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2.5 直線與圓錐曲線
學習目標 1.通過類比直線與圓的位置關系，學會判斷直線與橢圓、雙曲線、拋物線的位置關系.2.會求直線與圓錐曲線相交所得弦的長，以及直線與圓錐曲線的綜合問題．
知識點一 直線與圓錐曲線的位置關系
直線與圓錐曲線的位置關系
直線與圓錐曲線聯(lián)立，消元得方程ax2＋bx＋c＝0.
方程特征
交點個數(shù)
位置關系
直線與橢圓
a≠0，Δ>0
2
相交
a≠0，Δ＝0
1
相切
a≠0，Δ<0
0
相離
直線與雙曲線
a＝0
1
直線與雙曲線的漸近線平行且兩者相交
a≠0，Δ>0
2
相交
a≠0，Δ＝0
1
相切
a≠0，Δ<0
0
相離
直線與拋物線
a＝0
1
直線與拋物線的對稱軸重合或平行且兩者相交
a≠0，Δ>0
2
相交
a≠0，Δ＝0
1
相切
a≠0，Δ<0
0
相離
知識點二 弦長公式
若直線l：y＝kx＋b與圓錐曲線交于兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長|AB|＝|x2－x1|＝.
1．直線與圓錐曲線有且只有一個公共點時，直線與圓錐曲線相切．( )
2．直線與圓錐曲線交點的個數(shù)就是它們的方程聯(lián)立方程組的解的個數(shù)．( √ )
題型一 直線與圓錐曲線的位置關系判定
例1 已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：＋＝1.試問當m取何值時，直線l與橢圓C：(1)有兩個不重合的公共點；(2)有且只有一個公共點；(3)沒有公共點？
解 直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組
將①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，③
這個關于x的一元二次方程的判別式
Δ＝(8m)2－49(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)由Δ>0，得－3
3.
從而當m<－3或m>3時，方程③沒有實數(shù)根，可知原方程組沒有實數(shù)解．這時直線l與橢圓C沒有公共點．
反思感悟 在討論直線與圓錐曲線的位置關系時，要先討論得到的方程二次項系數(shù)為零的情況，再考慮Δ的情況，而且不要忽略直線斜率不存在的情形．
跟蹤訓練1 已知雙曲線C：x2－＝1，直線l的斜率為k且直線l過點P(1,1)，當k為何值時，直線l與雙曲線C：(1)有一個公共點；(2)有兩個公共點；(3)無公共點？
解 設直線l：y－1＝k(x－1)，即y＝kx＋(1－k)．
由
得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0.(*)
當k2－2＝0，即k＝時，(*)式只有一解，直線l與雙曲線相交，只有一個公共點．
當k2－2≠0時，Δ＝24－16k，
若Δ＝0，即k＝，方程(*)只有一解，直線與雙曲線相切，只有一個公共點；
若Δ>0，即k<且k≠，方程(*)有兩解，直線與雙曲線相交，有兩個公共點；
若Δ<0，即k>，方程(*)無解，直線與雙曲線無公共點．
綜上，(1)當k＝或k＝時，直線l與雙曲線只有一個公共點；
(2)當k<且k≠時，直線l與雙曲線有兩個公共點；
(3)當k>時，直線l與雙曲線無公共點．
題型二 中點弦及弦長問題
例2 已知點A(－1,0)，B(1,0)，直線AM，BM相交于點M，且kMAkMB＝－2.
(1)求點M的軌跡C的方程；
(2)過定點(0,1)作直線PQ與曲線C交于P，Q兩點，且|PQ|＝，求直線PQ的方程．
解 (1)設M(x，y)，則kMA＝，kMB＝(x≠1)，
∴＝－2，∴x2＋＝1(x≠1)．
(2)當直線PQ的斜率不存在，即PQ是橢圓的長軸時，其長為2，顯然不合題意，即直線PQ的斜率存在，
設直線PQ的方程是y＝kx＋1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
則y1－y2＝k(x1－x2)，
聯(lián)立消去y得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0.
∵Δ＝4k2＋4(k2＋2)＝8(k2＋1)>0，∴k∈R，
x1＋x2＝－，x1x2＝－，
∴|PQ|＝
＝＝2，
∴|PQ|＝＝2，k2＝2，k＝，
∴直線PQ的方程是yx－1＝0.
