2020版高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.2.1 常數(shù)與冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 3.2.2 導(dǎo)數(shù)公式表學(xué)案(含解析)新人教B版選修1 -1.docx
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32.2導(dǎo)數(shù)公式表學(xué)習(xí)目標1.能根據(jù)定義求函數(shù)yC,yx,yx2,y的導(dǎo)數(shù).2.能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)知識點一常數(shù)與冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)Cf(x)0f(x)xf(x)1f(x)x2f(x)2xf(x)f(x)知識點二基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)Cf(x)0f(x)xnf(x)nxn1(n為自然數(shù))f(x)sinxf(x)cosxf(x)cosxf(x)sinxf(x)ax(a0,a1)f(x)axlnaf(x)exf(x)exf(x)logax(a0,a1,x0)f(x)f(x)lnxf(x)題型一利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)yx12;(2)y;(3)y;(4)y2sincos;(5)y;(6)y3x.解(1)y(x12)12x12112x11.(2)y(x4)4x414x5.(3)y().(4)y2sincossinx,ycosx.(5)y().(6)y(3x)3xln3.反思感悟若題目中所給出的函數(shù)解析式不適用導(dǎo)數(shù)公式,需通過恒等變換對解析式進行化簡或變形后求導(dǎo),如根式化成指數(shù)冪的形式求導(dǎo)跟蹤訓(xùn)練1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)ylgx;(2)yx;(3)y(1);(4)y2cos21.考點基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式題點利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解(1)y(lgx)(log10x).(2)yxlnxln2.(3)y(1)y(4)y2cos21cosx,y(cosx)sinx.題型二導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用命題角度1利用導(dǎo)數(shù)公式解決切線問題例2已知點P(1,1),點Q(2,4)是曲線yx2上兩點,是否存在與直線PQ垂直的切線,若有,求出切線方程,若沒有,說明理由解因為y(x2)2x,假設(shè)存在與直線PQ垂直的切線設(shè)切點坐標為(x0,y0),由直線PQ的斜率為k1,又切線與PQ垂直,所以2x01,即x0,所以切點坐標為.所以所求切線方程為y(1),即4x4y10.引申探究若本例條件不變,求與直線PQ平行的曲線yx2的切線方程解因為y(x2)2x,設(shè)切點為M(x0,y0),則2x0.又因為PQ的斜率為k1,而切線平行于PQ,所以k2x01,即x0.所以切點為M,所以所求切線方程為yx,即4x4y10.反思感悟解決切線問題,關(guān)鍵是確定切點,要充分利用:(1)切點處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率(2)切點在切線上(3)切點又在曲線上這三個條件聯(lián)立方程解決跟蹤訓(xùn)練2已知兩條曲線ysinx,ycosx,是否存在這兩條曲線的一個公共點,使在這一點處兩條曲線的切線互相垂直?并說明理由解設(shè)存在一個公共點(x0,y0),使兩曲線的切線垂直,則在點(x0,y0)處的切線斜率分別為k1cosx0,k2sinx0.要使兩切線垂直,必須有k1k2cosx0(sinx0)1,即sin2x02,這是不可能的所以兩條曲線不存在公共點,使在這一點處兩條曲線的切線互相垂直命題角度2利用導(dǎo)數(shù)公式解決最值問題例3求拋物線yx2上的點到直線xy20的最短距離解依題意知,拋物線yx2與直線xy20平行的切線的切點到直線xy20的距離最短,設(shè)切點坐標為(x0,x)y(x2)2x,2x01,x0,切點坐標為,所求的最短距離為d.反思感悟利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式,可求其圖象在某一點P(x0,y0)處的切線方程,可以解決一些與距離、面積相關(guān)的幾何的最值問題,一般都與函數(shù)圖象的切線有關(guān)解題時可先利用圖象分析取最值時的位置情況,再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義準確計算跟蹤訓(xùn)練3已知直線l: 2xy40與拋物線yx2相交于A,B兩點,O是坐標原點,試求與直線l平行的拋物線的切線方程,并在弧上求一點P,使ABP的面積最大解設(shè)M(x0,y0)為切點,過點M與直線l平行的直線斜率為ky2x0,k2x02,x01,y01,故可得M(1,1),切線方程為2xy10.由于直線l: 2xy40與拋物線yx2相交于A,B兩點,|AB|為定值,要使ABP的面積最大,只要P到AB的距離最大,故點M(1,1)即為所求弧上的點,使ABP的面積最大導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用典例設(shè)f0(x)sinx,f1(x)f0(x),f2(x)f1(x),fn1(x)fn(x),nN,則f2019(x)等于()AsinxBsinxCcosxDcosx考點基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式題點正弦、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)答案D解析f1(x)f0(x)(sinx)cosx,f2(x)f1(x)(cosx)sinx,f3(x)f2(x)(sinx)cosx,f4(x)(cosx)sinx,f5(x)(sinx)f1(x),f6(x)f2(x),fn4(x)fn(x),可知fn(x)關(guān)于n的周期為4,f2019(x)f50443(x)cosx.素養(yǎng)評析熟記導(dǎo)數(shù)公式是進行導(dǎo)數(shù)運算的前提,正確的進行導(dǎo)數(shù)運算,方能找出規(guī)律,尋找到正確的結(jié)論1下列結(jié)論:(sinx)cosx;(log3x);(lnx).其中正確的有()A0個B1個C2個D3個答案C解析;(log3x),錯誤,故選C.2函數(shù)f(x),則f(3)等于()A.B0C.D.答案A解析根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,可得f(x),f(3).3設(shè)函數(shù)f(x)logax,f(1)1,則a.答案解析f(x),則f(1)1,a.4求過曲線ysinx上的點P且與在這一點處的切線垂直的直線方程解曲線ysinx在點P處的切線斜率為kcos,則與切線垂直的直線的斜率為,所求直線方程為y,即12x18y290.1利用常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可以比較簡便地求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),其關(guān)鍵是牢記和運用好導(dǎo)數(shù)公式解題時,能認真觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,積極地進行聯(lián)想化歸2有些函數(shù)可先化簡再應(yīng)用公式求導(dǎo)如求y12sin2的導(dǎo)數(shù)因為y12sin2cosx,所以y(cosx)sinx.3對于正弦、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù),一是注意函數(shù)名稱的變化,二是注意函數(shù)符號的變化.