《2020版高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.2.2 橢圓的幾何性質（第3課時）直線與橢圓的位置關系（二）學案（含解析）新人教B版選修2-1.docx》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020版高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.2.2 橢圓的幾何性質（第3課時）直線與橢圓的位置關系（二）學案（含解析）新人教B版選修2-1.docx（17頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

第3課時　直線與橢圓的位置關系(二) 題型一　弦長問題 例1　已知動點P與平面上兩定點A(－，0)，B(，0)連線的斜率的積為定值－. (1)試求動點P的軌跡方程C； (2)設直線l：y＝kx＋1與曲線C交于M，N兩點，當|MN|＝時，求直線l的方程. 考點　 題點　 解　(1)設動點P的坐標是(x，y)， 由題意得kPAkPB＝－. ∴＝－，化簡整理得＋y2＝1. 故P點的軌跡方程C是＋y2＝1(x≠)． (2)設直線l與曲線C的交點為M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由得(1＋2k2)x2＋4kx＝0. Δ＝16k2－4(1＋2k2)＝8k2－4>0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝0. |MN|＝＝， 整理得k4＋k2－2＝0，解得k2＝1或k2＝－2(舍)． ∴k＝1，經(jīng)檢驗符合題意． ∴直線l的方程是y＝x＋1， 即x－y＋1＝0或x＋y－1＝0. 反思感悟　求弦長的兩種方法 (1)求出直線與橢圓的兩交點坐標，用兩點間距離公式求弦長． (2)聯(lián)立直線與橢圓的方程，消元得到關于一個未知數(shù)的一元二次方程，利用弦長公式：|P1P2|＝，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的兩根，由根與系數(shù)的關系求出兩根之和與兩根之積后代入公式可求得弦長． 跟蹤訓練1　已知斜率為1的直線l過橢圓＋y2＝1的右焦點F，交橢圓于A，B兩點，求弦AB的長． 考點　 題點　 解　設A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 由橢圓方程知a2＝4，b2＝1，∴c＝＝， ∴F(，0)，∴直線l的方程為y＝x－， 將其代入橢圓方程，并化簡、整理得5x2－8x＋8＝0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝， ∴|AB|＝|x1－x2| ＝ ＝＝. 題型二　中點弦問題 例2　已知橢圓＋＝1的弦AB的中點M的坐標為(2,1)，求直線AB的方程． 考點　 題點　 解　方法一　根與系數(shù)的關系、中點坐標公式法 由橢圓的對稱性，知直線AB的斜率存在， 設直線AB的方程為y－1＝k(x－2)． 將其代入橢圓方程并整理， 得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是上述方程的兩根， 于是x1＋x2＝. 又M為線段AB的中點， ∴＝＝2，解得k＝－. 故所求直線的方程為x＋2y－4＝0. 方法二　點差法 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2. ∵M(2,1)為線段AB的中點， ∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 又A，B兩點在橢圓上， 則x＋4y＝16，x＋4y＝16， 兩式相減，得(x－x)＋4(y－y)＝0， 于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0. ∴＝－＝－＝－， 即kAB＝－. 故所求直線的方程為x＋2y－4＝0. 方法三　對稱點法(或共線法) 設所求直線與橢圓的一個交點為A(x，y)， 由于點M(2,1)為線段AB的中點， 則另一個交點為B(4－x,2－y)． ∵A，B兩點都在橢圓上， ∴ ①－②，得x＋2y－4＝0. 即點A的坐標滿足這個方程，根據(jù)對稱性，點B的坐標也滿足這個方程，而過A，B兩點的直線只有一條，故所求直線的方程為x＋2y－4＝0. 反思感悟　解決橢圓中點弦問題的兩種方法 ①根與系數(shù)的關系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構成方程組，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關系以及中點坐標公式解決． ②點差法：利用交點在曲線上，坐標滿足方程，將交點坐標分別代入橢圓方程，然后作差，構造出中點坐標和斜率的關系，具體如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是橢圓＋＝1(a>b>0)上的兩個不同的點，M(x0，y0)是線段AB的中點，則 由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，變形得＝－＝－，即kAB＝－. 