反思感悟 直線和圓錐曲線相交問題的通法就是利用兩個方程聯(lián)立得到的一元二次方程，利用弦長公式和根與系數(shù)的關系解決(要考慮特殊情形)；對于中點弦問題可采用點差法，但要驗證得到的直線是否適合題意．
跟蹤訓練2 中心在原點、對稱軸為坐標軸的橢圓與直線x＋y－1＝0相交于A，B，C是AB中點，若|AB|＝2，OC的斜率為，求橢圓的方程．
解 設橢圓方程為ax2＋by2＝1(a>0，b>0，a≠b)．
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入橢圓方程并作差得，
a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
而＝－1，＝kOC＝，
代入上式可得b＝a，
再由|AB|＝|x2－x1|＝2，
其中x1，x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的兩根，
故2－4＝4，
將b＝a代入得a＝，∴b＝.
∴所求橢圓的方程是x2＋y2＝3.
題型三 圓錐曲線中的最值及范圍問題
例3 已知△AOB的一個頂點為拋物線y2＝2x的頂點O，A，B兩點都在拋物線上，且∠AOB＝90.
(1)求證：直線AB必過一定點；
(2)求△AOB面積的最小值．
(1)證明 設OA所在直線的方程為y＝kx(易知k≠0)，則直線OB的方程為y＝－x.
由得A，
由得B(2k2，－2k)．
∴直線AB所在直線方程為(y＋2k)＝(x－2k2)，化簡得x－y－2＝0，
∴直線過定點P(2,0)．
(2)解 由于直線AB所在直線方程過定點P(2,0)，
∴可設直線AB的方程為x＝my＋2.
由得y2－2my－4＝0.
∴|y1－y2|＝＝.
∴S△AOB＝|y1||OP|＋|y2||OP|＝|OP||y1－y2|＝|y1－y2|＝≥4.
∴△AOB面積的最小值為4.
反思感悟 (1)求參數(shù)范圍的方法
根據(jù)已知條件建立等式或不等式的函數(shù)關系，再求參數(shù)范圍．
(2)求最值問題的方法
①幾何法
題目中給出的條件有明顯的幾何特征，則考慮用圖象來解決．
②代數(shù)法
題目中給出的條件和結論幾何特征不明顯，則可以建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值，求最值的常見方法是均值不等式法，單調(diào)性法等．
跟蹤訓練3 如圖，過拋物線y2＝x上一
點A(4，2)作傾斜角互補的兩條直線AB，AC交拋物線于B，C兩點，求證：直線BC的斜率是定值．
證明 設kAB＝k(k≠0)，
∵直線AB，AC的傾斜角互補，
∴kAC＝－k(k≠0)，∴AB的方程是y＝k(x－4)＋2.
由方程組消去y后，整理得
k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.
∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程組的解．
∴4xB＝，即xB＝，
設C(xC，yC)，
以－k代換xB中的k，得xC＝，
∴kBC＝＝
＝＝＝－.
∴直線BC的斜率為定值．
1．過點P(0,1)與拋物線y2＝x有且只有一個交點的直線有( )
A．4條B．3條C．2條D．1條
考點 直線與拋物線的位置關系
題點 直線與拋物線公共點個數(shù)問題
答案 B
解析 當直線垂直于x軸時，滿足條件的直線有1條；
當直線不垂直于x軸時，滿足條件的直線有2條，故選B.
2．若直線y＝kx＋1與橢圓＋＝1總有公共點，則m的取值范圍是( )
A．m>1 B．m≥1或0m，則≥1，
若50，b>0)，如圖所示，雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，而kBF＝－.
∴＝－1，整理得b2＝ac.
∴c2－a2－ac＝0.兩邊同除以a2，得e2－e－1＝0，
解得e＝或e＝(舍去)，故選D.
6．直線y＝x－3與拋物線y2＝4x交于A，B兩點，過A，B兩點向拋物線的準線作垂線，垂足分別為P，Q，則梯形APQB的面積為( )
A．48B．56C．64D．72
答案 A
解析 由得x2－10x＋9＝0，
解得或
設|AP|＝10，|BQ|＝2，又|PQ|＝8，
∴梯形APQB的面積為
S＝(|AP|＋|BQ|)|PQ|＝(10＋2)8＝48.
7．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為.雙曲線x2－y2＝1的漸近線與橢圓C有四個交點，以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 D
解析 ∵橢圓的離心率為，∴＝＝，
∴a＝2b.∴橢圓方程為x2＋4y2＝4b2.
∵雙曲線x2－y2＝1的漸近線方程為xy＝0，
∴漸近線xy＝0與橢圓x2＋4y2＝4b2在第一象限的交點為，∴由圓錐曲線的對稱性得四邊形在第一象限部分的面積為bb＝4，
∴b2＝5，∴a2＝4b2＝20.∴橢圓C的方程為＋＝1.
8．已知橢圓＋＝1(a>b>0)被拋物線y2＝4x的準線截得的弦長為3，以坐標原點為圓心，以橢圓的長半軸長為半徑的圓與直線y＝x＋2相切，則橢圓的離心率為( )
A.B.C.D.
