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第五章 曲線運動 章末整合提升 突破一　運動的合成與分解 1.運算法則 利用平行四邊形定則或三角形定則，把曲線運動分解為兩個直線運動，然后運用直線運動的規(guī)律求解，合運動與分運動之間具有等效性、獨立性和等時性等特點。 2.小船渡河模型 (1)船的實際運動：是水流的運動和船相對靜水的運動的合運動。 (2)三種速度：船在靜水中的速度v船、水的流速v水、船的實際速度v。 (3)三種情況 情況 圖示 說明 渡河時間最短 當(dāng)船頭垂直河岸時，渡河時間最短，最短時間tmin＝ 渡河位移最短 當(dāng)v水＜v船時，如果滿足v水－v船cos θ＝0，渡河位移最短，xmin＝d 當(dāng)v水＞v船時，如果船頭方向(即v船方向)與合速度方向垂直，渡河位移最短，最短渡河位移為xmin＝ 【例1】 有一只小船正在過河，河寬d＝300 m，小船在靜水中的速度v1＝3 m/s，水的流速v2＝1 m/s。小船在下列條件過河時，求過河的時間。 (1)以最短的時間過河； (2)以最短的位移過河。 解析　(1)當(dāng)小船的船頭方向垂直于河岸時，即船在靜水中的速度v1的方向垂直于河岸時，過河時間最短，則最短時間tmin＝＝ s＝100 s。 (2)因為v1＝3 m/s>v2＝1 m/s，所以當(dāng)小船的合速度方向垂直于河岸時，過河位移最短。此時合速度方向如圖所示，則過河時間t＝＝≈106.1 s。 答案　(1)100 s　(2)106.1 s 3.關(guān)聯(lián)物體速度的分解 解決“關(guān)聯(lián)”速度問題的關(guān)鍵在于： (1)明確要分解速度的物體：該物體速度方向與繩(桿)速度方向有夾角。 (2)明確要分解的速度：物體的實際速度為合速度。 (3)明確要分解的方向：①沿著繩子(桿)伸長的方向分解。②沿著垂直繩子(桿)方向分解。 【例2】 如圖1所示，當(dāng)小車A以恒定的速度v向左運動時，對于B物體，下列說法正確的是(　　) 圖1 A.勻加速上升 B.勻速上升 C.B物體受到的拉力大于B物體受到的重力 D.B物體受到的拉力等于B物體受到的重力 解析　將小車的速度分解，如圖所示，合速度v沿繩方向的分速度等于物體B的速度vB，所以vB＝vcos θ，隨著小車的運動，θ變小，速度vB增大，但速度vB增大不均勻，B物體做變加速運動；由牛頓第二定律知，B物體受到的拉力大于B物體受到的重力。 答案　C 突破二　平拋運動 1.平拋運動的規(guī)律 平拋運動是勻變速曲線運動，其規(guī)律如下表 水平方向 vx＝v0　x＝v0t 豎直方向 vy＝gt，y＝gt2 合速度 大小 v＝＝ 方向 與水平方向的夾角tan α＝＝ 合位移 大小 s＝ 方向 與水平方向的夾角tan θ＝＝ 2.解決平拋運動問題的三個常用方法 (1)利用平拋運動的時間特點解題： 平拋運動可分解成水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動，只要拋出的時間相同，下落的高度和豎直分速度就相同。 (2)利用平拋運動的偏轉(zhuǎn)角度解題 設(shè)做平拋運動的物體，當(dāng)下落高度為h時，水平位移為x，速度vA與初速度v0的夾角為θ，則由圖2可得 圖2 tan θ＝＝＝＝① 將vA反向延長與水平線相交于O點，設(shè)A′O＝d，則有 tan θ＝＝，代入①式解得d＝x tan θ＝，tan α＝＝，所以tan θ＝2tan α② ①②兩式揭示了偏轉(zhuǎn)角和其他各物理量的關(guān)系，是平拋運動的一個規(guī)律，運用這個規(guī)律能巧解平拋運動的問題。 (3)利用平拋運動的軌跡解題 平拋運動的軌跡是一條拋物線，已知拋物線上任一段的運動情況，就可求出水平初速度，其他物理量也就迎刃而解 了。設(shè)圖3為某小球做平拋運動的一段軌跡，在軌跡上任取兩點A和B，分別過A點作豎直線和過B點作水平線相交于C點，然后過BC的中點D作垂線交軌跡于E點，過E點再作水平線交AC于F點，由于小球經(jīng)過AE和EB的時間相等，設(shè)為單位時間T，則有T＝＝，v0＝＝ 。 圖3 【例3】 (2018嘉興市高一期末)如圖4所示，某校組織同學(xué)玩投球游戲。小球(視作質(zhì)點)運動過程不計空氣阻力。已知sin 37＝0.6，cos 37＝0.8，g取10 m/s2。 圖4 (1)假設(shè)小明同學(xué)將球以va＝3 m/s的速度水平拋出，小球拋出時距離地面的高度為ha＝0.8 m，求小球落地時的速度v； (2)裁判老師要求小明把球投到距小球拋出點水平距離為x＝4 m外，則小球拋出時的初速度vb至少應(yīng)多大？ 解析　(1)小球做平拋運動，在豎直方向上做自由落體運動，則有： v＝2gha。得：vy＝4 m/s 則小球落地時的速度為：v＝＝ m/s＝5 m/s 落地速度與水平方向夾角為α，則有：sin α＝＝ 即：α＝53 (2)由平拋運動規(guī)律有： ha＝gt2 x＝vbt 聯(lián)立得：vb＝x＝4 m/s＝10 m/s 答案　(1)5 m/s，方向與水平方向夾角為53斜向下 (2)10 m/s 【例4】 小球做平拋運動的軌跡如圖5所示，A為坐標(biāo)原點，y1＝15 cm，y2＝25 cm，＝10 cm，D為BC的中點，ED⊥BC，EF⊥AC。求小球拋出點的坐標(biāo)和初速度的大小。(取g＝10 m/s2) 圖5 解析　由題意可知，小球經(jīng)過AE段、EB段的時間相等，由豎直方向勻變速運動規(guī)律得，y2－y1＝gt2，代入數(shù)據(jù)得，t＝0.1 s。 小球經(jīng)E點時的豎直方向速度vEy＝＝2 m/s， 小球的水平初速度v0＝＝1 m/s 小球由拋出到E點的時間tE＝＝0.2 s 小球由拋出到A點的時間tA＝tE－0.1 s＝0.1 s 小球拋出點的橫坐標(biāo)x0＝－v0tA＝－0.1 m， 縱坐標(biāo)y0＝－gt＝－0.05 m。 答案　(－0.1 m，－0.05 m)　1 m/s 突破三　解決圓周運動的基本方法 1.分析物體的運動情況，明確圓周軌道在怎樣的一個平面內(nèi)，確定圓心在何處，半徑是多大。 2.分析物體的受力情況，弄清向心力的來源。跟運用牛頓第二定律解直線運動問題一樣，解圓周運動問題，也要先選擇研究對象，然后進(jìn)行受力分析，畫出受力示意圖。 3.由牛頓第二定律F＝ma列方程求解相應(yīng)問題，其中F是指向圓心方向的合外力(向心力)，a是指向心加速度，即a＝或a＝ω2r或a＝。 【例5】 (2016浙江第二次大聯(lián)考)如圖6所示為一種叫作“魔盤”的娛樂設(shè)施，當(dāng)“魔盤”轉(zhuǎn)動得很慢時，人會隨著“魔盤”一起轉(zhuǎn)動，當(dāng)“魔盤”轉(zhuǎn)動到一定速度時，人會“貼”在“魔盤”豎直壁上，而不會滑下。