2019高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 專題7 立體幾何 第2講 綜合大題部分真題押題精練 理.doc
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第2講綜合大題部分1.(2018高考全國卷)如圖,四邊形ABCD為正方形,E,F(xiàn)分別為AD,BC的中點,以DF為折痕把DFC折起,使點C到達點P的位置,且PFBF.(1)證明:平面PEF平面ABFD;(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值解析:(1)證明:由已知可得BFPF,BFEF,所以BF平面PEF.又BF平面ABFD,所以平面PEF平面ABFD.(2)如圖,作PHEF,垂足為H.由(1)得,PH平面ABFD.以H為坐標(biāo)原點,的方向為y軸正方向,|為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Hxyz.由(1)可得,DEPE.又DP2,DE1,所以PE.又PF1,EF2,所以PEPF.所以PH,EH.則H(0,0,0),P,D,.又為平面ABFD的法向量,設(shè)DP與平面ABFD所成角為,則sin .所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為.2(2018高考全國卷)如圖,在三棱錐PABC中,ABBC2,PAPBPCAC4,O為AC的中點(1)證明:PO平面ABC;(2)若點M在棱BC上,且二面角MPAC為30,求PC與平面PAM所成角的正弦值解析:(1)證明:因為PAPCAC4,O為AC的中點,所以O(shè)PAC,且OP2.如圖,連接OB.因為ABBCAC,所以ABC為等腰直角三角形,且OBAC,OBAC2.由OP2OB2PB2知POOB.由OPOB,OPAC,OBACO,得PO平面ABC.(2)如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點,的方向為x軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),(0,2,2)取平面PAC的一個法向量(2,0,0)設(shè)M(a,2a,0)(0a2),則(a,4a,0)設(shè)平面PAM的法向量為n(x,y,z)由n0,n0得可取ya,得平面PAM的一個法向量為n(a4),a,a),所以cos ,n.由已知可得|cos,n|cos 30,所以,解得a4(舍去)或a.所以n.又(0,2,2),所以cos,n.所以PC與平面PAM所成角的正弦值為.3(2017高考全國卷)如圖,在四棱錐PABCD中, ABCD,且BAPCDP90.(1)證明:平面PAB平面PAD;(2)若PAPDABDC,APD90,求二面角APBC的余弦值解析:(1)證明:由已知BAPCDP90,得ABAP,CDPD.由于ABCD,故ABPD,又APPDP,從而AB平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)在平面PAD內(nèi)作PFAD,垂足為F.由(1)可知,AB平面PAD,故ABPF,可得PF平面ABCD.以F為坐標(biāo)原點,的方向為x軸正方向,|為單位長度,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Fxyz.由(1)及已知可得A,P,B,C.所以,(,0,0),(0,1,0)設(shè)n(x1,y1,z1)是平面PCB的法向量,則即可取n(0,1,)設(shè)m(x2,y2,z2)是平面PAB的法向量,則即可取m(1,0,1)則cosn,m.所以二面角APBC的余弦值為.4(2018高考全國卷)如圖,邊長為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧所在平面垂直,M是上異于C,D的點(1)證明:平面AMD平面BMC;(2)當(dāng)三棱錐MABC體積最大時,求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值解析:(1)證明:由題設(shè)知,平面CMD平面ABCD,交線為CD.因為BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM.因為M為上異于C,D的點,且DC為直徑,所以DMCM.又BCCMC,所以DM平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC.(2)以D為坐標(biāo)原點,D的方向為x軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.當(dāng)三棱錐MABC體積最大時,M為的中點由題設(shè)得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1),A(2,1,1),A(0,2,0),D(2,0,0),設(shè)n(x,y,z)是平面MAB的法向量,則即可取n(1,0,2),D是平面MCD的法向量,因此cosn,D,sinn,D.所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是.1. 如圖所示,在平行四邊形ABCD中,BC2AB4,ABC60,PAAD,E,F(xiàn)分別為BC,PE的中點,AF平面PED.