答案 A
解析 由題意得拋物線準線方程為x＝－1，且橢圓被拋物線截得的弦長為3，
故橢圓過點，將該點代入橢圓方程，
得＋＝1，①
又點(0,0)到x－y＋2＝0的距離為a，
即＝a，②
由②得a＝2，代入①得b＝.
故c＝＝1，
所以其離心率e＝＝.
二、填空題
9．橢圓＋y2＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P為橢圓上一動點，若∠F1PF2為鈍角，則點P的橫坐標的取值范圍是________．
答案
解析 設橢圓上一點P的坐標為(x，y)，
則＝(x＋，y)，＝(x－，y)．
∵∠F1PF2為鈍角，∴<0，
即x2－3＋y2<0，(*)
∵y2＝1－，代入(*)式得x2－3＋1－<0，
x2<2，∴x2<.
解得－1)的點的軌跡，給出下列三個結論：
①曲線C過坐標原點；②曲線C關于坐標原點對稱；③若點P在曲線C上，則△F1PF2的面積不大于a2.
其中所有正確結論的序號是__________．
答案?、冖?
解析 設曲線C上任一點P(x，y)，由|PF1||PF2|＝a2，可得＝a2 (a>1)，將原點(0,0)代入，等式不成立，故①不正確．
∵點P(x，y)在曲線C上，∴點P關于原點的對稱點為P′(－x，－y)，將P′代入曲線C的方程，等式成立，故②正確．設∠F1PF2＝θ，則＝|PF1||PF2|sinθ＝a2sinθ≤a2，故③正確．
三、解答題
12．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，其中左焦點為F(－2,0)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若直線y＝x＋m與橢圓C交于不同的兩點A，B且線段AB的中點M在圓x2＋y2＝1上，求m的值．
解 (1)由題意，得解得
∴橢圓C的方程為＋＝1.
(2)設點A，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，線段AB的中點為M(x0，y0)，
由消去y得，3x2＋4mx＋2m2－8＝0，
Δ＝96－8m2＞0，∴－2＜m＜2，
∵x0＝＝－，∴y0＝x0＋m＝，
∵點M(x0，y0)在圓x2＋y2＝1上，
∴2＋2＝1，∴m＝.
13．已知直線l：y＝k(x＋1)與拋物線y2＝－x交于A，B兩點，O為坐標原點．
(1)若△OAB的面積為，求k的值；
(2)求證：以弦AB為直徑的圓必過原點.
(1)解 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，原點O到直線AB的距離為d，聯(lián)立得化簡整理得k2x2＋(2k2＋1)x＋k2＝0，由題意知k≠0，
由根與系數(shù)的關系得，x1＋x2＝－，x1x2＝1.
由弦長公式，得|AB|＝|x1－x2|
＝，
由點到直線距離公式得d＝，
得S△OAB＝|AB|d＝＝，
解得k＝.
(2)證明 ∵kOA＝，kOB＝，∴kOAkOB＝.
∵y＝－x1，y＝－x2，∴x1x2＝(y1y2)2，
∴kOAkOB＝，
由
得ky2＋y－k＝0，∴y1y2＝－1，
即kOAkOB＝－1，∴OA⊥OB，
∴以弦AB為直徑的圓必過原點．
14．有一動圓P恒過定點F(a,0)(a＞0)且與y軸相交于點A，B，若△ABP為正三角形，則點P的軌跡為( )
A．直線B．圓C．橢圓D．雙曲線
答案 D
解析 設P(x，y)，動圓P的半徑為R，由于△ABP為正三角形．
∴P到y(tǒng)軸的距離d＝R，即|x|＝R.
而R＝|PF|＝，
∴|x|＝.
整理得(x＋3a)2－3y2＝12a2，
即－＝1.
∴點P的軌跡為雙曲線．
15．在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，B為短軸的一個端點，E為橢圓C上的一點，滿足＝＋，且△EF1F2的周長為2(＋1)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設點M是線段OF2上的一點，過點F2且與x軸不垂直的直線l交橢圓C于P，Q兩點，若△MPQ是以M為頂點的等腰三角形，求點M到直線l的距離的取值范圍．
解 (1)由已知得F1(－c,0)，不妨設B(0，b)，
則＝(－c,0)，＝(0，b)，
所以＝，即E.
又點E在橢圓C上，所以＋＝1，
得＝.①
又△EF1F2的周長為2(＋1)，
所以2a＋2c＝2＋2.②
由①②，得c＝1，a＝，所以b＝1.
所以所求橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)設點M(m,0)(0
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2020版高中數(shù)學
第二章
圓錐曲線與方程
2.5
直線與圓錐曲線學案含解析新人教B版選修2-1
2020
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