《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.1.1 第1課時(shí) 合情推理學(xué)案 蘇教版選修1 -2.docx》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.1.1 第1課時(shí) 合情推理學(xué)案 蘇教版選修1 -2.docx（13頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

第1課時(shí)　歸納推理 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解歸納推理的含義，能利用歸納進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理.2.了解歸納推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用． 知識(shí)點(diǎn)一　推理 1．推理的定義 從一個(gè)或幾個(gè)已知命題得出另一個(gè)新命題的思維過(guò)程稱為推理． 2．推理的組成 任何推理都包含前提和結(jié)論兩個(gè)部分，前提是推理所依據(jù)的命題，它告訴我們已知的知識(shí)是什么；結(jié)論是根據(jù)前提推得的命題，它告訴我們推出的知識(shí)是什么． 知識(shí)點(diǎn)二　歸納推理 思考　(1)銅、鐵、鋁、金、銀等金屬都能導(dǎo)電，猜想：一切金屬都能導(dǎo)電． (2)統(tǒng)計(jì)學(xué)中，從總體中抽取樣本，然后用樣本估計(jì)總體． 以上屬于什么推理？ 答案　屬于歸納推理．符合歸納推理的定義特征，即由部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理． 梳理　(1)歸納推理的定義 從個(gè)別事實(shí)中推演出一般性的結(jié)論，像這樣的推理通常稱為歸納推理． (2)歸納推理的思維過(guò)程大致如圖 ―→―→ (3)歸納推理的特點(diǎn) ①歸納推理的前提是幾個(gè)已知的特殊現(xiàn)象，歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象，該結(jié)論超越了前提所包容的范圍． ②由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測(cè)的性質(zhì)，結(jié)論是否真實(shí)，還需經(jīng)過(guò)邏輯推理和實(shí)踐檢驗(yàn)，因此，它不能作為數(shù)學(xué)證明的工具． ③歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理，通過(guò)歸納推理得到的猜想，可以作為進(jìn)一步研究的起點(diǎn)，幫助人們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題． 1．由個(gè)別到一般的推理為歸納推理．(　√　) 2．歸納的前提是特殊現(xiàn)象，歸納是立足于觀察或?qū)嶒?yàn)的基礎(chǔ)上的，結(jié)論一定正確．(　　) 類型一　數(shù)列中的歸納推理 例1　已知f(x)＝，設(shè)f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n>1，且n∈N*)，則f3(x)的表達(dá)式為_(kāi)_______，猜想fn(x)(n∈N*)的表達(dá)式為_(kāi)_______． 答案　f3(x)＝　fn(x)＝ 解析　∵f(x)＝，∴f1(x)＝. 又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x))， ∴f2(x)＝f1(f1(x))＝＝， f3(x)＝f2(f2(x))＝＝， f4(x)＝f3(f3(x))＝＝， f5(x)＝f4(f4(x))＝＝， ∴根據(jù)前幾項(xiàng)可以猜想fn(x)＝. 引申探究　 在本例中，若把“fn(x)＝fn－1(fn－1(x))”改為“fn(x)＝f(fn－1(x))”，其他條件不變，試猜想fn(x)(n∈N*)的表達(dá)式． 解　∵f(x)＝，∴f1(x)＝. 又∵fn(x)＝f(fn－1(x))， ∴f2(x)＝f(f1(x))＝＝， f3(x)＝f(f2(x))＝＝， f4(x)＝f(f3(x))＝＝. 因此，可以猜想fn(x)＝. 反思與感悟　在數(shù)列問(wèn)題中，常常用到歸納推理猜測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和． (1)通過(guò)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)或前n項(xiàng)和． (2)根據(jù)數(shù)列中的前幾項(xiàng)或前n項(xiàng)和與對(duì)應(yīng)序號(hào)之間的關(guān)系求解． (3)運(yùn)用歸納推理寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式． 跟蹤訓(xùn)練1　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝－，且Sn＋＋2＝an(n≥2)，計(jì)算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表達(dá)式． 解　當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1＝－； 當(dāng)n＝2時(shí)，＝－2－S1＝－，所以S2＝－； 當(dāng)n＝3時(shí)，＝－2－S2＝－，所以S3＝－； 當(dāng)n＝4時(shí)，＝－2－S3＝－，所以S4＝－. 猜想：Sn＝－，n∈N*. 