(1)求證:PA平面ABCD;(2)求直線BF與平面AFD所成角的正弦值解析:(1)證明:連接AE,由BC2AB4,ABC60,AE2,ED2,從而有AE2ED2AD2,所以AEED,又AFAEA,所以ED平面PAE,PA平面PAE,則EDPA,又PAAD,ADEDD,所以PA平面ABCD.(2)以E為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,2,0),D(2,0,0),B(,1,0),因為AF平面PED,所以AFPE,又F為PE的中點,所以PAAE2,所以P(0,2,2),F(xiàn)(0,1,1),(0,1,1),(2,2,0),(,0,1),設(shè)平面AFD的法向量為n(x,y,z),由得令x1,得n(1,)設(shè)直線BF與平面AFD所成的角為,則sin |cos,n|,即直線BF與平面AFD所成角的正弦值為.2如圖所示,在四棱錐P ABCD中,側(cè)面PAD底面ABCD,底面ABCD是平行四邊形,ABC45,ADAP2,ABDP2,E為CD的中點,點F在線段PB上(1)求證:ADPC;(2)試確定點F的位置,使得直線EF與平面PDC所成的角和直線EF與平面ABCD所成的角相等解析:(1)證明:如圖所示,在平行四邊形ABCD中,連接AC,因為AB2,BC2,ABC45,由余弦定理得,AC2AB2BC22ABBCcos 454,得AC2,所以ACB90,即BCAC.又ADBC,所以ADAC,因為ADAP2,DP2,所以PAAD,又APACA,所以AD平面PAC,所以ADPC.(2)因為側(cè)面PAD底面ABCD,PAAD,所以PA底面ABCD,所以直線AC,AD,AP兩兩互相垂直,以A為原點,直線AD,AC,AP為坐標(biāo)軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ) xyz,則A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),E(1,1,0),P(0,0,2),所以(0,2,2),(2,0,2),(2,2,2)設(shè)(0,1),則(2,2,2),F(xiàn)(2,2,22),所以(21,21,22),易得平面ABCD的一個法向量為m(0,0,1)設(shè)平面PDC的法向量為n(x,y,z),由得令x1,得n(1,1,1)因為直線EF與平面PDC所成的角和直線EF與平面ABCD所成的角相等,所以|cos,m|cos,n|,即,所以|22|,即|1|(0,1),解得,所以.即當(dāng)時,直線EF與平面PDC所成的角和直線EF與平面ABCD所成的角相等3如圖,在三棱柱ABC A1B1C1中,AA1B145,ACBC,平面BB1C1C平面AA1B1B,E為CC1中點(1)求證:BB1AC;(2)若AA12,AB,直線A1C1與平面ABB1A1所成角為45,求平面A1B1E與平面ABC所成銳二面角的余弦值解析:(1)證明:過點C做COBB1交BB1于O,因為面BB1C1C面AA1B1B,BB1C1C面AA1B1BB1B,所以CO面AA1BB1,故COBB1,又因為ACBC,OCOC,所以RtAOCRtBOC,故OAOB,因為B1A1AOBA45,所以AOBB1,又因為BB1CO,所以BB1面AOC,故BB1AC.(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點,OA,OB,OC所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)O xyz,A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),A1(1,2,0),B1(0,1,0),E(0,1,1),設(shè)面A1B1E的法向量為n(x1,y1,z1),則令x11,得n(1,1,0)設(shè)面ABC的法向量為m(x2,y2,z2),則令x21,得m(1,1,1),cosm,n,面A1B1E與面ABC所成銳二面角的余弦值為.4(2018臨沂模擬)如圖,在矩形ABCD中,AB,BC4,E是邊AD上一點,且AE3,把ABE沿BE翻折,使得點A到A滿足平面ABE與平面BCDE垂直(如圖)(1)若點P在棱AC上,且CP3PA,求證:DP平面ABE;(2)求二面角BAED的余弦值的大小解析:(1)證明:在圖中,過P作PQBC交AB于點Q,連接QE.因為CP3PA,所以,因為BC4,所以PQ1,因為DEBC,DE1,所以DE綊PQ,所以四邊形QEDP為平行四邊形,所以DPEQ.因為DP平面ABE,EQ平面ABE,所以DP平面ABE.(2)在圖中,過A作AFBE于點F,因為平面ABE平面BCDE.所以AF平面BCDE.因為BAE90,AB,AE3,所以AEB30,AF,EF,過F作FGDE交DE的延長線于點G,則FG,EG.如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,D(0,0,0),E(1,0,0),B(4,0),C(0,0),A,F(xiàn),則,(1,0,0)設(shè)平面ABE的法向量n(x,y,z),則即可取n(1,0)設(shè)平面ADE的法向量m(x1,y1,z1),則即可取m(0,2,)所以cosm,n.因為二面角BAED為鈍角,所以二面角BAED的余弦值的大小為.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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