一、選擇題1下列結(jié)論中正確的個數(shù)為()yln2,則y;yf(x),則f(3);y2x,則y2xln2;ylog2x,則y.A0B1C2D3考點基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式題點基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用答案D解析中yln2為常數(shù),所以y0.錯2已知f(x),則f等于()A25BC.D25考點幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題點幾個常用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用答案B解析因為f(x),所以f(x).故f25,ff(25).3已知f(x)xa,若f(1)4,則a等于()A4B4C5D5考點基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式題點常數(shù)、冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)答案A解析f(x)axa1,f(1)a(1)a14,a4.4正弦曲線ysinx上切線的斜率等于的點為()A.B.或C.(kZ)D.或(kZ)考點基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式題點正弦、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)答案D解析設(shè)斜率等于的切線與曲線的切點為P(x0,y0),cosx0,x02k或2k,kZ,y0或.5函數(shù)yex在點(2,e2)處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為()A.e2B2e2Ce2D.考點基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式題點指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)答案D解析y(ex)ex,ke2,曲線在點(2,e2)處的切線方程為ye2e2(x2),即ye2xe2.當x0時,ye2,當y0時,x1.S1|e2|e2.6已知曲線yx3在點(2,8)處的切線方程為ykxb,則kb等于()A4B4C28D28考點基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式題點常數(shù)、冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)答案C解析點(2,8)在切線上,2kb8,又y|x232212k,由可得k12,b16,kb28.7已知曲線ylnx的切線過原點,則此切線的斜率為()AeBeC.D考點基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式題點指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)答案C解析設(shè)切點坐標為(x0,lnx0),則切線的斜率為,又切線斜率可表示為,則x0e,切線的斜率為.8設(shè)曲線yxn1(nN)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn,則x1x2xn的值為()A.B.C.D1考點題點答案B解析對yxn1(nN)求導(dǎo)得y(n1)xn.令x1,得在點(1,1)處的切線的斜率kn1,在點(1,1)處的切線方程為y1(n1)(x1)令y0,得xn,x1x2xn,故選B.二、填空題9已知f(x),g(x)mx且g(2),則m.考點幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題點幾個常用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用答案4解析f(x),g(x)m,f(2),又g(2),m4.10設(shè)曲線yex在點(0,1)處的切線與曲線y(x0)上點P處的切線垂直,則P的坐標為考點基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式題點指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)答案(1,1)解析因為yex,所以曲線yex在點(0,1)處的切線的斜率k1e01.設(shè)P(m,n),y(x0)的導(dǎo)數(shù)為y(x0),曲線y(x0)在點P處的切線斜率k2(m0)因為兩切線垂直,所以k1k21,所以m1,n1,則點P的坐標為(1,1)11已知f(x)cosx,g(x)x,則關(guān)于x的不等式f(x)g(x)0的解集為考點基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式題點正弦、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)答案解析f(x)sinx,g(x)1,由f(x)g(x)0,得sinx10,即sinx1,則sinx1,解得x2k,kZ,其解集為.三、解答題12若曲線yx在點(a,a)處的切線與兩個坐標軸圍成的三角形的面積為18,求實數(shù)a的值考點幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題點幾個常用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用解,y,曲線在點(a,)處的切線斜率k,切線方程為y(xa)令x0,得y;令y0,得x3a,該切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為S3a18,a64.13點P是曲線yex上任意一點,求點P到直線yx的最小距離考點基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式題點指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解如圖,當曲線yex在點P(x0,y0)處的切線與直線yx平行時,點P到直線yx的距離最近,則曲線yex在點P(x0,y0)處的切線斜率為1,又y(ex)ex,所以1,得x00,代入yex,得y01,即P(0,1)利用點到直線的距離公式得最小距離為.14下列曲線的所有切線中,存在無數(shù)對互相垂直的切線的曲線是()Af(x)exBf(x)x3Cf(x)lnxDf(x)sinx考點導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題點導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用答案D解析若直線垂直且斜率存在,則其斜率之積為1.因為A項中,(ex)ex0,B項中,(x3)3x20,C項中,x0,即(lnx)0,所以不會使切線斜率之積為1,故選D.15求證:雙曲線xya2上任意一點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積等于常數(shù)考點題點證明設(shè)P(x0,y0)為雙曲線xya2上任一點y.過點P的切線方程為yy0(xx0)令x0,得y;令y0,得x2x0.則切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為S|2x0|2a2.即雙曲線xya2上任意一點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為常數(shù)2a2.- 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