類型二　等式與不等式中的歸納推理 例2　(1)觀察下列等式： 1－＝， 1－＋－＝＋， 1－＋－＋－＝＋＋， …， 據(jù)此規(guī)律，第n個(gè)等式可為_(kāi)________________________________． 答案　1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋ 解析　等式左邊的特征：第1個(gè)有2項(xiàng)，第2個(gè)有4項(xiàng)，第3個(gè)有6項(xiàng)，且正負(fù)交錯(cuò)，故第n個(gè)等式左邊有2n項(xiàng)且正負(fù)交錯(cuò)，應(yīng)為1－＋－＋…＋－.等式右邊的特征：第1個(gè)有1項(xiàng)，第2個(gè)有2項(xiàng)，第3個(gè)有3項(xiàng)，故第n個(gè)等式右邊有n項(xiàng)，且由前幾個(gè)等式的規(guī)律不難發(fā)現(xiàn)，第n個(gè)等式右邊應(yīng)為＋＋…＋. (2)觀察下列式子： 1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，猜想第n個(gè)不等式為_(kāi)_______________________． 答案　1＋＋＋…＋< 解析　第1個(gè)不等式：1＋<， 第2個(gè)不等式：1＋＋<， 第3個(gè)不等式：1＋＋＋<， …， 故猜想第n個(gè)不等式： 1＋＋＋＋…＋<. 反思與感悟　已知等式或不等式進(jìn)行歸納推理的方法 (1)要特別注意所給幾個(gè)等式(或不等式)中項(xiàng)數(shù)和次數(shù)等方面的變化規(guī)律． (2)要特別注意所給幾個(gè)等式(或不等式)中結(jié)構(gòu)形成的特征． (3)提煉出等式(或不等式)的綜合特點(diǎn)． (4)運(yùn)用歸納推理得出一般結(jié)論． 跟蹤訓(xùn)練2　(1)已知x>1，等式x＋>2；x2＋>3；x3＋>4；…，可以推廣為_(kāi)_______________． 答案　xn＋>n＋1 解析　不等式左邊是兩項(xiàng)的和，第一項(xiàng)是x，x2，x3，…，右邊的數(shù)是2,3,4，…，利用此規(guī)律觀察所給不等式，都是寫成xn＋>n＋1的形式，從而歸納出一般性結(jié)論：xn＋>n＋1. (2)觀察下列等式，并從中歸納出一般結(jié)論． 1＝12， 2＋3＋4＝32， 3＋4＋5＋6＋7＝52， 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72， 5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92， …… 解　等號(hào)的左端是連續(xù)自然數(shù)的和，且項(xiàng)數(shù)為2n－1，等號(hào)的右端是項(xiàng)數(shù)的平方． 所以猜想結(jié)論：n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*)． 類型三　圖形中的歸納推理 例3　如圖，第n個(gè)圖形是由正n＋2邊形“擴(kuò)展”而來(lái)(n＝1,2,3，…)，則第n個(gè)圖形中頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______． 答案　(n＋2)(n＋3) 解析　由已知中的圖形我們可以得到： 當(dāng)n＝1時(shí)，頂點(diǎn)共有12＝34(個(gè))， 當(dāng)n＝2時(shí)，頂點(diǎn)共有20＝45(個(gè))， 當(dāng)n＝3時(shí)，頂點(diǎn)共有30＝56(個(gè))， 當(dāng)n＝4時(shí)，頂點(diǎn)共有42＝67(個(gè))， …， 則第n個(gè)圖形共有頂點(diǎn)(n＋2)(n＋3)個(gè)． 反思與感悟　圖形中歸納推理的特點(diǎn)及思路 (1)從圖形的數(shù)量規(guī)律入手，找到數(shù)值變化與數(shù)量的關(guān)系． (2)從圖形結(jié)構(gòu)變化規(guī)律入手，找到圖形的結(jié)構(gòu)每發(fā)生一次變化后，與上一次比較，數(shù)值發(fā)生了怎樣的變化． 跟蹤訓(xùn)練3　黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案，則第n個(gè)圖案中有黑色地面磚的塊數(shù)是________． 答案　5n＋1 解析　觀察圖案知，從第一個(gè)圖案起，每個(gè)圖案中黑色地面磚的個(gè)數(shù)組成首項(xiàng)為6，公差為5的等差數(shù)列，從而第n個(gè)圖案中黑色地面磚的個(gè)數(shù)為6＋(n－1)5＝5n＋1. 1．觀察下列各式： a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝________. 考點(diǎn)　歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用 答案　123 解析　利用歸納法：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝3＋1＝4，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，規(guī)律為從第三組開(kāi)始，其結(jié)果為前兩組結(jié)果的和． 2．按照?qǐng)D1、圖2、圖3的規(guī)律，第10個(gè)圖中圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______． 答案　40 解析　圖1中的點(diǎn)數(shù)為4＝14， 圖2中的點(diǎn)數(shù)為8＝24， 圖3中的點(diǎn)數(shù)為12＝34，…， 所以圖10中的點(diǎn)數(shù)為104＝40. 3．