diǎn),點(diǎn)為三角形的重心,判斷出當(dāng)平面時,三棱錐體積最大,然后進(jìn)行計算可得;【答案】如圖所示,點(diǎn)為三角形的重心,為中點(diǎn),當(dāng)平面時,三棱錐體積最大,此時,點(diǎn)為三角形的重心,中,有,故選B4【解題思路】先根據(jù)三角形面積公式求出母線長,再根據(jù)母線與底面所成角得底面半徑,最后根據(jù)圓錐側(cè)面積公式求結(jié)果.【答案】因?yàn)槟妇€,所成角的余弦值為,所以母線,所成角的正弦值為,因?yàn)榈拿娣e為,設(shè)母線長為,所以,因?yàn)榕c圓錐底面所成角為,所以底面半徑為,因此圓錐的側(cè)面積為.點(diǎn)睛:本題考查線面角,圓錐的側(cè)面積,三角形面積等知識點(diǎn),考查學(xué)生空間想象與運(yùn)算能力1【解題思路】觀察圖形可得【答案】:觀擦圖形圖可知,俯視圖為,故答案為A.2【解題思路】該幾何體為半個圓錐和一個三棱錐的組合體,分別求其體積即可【答案】由三視圖可知該幾何體為半個圓錐和一個三棱錐的組合體,半圓錐的底面半徑為1,高為3,三棱錐的底面積為211,高為3故該幾何體體積為:V123131故選A3【解題思路】由正視圖的底邊長和腰長為2的等腰三角形確定俯視圖形狀【答案】由題可知,三棱錐每個面都是腰為2的等腰三角形,由正視圖可得如右俯視圖,且三棱錐高為h1,則體積VSh1故填4【解題思路】由圖確定球的半徑與圓柱高和底面半徑之間的關(guān)系,進(jìn)而求其體積之比【答案】設(shè)球半徑為R,則圓柱底面圓半徑為R,母線長為2R又V1R22R2R3,V2R3,所以故填5【解題思路】(1)過EF往下作截面;(2)由正方形的邊長關(guān)系確定底面的交點(diǎn)在棱上的位置,進(jìn)而求棱柱的體積【答案】解(1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示(2)如圖,作EMAB,垂足為M,則AMA1E4,EB112,EMAA18因?yàn)樗倪呅蜤HGF為正方形,所以EHEFBC10于是MH6,AH10,HB6故,因?yàn)殚L方體被平面分成兩個高為10的直棱柱,所以其體積的比值為1【解題思路】由三視圖知原圖是一個底面為邊長為3的正方形,高為的斜四棱柱,【答案】.2【解題思路】該幾何體由一個圓錐和一個半球組合而成【答案】此幾何體為一個組合體,上為一個圓錐,下為一個半球組合而成表面積為S224故選C3【解題思路】該幾何體是一個四棱錐,球心在底面中心的正上方,確定球心的位置【答案】由三視圖知該幾何體為四棱錐,側(cè)面PBC為側(cè)視圖,PE平面ABC,E,F(xiàn)分別是對應(yīng)邊的中點(diǎn),底面ABCD是邊長是2的正方形,如圖所示設(shè)外接球的球心到平面ABCD的距離為h,則h2212(2h)2,h,R2幾何體的外接球的表面積S4R2故選B4【解題思路】正方體的體對角線即為其外接球的直徑【答案】設(shè)正方體的棱長為a,則a38,解得a2設(shè)球的半徑為R,則2Ra,即R所以球的表面積S4R212故填125【解題思路】(1)面面垂直的性質(zhì)定理;(2)頂點(diǎn)轉(zhuǎn)換法,以A1為頂點(diǎn)【答案】(1)證明因?yàn)锳A1A1C,且O為AC的中點(diǎn),所以A1OAC,又平面AA1C1C平面ABC,平面AA1C1C平面ABCAC,且A1O平面AA1C1C,A1O平面ABC(2)解A1C1AC,A1C1平面ABC,AC平面ABC,A1C1平面ABC,即C1到平面ABC的距離等于A1到平面ABC的距離由(1)知A1O平面ABC且A1O,- 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