跟蹤訓練2　已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交E于A，B兩點．若AB的中點坐標為(1，－1)，則E的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 考點　 題點　 答案　D 解析　設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則 ①－②得＝－. ∴＝－. ∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，∴kAB＝. 而kAB＝＝，∴＝，∴a2＝2b2， ∴c2＝a2－b2＝b2＝9，∴b＝c＝3，a＝3， ∴E的方程為＋＝1. 題型三　與橢圓有關的最值或范圍問題 例3　已知橢圓C：4x2＋y2＝1. (1)P(m，n)是橢圓C上一點，求m2＋n2的取值范圍； (2)設直線y＝x＋m與橢圓C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，求△AOB面積的最大值及△AOB面積最大時的直線方程． 考點　直線與橢圓的位置關系 題點　橢圓中的定點、定值、取值范圍問題 解　(1)m2＋n2表示原點O到橢圓C上點P的距離的平方， 則m2＋n2∈. (2)可求得O到AB的距離d＝， 將y＝x＋m代入4x2＋y2＝1， 消去y得5x2＋2mx＋m2－1＝0. 所以x1＋x2＝－，x1x2＝， |AB|＝ ＝＝， Δ＝(2m)2－45(m2－1)＝20－16m2>0，－b>0)，過點A(－a,0)，B(0，b)的直線傾斜角為，原點到該直線的距離為. (1)求橢圓的方程； (2)斜率大于零的直線過D(－1,0)與橢圓分別交于點E，F(xiàn)，若＝2，求直線EF的方程； (3)對于D(－1,0)，是否存在實數(shù)k，使得直線y＝kx＋2分別交橢圓于點P，Q，且|DP|＝|DQ|，若存在，求出k的值，若不存在，請說明理由． 考點　直線與橢圓的位置關系 題點　求橢圓中的直線方程 解　(1)由＝，ab＝， 得a＝，b＝1， 所以橢圓的方程是＋y2＝1. (2)設EF：x＝my－1(m>0)代入＋y2＝1， 得(m2＋3)y2－2my－2＝0. 設E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)． 由＝2，得y1＝－2y2， 由y1＋y2＝－y2＝，y1y2＝－2y＝得2＝， ∴m＝1或m＝－1(舍去)， 直線EF的方程為x＝y(tǒng)－1，即x－y＋1＝0. (3)記P(x1′，y1′)，Q(x2′，y2′)． 將y＝kx＋2代入＋y2＝1， 得(3k2＋1)x2＋12kx＋9＝0，(*) x1′，x2′是此方程的兩個相異實根． 設PQ的中點為M，則xM＝＝－， yM＝kxM＋2＝， 由|DP|＝|DQ|，得DM⊥PQ， ∴kDM＝＝＝－， ∴3k2－4k＋1＝0，得k＝1或k＝. 但k＝1，k＝均使方程(*)沒有兩相異實根． 故這樣的k不存在． [素養(yǎng)評析]　本例(2)(3)均采用了“設而不求”的數(shù)學運算策略，特別(3)利用定點D與弦端點的幾何關系，由設而不求的思想方法，轉換成坐標關系，構造出關于k的方程，減小了數(shù)學運算的難度，提高了解題效率. 1．若直線l：2x＋by＋3＝0過橢圓C：10x2＋y2＝10的一個焦點，則b等于(　　) A．1B．1C．－1D．2 考點　 題點　 答案　B 解析　因為橢圓x2＋＝1的焦點F1(0，－3)，F(xiàn)2(0,3)，所以b＝1或－1. 2．直線y＝x＋1被橢圓＋＝1所截得的弦的中點坐標是(　　) A. B. C. D. 考點　 題點　 答案　C 解析　聯(lián)立消去y，得3x2＋4x－2＝0， 設直線與橢圓交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝－， 故AB的中點橫坐標x0＝＝－. 縱坐標y0＝x0＋1＝－＋1＝. 3．已知橢圓的方程是x2＋2y2－4＝0，則以M(1,1)為中點的弦所在直線的方程是(　　) A．x＋2y－3＝0 B．2x＋y－3＝0 C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0 考點　直線與橢圓的位置關系 題點　求橢圓中的直線方程 答案　A 解析　由題意易知所求直線的斜率存在，設過點M(1,1)的直線方程為y＝k(x－1)＋1，即y＝kx＋1－k. 由消去y， 得(1＋2k2)x2＋(4k－4k2)x＋2k2－4k－2＝0， 所以＝＝1，解得k＝－， 所以所求直線方程為y＝－x＋， 即x＋2y－3＝0. 4．過橢圓＋＝1的右焦點F作與x軸垂直的直線與橢圓交于A，B兩點，以AB為直徑的圓的面積是________． 