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第三章 推理與證明 章末檢測(cè)試卷(三) (時(shí)間：120分鐘　滿分：150分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分) 1．觀察下列各等式：＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋＝2，依照以上各式成立的規(guī)律，得到一般性的等式為(　　) A.＋＝2 B.＋＝2 C.＋＝2 D.＋＝2 考點(diǎn)　歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用 答案　A 解析　觀察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8，顯然A成立． 2．不等式a>b與>同時(shí)成立的充要條件為(　　) A．a(chǎn)>b>0 B．a(chǎn)>0>b C.<<0 D.>>0 考點(diǎn)　分析法及應(yīng)用 題點(diǎn)　尋找結(jié)論成立的充分條件 答案　B 解析　???a>0>b. 3．?dāng)?shù)列{an}中的前四項(xiàng)分別為2，，，，則an與an＋1之間的關(guān)系為(　　) A．a(chǎn)n＋1＝an＋6 B.＝＋3 C．a(chǎn)n＋1＝ D．a(chǎn)n＋1＝ 考點(diǎn)　歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　歸納推理在數(shù)列中的應(yīng)用 答案　B 解析　觀察數(shù)列{an}的各項(xiàng)可知，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為3的等差數(shù)列，所以＝＋3. 4．在等差數(shù)列{an}中，若an<0，公差d>0，則有a4a6>a3a7，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若bn>0，q>1，則下列有關(guān)b4，b5，b7，b8的不等關(guān)系正確的是(　　) A．b4＋b8>b5＋b7 B．b5＋b7>b4＋b8 C．b4＋b7>b5＋b8 D．b4＋b5>b7＋b8 考點(diǎn)　類比推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的類比 答案　A 5．設(shè)a，b，c都是非零實(shí)數(shù)，則關(guān)于a，bc，ac，－b四個(gè)數(shù)有以下說(shuō)法： ①四個(gè)數(shù)可能都是正數(shù)； ②四個(gè)數(shù)可能都是負(fù)數(shù)； ③四個(gè)數(shù)中既有正數(shù)又有負(fù)數(shù)． 以上說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)為(　　) A．0B．1C．2D．3 考點(diǎn)　反證法及應(yīng)用 題點(diǎn)　反證法的應(yīng)用 答案　B 解析　可用反證法推出①②不正確，因此③正確． 6．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，則P，Q的大小關(guān)系為(　　) A．P>Q B．P＝Q C．P0，所以Pp C．p＝rq 考點(diǎn)　綜合法及應(yīng)用 題點(diǎn)　利用綜合法解決不等式問(wèn)題 答案　C 解析　易知p＝f()＝ln＝ln(ab)；q＝f＝ln；r＝[f(a)＋f(b)]＝ln(ab)． 因?yàn)?，且f(x)＝lnx是增函數(shù)， 所以f>f()， 所以q>p＝r. 12．有兩種花色的正六邊形地面磚，按下圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案，則第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是(　　) A．26B．31C．32D．36 考點(diǎn)　歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　歸納推理在圖形中的應(yīng)用 答案　B 解析　有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)如下表： 圖案 1 2 3 … 個(gè)數(shù) 6 11 16 … 由表可以看出有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)依次組成一個(gè)以6為首項(xiàng)，以5為公差的等差數(shù)列，所以第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是6＋5(6－1)＝31.故選B. 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分) 13．已知a，b，x均為正數(shù)，且a>b，則與的大小關(guān)系為_(kāi)__________．