已知a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，則數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式an＝________. 答案　(n∈N*) 解析　a1＝，a2＝，a3＝，a4＝， 則an＝(n∈N*)． 4．觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(－x)＝________. 考點(diǎn)　歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用 答案　－g(x) 解析　由所給函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)知，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)．因此當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí)，其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù)， 故g(－x)＝－g(x)． 5．將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣： 按照以上排列的規(guī)律，求第n行(n≥3)從左向右數(shù)第3個(gè)數(shù)． 解　前(n－1)行共有正整數(shù)[1＋2＋…＋(n－1)]個(gè)，即個(gè)，因此第n行第3個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第個(gè)，即為(n∈N*)． 1．歸納推理的一般步驟 (1)通過(guò)觀察某類事物的個(gè)別情況，發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)． (2)對(duì)這些性質(zhì)進(jìn)行歸納整理，得到一個(gè)合理的結(jié)論． (3)猜想這個(gè)結(jié)論對(duì)該類事物都成立． 2．歸納推理應(yīng)注意的問(wèn)題 歸納推理可從具體事例中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，但應(yīng)注意，僅根據(jù)一系列有限的特殊事例，所得出的一般結(jié)論不一定可靠，其結(jié)論的正確與否，還要經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的理論證明. 一、填空題 1．如圖所示的是一串白黑相間排列的珠子，按這種規(guī)律往下排，那么第36顆珠子的顏色是________色． 答案　白 解析　通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，每5顆珠子為一組，前3顆為白色，后2顆為黑色，由36＝57＋1，得第36顆珠子一定為白色． 2．根據(jù)給出的數(shù)塔猜測(cè)1234569＋7＝________. 19＋2＝11 129＋3＝111 1239＋4＝1111 12349＋5＝11111 123459＋6＝111111 … 答案　1111111 解析　由數(shù)塔猜測(cè)應(yīng)是各位都是1的七位數(shù)， 即1111111. 3．已知f(x)＝，定義f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝[f1(x)]′，…，fn＋1(x)＝[fn(x)]′，n∈N*.經(jīng)計(jì)算f1(x)＝，f2(x)＝，f3(x)＝，…，照此規(guī)律，fn(x)＝________. 答案　(n∈N*) 解析　觀察各個(gè)式子，發(fā)現(xiàn)分母都是ex，分子依次是－(x－1)，(x－2)，－(x－3)，故fn(x)＝(n∈N*)． 4．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，則a33＝________. 答案　3 解析　∵a1＝3，a2＝6，a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3, a8＝6，a9＝3，a10＝－3，a11＝－6，a12＝－3，∴周期T＝6，∴a33＝a3＝3. 5．根據(jù)三角恒等變換，可得如下等式： cosθ＝cosθ， cos2θ＝2cos2θ－1， cos3θ＝4cos3θ－3cosθ， cos4θ＝8cos4θ－8cos2θ＋1， cos5θ＝16cos5θ－20cos3θ＋5cosθ. 依此規(guī)律，猜想cos6θ＝32cos6θ＋mcos4θ＋ncos2θ－1，其中m＋n＝________. 答案　－30 解析　由所給一系列式子，得等式右邊各系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)之和為1，即32＋m＋n－1＝1，得m＋n＝－30. 6．已知數(shù)列{an}滿足條件(n－1)an＋1＝(n＋1)an－n－1，且a2＝6，設(shè)bn＝an＋n(n∈N*)，則數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn＝________. 答案　2n2(n∈N*) 解析　a1＝1，a2＝6，a3＝15，a4＝28， b1＝2，b2＝8，b3＝18，b4＝32. 我們發(fā)現(xiàn)a1＝1＝11；a2＝6＝23； a3＝15＝35；a4＝28＝47；…，猜想an＝n(2n－1)， 進(jìn)而猜想bn＝2n2－n＋n＝2n2(n∈N*)． 7．用火柴棒擺“金魚”，如圖所示．按照?qǐng)D中所示的規(guī)律，第n個(gè)“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為_(kāi)_______． 