考點　 題點　 答案　 解析　由題意可知，在＋＝1中，c＝＝， 故F(，0)． 當x＝時，y＝3＝， 所以|AB|＝， 所以以AB為直徑的圓的面積是π2＝. 5．求過點(3,0)且斜率為的直線被橢圓＋＝1所截得的線段的長度． 考點　 題點　 解　過點(3,0)且斜率為的直線方程為y＝(x－3)， 設直線與橢圓的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 將直線方程代入橢圓方程得＋＝1， 即x2－3x－8＝0. ∴x1＋x2＝3，x1x2＝－8. ∴|AB|＝ ＝＝. 解決直線與橢圓的位置關系問題，經(jīng)常利用設而不求的方法，解題步驟為： (1)設直線與橢圓的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)； (2)聯(lián)立直線與橢圓的方程； (3)消元得到關于x或y的一元二次方程； (4)利用根與系數(shù)的關系設而不求； (5)把題干中的條件轉化為x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2，進而求解． 一、選擇題 1．斜率為1的直線l與橢圓＋y2＝1相交于A，B兩點，則|AB|的最大值為(　　) A．2B.C.D. 答案　C 解析　設A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 直線l的方程為y＝x＋t， 由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0， 則x1＋x2＝－t，x1x2＝. ∴|AB|＝|x1－x2| ＝ ＝＝， 當t＝0時，|AB|max＝. 2．已知F是橢圓＋＝1的一個焦點，AB為過橢圓中心的一條弦，則△ABF面積的最大值為(　　) A．6B．15C．20D．12 考點　 題點　 答案　D 解析　S＝|OF||y1－y2|≤|OF|2b＝12. 3．已知F1為橢圓C：＋y2＝1的左焦點，直線l：y＝x－1與橢圓C交于A，B兩點，那么|F1A|＋|F1B|的值為(　　) A.B.C.D. 考點　 題點　 答案　C 解析　由聯(lián)立得3x2－4x＝0， 可知A(0，－1)，B， 又F1(－1,0)， ∴|F1A|＋|F1B|＝＋＝. 4．橢圓mx2＋ny2＝1與直線y＝1－x交于M，N兩點，過原點與線段MN中點所在直線的斜率為，則的值是(　　) A.B.C.D. 考點　直線與橢圓的位置關系 題點　直線與橢圓相交時弦中點問題 答案　A 解析　聯(lián)立方程組可得 即(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0， 設M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點P(x0，y0)， 則x0＝＝，y0＝1－x0＝1－＝， 所以kOP＝＝＝. 5．已知直線y＝－x＋1與橢圓＋＝1(a>b>0)相交于A，B兩點，若橢圓的離心率為，焦距為2，則線段AB的長是(　　) A.B．2C.D. 考點　直線與橢圓的位置關系 題點　直線與橢圓相交求弦長與三角形面積 答案　D 解析　由題意得橢圓方程為＋y2＝1， 聯(lián)立化簡得3x2－4x＝0， 得x＝0或x＝，代入直線方程得 或 不妨設A(0,1)，B， 所以|AB|＝＝. 6．經(jīng)過橢圓＋y2＝1的一個焦點作傾斜角為45的直線l，交橢圓于A，B兩點．設O為坐標原點，則等于(　　) A．－3 B．－ C．－或－3 D． 考點　直線與橢圓的位置關系 題點　直線與橢圓相交的其他問題 答案　B 解析　由＋y2＝1，得a2＝2，b2＝1，c2＝a2－b2＝1，焦點為(1,0)． 不妨設直線l過右焦點，傾斜角為45，直線l的方程為y＝x－1. 代入＋y2＝1得x2＋2(x－1)2－2＝0， 即3x2－4x＝0. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1x2＝0，x1＋x2＝，y1y2＝(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝1－＝－， 所以＝x1x2＋y1y2＝0－＝－. 7．設斜率為的直線l與橢圓＋＝1(a>b>0)交于不同的兩點，且這兩個交點在x軸上的射影恰好是橢圓的兩個焦點，則該橢圓的離心率為(　　) A.B.C.D. 考點　 題點　 答案　C 解析　兩個交點橫坐標是－c，c， 所以兩個交點分別為，， 代入橢圓方程得＋＝1， 兩邊乘以2a2b2，則c2(2b2＋a2)＝2a2b2， ∵b2＝a2－c2， c2(3a2－2c2)＝2a4－2a2c2， 2a4－5a2c2＋2c4＝0， (2a2－c2)(a2－2c2)＝0， ＝2或， ∵0b>0)的一條弦所在的直線方程是x－y＋5＝0，弦的中點是M(－4,1)，則橢圓的離心率是________． 考點　 題點　 答案　 解析　設直線x－y＋5＝0與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2，直線AB的斜率k＝＝1. 