若“魔盤”半徑為r，人與“魔盤”豎直壁間的動摩擦因數(shù)為μ，在人“貼”在“魔盤”豎直壁上隨“魔盤”一起轉(zhuǎn)動過程中，重力加速度為g，下列說法中正確的是(　　) 圖6 A.人受重力、彈力、摩擦力和向心力作用 B.如果轉(zhuǎn)速變大，人與器壁之間的摩擦力變大 C.如果轉(zhuǎn)速變大，人與器壁之間的彈力不變 D.“魔盤”的轉(zhuǎn)速一定大于 解析　向心力不是一種性質(zhì)力，故選項A錯誤；在轉(zhuǎn)速增大時，雖然向心力增大，彈力增大，但是摩擦力始終等于重力，故選項B、C錯誤；根據(jù)彈力提供向心力，設(shè)最小彈力為N，由μN＝mg，N＝mω2r，ω＝2πn，得最小轉(zhuǎn)速n＝，故選項D正確。 答案　D 突破四　圓周運動的臨界問題 1.臨界狀態(tài)：當(dāng)物體從某種特性變化為另一種特性時發(fā)生質(zhì)的飛躍的轉(zhuǎn)折狀態(tài)，通常叫做臨界狀態(tài)，出現(xiàn)臨界狀態(tài)時，既可理解為“恰好出現(xiàn)”，也可理解為“恰好不出現(xiàn)”。 2.輕繩類：輕繩拴球在豎直面內(nèi)做圓周運動，過最高點時，臨界速度為v＝，此時F繩＝0。 3.輕桿類 (1)小球能過最高點的臨界條件：v＝0； (2)當(dāng)0時，F(xiàn)為拉力。 4.汽車過拱橋：如圖7所示，當(dāng)壓力為零時，即mg＝m，v＝，這個速度是汽車能正常過拱橋的臨界速度。v<是汽車安全過拱橋的條件。 圖7 5.摩擦力提供向心力：如圖8所示，物體隨著水平圓盤一起轉(zhuǎn)動，汽車在水平路面上轉(zhuǎn)彎，它們做圓周運動的向心力等于靜摩擦力，當(dāng)靜摩擦力達(dá)到最大時，物體運動速度也達(dá)到最大，由Fm＝m得vm＝，這就是物體以半徑r做圓周運動的臨界速度。 圖8 【例6】 如圖9所示，細(xì)繩的一端系著質(zhì)量為M＝2 kg的物體，靜止在水平圓盤上，另一端通過光滑的小孔吊著質(zhì)量為m＝0.5 kg的物體，M的中心點與圓孔的距離為0.5 m，并已知M與圓盤的最大靜摩擦力為4 N，現(xiàn)使此圓盤繞中心軸線轉(zhuǎn)動，求角速度ω在什么范圍內(nèi)可使m處于靜止?fàn)顟B(tài)？(g取10 m/s2) 圖9 解析　當(dāng)ω取較小值ω1時，M有向O點滑動趨勢，此時M所受靜摩擦力背離圓心O， 對M有：mg－Ffmax＝Mωr， 代入數(shù)據(jù)得：ω1＝1 rad/s。 當(dāng)ω取較大值ω2時，M有背離O點滑動趨勢， 此時M所受靜摩擦力指向圓心O，對M有： mg＋Ffmax＝Mωr 代入數(shù)據(jù)得：ω2＝3 rad/s 所以角速度的取值范圍是：1 rad/s≤ω≤3 rad/s。 答案　1 rad/s≤ω≤3 rad/s 【例7】 如圖10所示，AB為半徑為R的金屬導(dǎo)軌(導(dǎo)軌厚度不計)，a、b為分別沿導(dǎo)軌上、下兩表面做圓周運動的小球(可看做質(zhì)點)，要使小球不脫離導(dǎo)軌， 重力加速度為g，則a、b在導(dǎo)軌最高點的速度va、vb應(yīng)滿足什么條件？ 圖10 解析　對a球在最高點，由牛頓第二定律得： mag－FNa＝ma① 要使a球不脫離軌道，則FNa≥0② 由①②得：va≤ 對b球在最高點，由牛頓第二定律得： mbg＋FNb＝mb③ 要使b球不脫離軌道， 則FNb≥0④ 由③④得：vb≥。 答案　見解析