答案　6n＋2 解析　從①②③可以看出，從圖②開(kāi)始每個(gè)圖中的火柴棒都比前一個(gè)圖中的火柴棒多6根，故火柴棒數(shù)成等差數(shù)列，第一個(gè)圖中火柴棒為8根，故可歸納出第n個(gè)“金魚”圖需火柴棒的根數(shù)為6n＋2. 8．觀察下列等式： 1＋1＝21， (2＋1)(2＋2)＝2213， (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23135， … 照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為_(kāi)___________________________________________________． 答案　(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n13…(2n－1) 解析　觀察規(guī)律可知，左邊為n項(xiàng)的積，最小項(xiàng)和最大項(xiàng)依次為(n＋1)，(n＋n)，右邊為連續(xù)奇數(shù)之積乘以2n，則第n個(gè)等式為(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n13…(2n－1)． 9．經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)下列不等式：＋<2，＋<2，＋<2，…，根據(jù)以上不等式的規(guī)律，試寫出一個(gè)對(duì)正實(shí)數(shù)a，b都成立的條件不等式：____________________________________. 答案　已知a，b為正實(shí)數(shù)，且a≠b，若a＋b＝20，則＋<2 10．觀察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …， 照此規(guī)律，第n個(gè)等式為_(kāi)_______． 答案　12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1 解析　12＝1， 12－22＝－(1＋2)， 12－22＋32＝1＋2＋3， 12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)， …， 12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2 ＝(－1)n＋1(1＋2＋…＋n)＝(－1)n＋1. 11．定義A*B，B*C，C*D，D*B分別對(duì)應(yīng)下列圖形 那么下列圖形中，可以表示A*D，A*C的分別是________．(填序號(hào)) 答案　(2)，(4) 解析　由已知圖形，抓共性不難總結(jié)出： A“|”，B“□”(大)，C“—”，D“□”(小)． 故A*D為(2)，A*C為(4)． 二、解答題 12．已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)a1＝2，且an＋1＝(n＝1,2，…)，試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式． 解　∵a1＝2，an＋1＝(n＝1,2，…)， ∴a1＝，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝. 由此發(fā)現(xiàn)分母依次為1,3,5,7，…，分子都是2. ∴歸納猜想得an＝(n∈N*)． 13．已知sin230＋sin290＋sin2150＝， sin25＋sin265＋sin2125＝， sin221＋sin281＋sin2141＝. 通過(guò)觀察上述等式的規(guī)律，寫出一般性規(guī)律的命題，并給出證明． 解　猜想：sin2(α－60)＋sin2α＋sin2(α＋60)＝. 證明如下：sin2(α－60)＋sin2α＋sin2(α＋60) ＝[1－cos(2α－120)]＋(1－cos 2α)＋[1－cos(2α＋120)] ＝[(1－cos 2αcos 120－sin 2αsin 120)＋(1－cos 2α)＋(1－cos 2αcos 120＋sin 2αsin 120)] ＝(3－2cos2αcos120－cos2α) ＝ ＝(3＋cos2α－cos2α)＝. 三、探究與拓展 14．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝(n∈N*)，f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，試通過(guò)計(jì)算f(1)，f(2)，f(3)的值，推測(cè)出f(n)的值． 解　因?yàn)閍n＝，所以a1＝， f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)， 所以f(1)＝1－a1＝1－＝， f(2)＝(1－a1)(1－a2)＝f(1)＝＝＝， f(3)＝(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝f(2)＝＝， 由此猜想：f(n)＝(n∈N*)． 15．根據(jù)下列條件，寫出數(shù)列中的前4項(xiàng)，并歸納猜想它的通項(xiàng)公式． (1)a1＝3，an＋1＝2an＋1； (2)a1＝a，an＋1＝； (3)對(duì)一切的n∈N*，an>0，且2＝an＋1. 解　(1)由已知可得a1＝3＝22－1， a2＝2a1＋1＝23＋1＝7＝23－1， a3＝2a2＋1＝27＋1＝15＝24－1， a4＝2a3＋1＝215＋1＝31＝25－1. 猜想an＝2n＋1－1，n∈N*. (2)由已知可得a1＝a， a2＝＝，a3＝＝， a4＝＝. 猜想an＝(n∈N*)． (3)∵2＝an＋1， ∴2＝a1＋1，即2＝a1＋1， ∴a1＝1.又2＝a2＋1， ∴2＝a2＋1，∴a－2a2－3＝0. ∵對(duì)一切的n∈N*，an>0， ∴a2＝3. 同理可求得a3＝5，a4＝7， 猜想出an＝2n－1(n∈N*)．