由兩式相減得 ＋＝0， ∴＝－＝1，∴＝， 故橢圓的離心率e＝＝＝. 11．已知P(1,1)為橢圓＋＝1內一定點，經(jīng)過P引一條弦，使此弦被P點平分，則此弦所在的直線方程為________________． 答案　x＋2y－3＝0 解析　方法一　易知此弦所在直線的斜率存在，所以設其方程為y－1＝k(x－1)，弦所在的直線與橢圓相交于A，B兩點，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由 消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0， ∴x1＋x2＝，又∵x1＋x2＝2， ∴＝2，解得k＝－. 故此弦所在的直線方程為y－1＝－(x－1)， 即x＋2y－3＝0. 方法二　易知此弦所在直線的斜率存在，所以設斜率為k，弦所在的直線與橢圓相交于A，B兩點， 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則＋＝1，① ＋＝1，② ①－②得＋＝0， ∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， ∴＋y1－y2＝0，∴k＝＝－. ∴此弦所在的直線方程為y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0. 三、解答題 12．已知橢圓＋＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，經(jīng)過點F1的一條直線與橢圓交于A，B兩點． (1)求△ABF2的周長； (2)若直線AB的傾斜角為，求弦長|AB|. 考點　 題點　 解　(1)橢圓＋＝1，a＝2，b＝，c＝1， 由橢圓的定義，得|AF1|＋|AF2|＝2a＝4， |BF1|＋|BF2|＝2a＝4， 又|AF1|＋|BF1|＝|AB|， ∴△ABF2的周長為|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝8. (2)由(1)可得F1(－1,0)， ∵AB的傾斜角為，則AB的斜率為1，設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 故直線AB的方程為y＝x＋1， 由整理得7y2－6y－9＝0， 由根與系數(shù)的關系得y1＋y2＝，y1y2＝－， 則由弦長公式 |AB|＝ ＝＝. 13．橢圓ax2＋by2＝1與直線x＋y－1＝0相交于A，B兩點，C是線段AB的中點，O為坐標原點，若|AB|＝2，直線OC的斜率為，求橢圓的方程． 考點　直線與橢圓的位置關系 題點　直線與橢圓相交時弦中點問題 解　易知a>0，b>0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則由題意得ax＋by＝1，① ax＋by＝1，② ②－①，得 a(x1＋x2)(x2－x1)＋b(y2＋y1)(y2－y1)＝0. ∵＝kAB＝－1，＝kOC＝， ∴b＝a. 又|AB|＝|x2－x1|＝|x2－x1|＝2， ∴|x2－x1|＝2. 由得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝， ∴|x2－x1|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝2－4＝4， 將b＝a代入上式，得a＝，b＝， ∴所求橢圓的方程為＋y2＝1. 14．已知動點P(x，y)在橢圓＋＝1上，若點A的坐標為(3,0)，||＝1，且＝0，則||的最小值是________． 考點　直線與橢圓的位置關系 題點　直線與橢圓相交的其他問題 答案　 解析　由||＝1，A(3,0)， 知點M在以A(3,0)為圓心，1為半徑的圓上運動， ∵＝0且P在橢圓上運動， ∴PM⊥AM，即PM為⊙A的切線，連接PA(如圖)， 則||＝＝， ∴當||min＝a－c＝5－3＝2時，||min＝. 15．已知點P是圓O：x2＋y2＝1上任意一點，過點P作PQ⊥y軸于點Q，延長QP到點M，使＝. (1)求點M的軌跡E的方程； (2)過點C(m,0)作圓O的切線l，交(1)中的曲線E于A，B兩點，求△AOB面積的最大值． 解　(1)設M(x，y)，∵＝， ∴P為QM的中點，又有PQ⊥y軸，∴P， ∵點P是圓O：x2＋y2＝1上的點，∴2＋y2＝1， 即點M的軌跡E的方程為＋y2＝1. (2)由題意可知直線l與y軸不垂直， 故可設l：x＝ty＋m，t∈R，A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵l與圓O：x2＋y2＝1相切， ∴＝1，即m2＝t2＋1，① 由 消去x，并整理得(t2＋4)y2＋2mty＋m2－4＝0， 其中Δ＝4m2t2－4(t2＋4)(m2－4)＝48>0， ∴y1＋y2＝－，y1y2＝.② ∴|AB|＝ ＝， 將①②代入上式得 |AB|＝＝，|m|≥1， ∴S△AOB＝|AB|1＝ ＝≤＝1， 當且僅當|m|＝，即m＝時，等號成立， ∴△AOB面積的最大值為1.