(用“<”連接) 答案　< 解析?。? ∵a>b，∴b－a<0， ∴－<0，即<. 14．函數(shù)y＝loga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，則＋的最小值為_(kāi)_______． 考點(diǎn)　綜合法及應(yīng)用 題點(diǎn)　利用綜合法解決不等式問(wèn)題 答案　8 解析　y＝loga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)A(－2，－1)． 又∵點(diǎn)A在直線mx＋ny＋1＝0上，∴2m＋n＝1. 又∵mn>0，∴m>0，n>0， ∴2m＋n＝1≥2， 當(dāng)且僅當(dāng)2m＝n＝，即m＝，n＝時(shí)取等號(hào)， ∴mn≤，∴＋＝＝≥8. 15．觀察下列圖形中小正方形的個(gè)數(shù)，則第6個(gè)圖中有________個(gè)小正方形，第n個(gè)圖中有________個(gè)小正方形． 考點(diǎn)　歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　歸納推理在圖形中的應(yīng)用 答案　28　 解析　根據(jù)規(guī)律知第6個(gè)圖形中有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28(個(gè))小正方形． 第n個(gè)圖形中有1＋2＋…＋(n＋1)＝個(gè)小正方形． 16．已知a，b，μ∈(0，＋∞)且＋＝1，則使得a＋b≥μ恒成立的μ的取值范圍是________． 答案　(0,16] 解析　由題意，得a＋b＝(a＋b) ＝10＋≥10＋2＝16， 當(dāng)且僅當(dāng)＝且＋＝1， 即a＝4，b＝12時(shí)，等號(hào)成立． 所以a＋b的最小值為16， 所以要使a＋b≥μ恒成立，只需μ≤16. 又因?yàn)棣獭?0，＋∞)，所以0<μ≤16. 三、解答題(本大題共6小題，共70分) 17．(10分)1，，2能否為同一等差數(shù)列中的三項(xiàng)？說(shuō)明理由． 考點(diǎn)　反證法及應(yīng)用 題點(diǎn)　反證法的應(yīng)用 解　假設(shè)1，，2能為同一等差數(shù)列中的三項(xiàng)，但不一定是連續(xù)的三項(xiàng)，設(shè)公差為d，則1＝－md,2＝＋nd，m，n為兩個(gè)正整數(shù)，消去d得m＝(＋1)n. ∵m為有理數(shù)，(＋1)n為無(wú)理數(shù)． ∴左邊為有理數(shù)，右邊為無(wú)理數(shù)，m＝(＋1)n不成立，矛盾． ∴假設(shè)不成立，即1，，2不可能為同一等差數(shù)列中的三項(xiàng)． 18．(12分)已知a>0，b>0,2c>a＋b，求證：c－a2＋ab，因?yàn)閍>0，所以只需證2c>a＋b. 因?yàn)?c>a＋b已知，所以原不等式成立． 19．(12分)在橢圓中，有一結(jié)論：過(guò)橢圓＋＝1(a>b>0)上不在頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)P與長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)A1，A2連線，則直線PA1與PA2斜率之積為－，類比該結(jié)論推理出雙曲線的類似性質(zhì)，并加以證明． 考點(diǎn)　類比推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　類比推理的方法、形式和結(jié)論 解　過(guò)雙曲線－＝1上不在頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)P與實(shí)軸兩端點(diǎn)A1，A2連線，則直線PA1與PA2斜率之積為. 證明如下：設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，點(diǎn)A1(a,0)，A2(－a,0)． 橢圓中：＝＝＝＝－； 雙曲線中＝＝＝. 20．(12分)某同學(xué)在研究相鄰三個(gè)正整數(shù)的算術(shù)平方根之間的關(guān)系時(shí)，發(fā)現(xiàn)以下三個(gè)式子均是正確的：①＋<2；②＋<2；③＋<2. (1)已知∈(1.41,1.42)，∈(1.73,1.74)，∈(2.23，2.24)，請(qǐng)從以上三個(gè)式子中任選一個(gè)，結(jié)合此范圍，驗(yàn)證其正確性(注意不能近似計(jì)算)； (2)請(qǐng)將此規(guī)律推廣至一般情形，并證明． 考點(diǎn)　歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn)　歸納推理在數(shù)對(duì)(組)的應(yīng)用 解　(1)驗(yàn)證①式成立：∵<1.74，∴＋<2.74， ∵>1.41，∴2>2.82，∴＋<2. (2)一般結(jié)論為：若n∈N＋， 則＋<2，證明如下： 要證＋<2， 只需證(＋)2<(2)2， 即證2n＋2＋2<4n＋4， 即證

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