2019高考數(shù)學一輪復習 第7章 不等式及推理與證明 專題研究2 數(shù)學歸納法練習 理.doc
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專題研究2 數(shù)學歸納法1在應用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n3)條時,第一步檢驗第一個值n0等于()A1B2C3 D0答案C解析邊數(shù)最少的凸n邊形是三角形2(2017山東德州一模)用數(shù)學歸納法證明12222n22n31,在驗證n1時,左邊的式子為()A1 B12C1222 D122223答案D解析當n1時,左邊122223.故選D.3用數(shù)學歸納法證明不等式1(nN*)成立,其初始值至少應取()A7 B8C9 D10答案B解析1,整理得2n128,解得n7.初始值至少應取8.4設(shè)f(n)1(nN*),那么f(n1)f(n)等于()A. B.C. D.答案D5用數(shù)學歸納法證明34n152n1(nN)能被8整除時,當nk1時,對于34(k1)152(k1)1可變形為()A5634k125(34k152k1)B3434k15252kC34k152k1D25(34k152k1)答案A解析因為要使用歸納假設(shè),必須將34(k1)152(k1)1分解為歸納假設(shè)和能被8整除的兩部分所以應變形為5634k125(34k152k1)6若數(shù)列an的通項公式an,記cn2(1a1)(1a2)(1an),試通過計算c1,c2,c3的值,推測cn_答案解析c12(1a1)2(1),c22(1a1)(1a2)2(1)(1),c32(1a1)(1a2)(1a3)2(1)(1)(1),故由歸納推理得cn.7設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,且對任意的自然數(shù)n都有:(Sn1)2anSn.(1)求S1,S2,S3;(2)猜想Sn的表達式并證明答案(1)S1,S2,S3 (2)Sn,證明略解析(1)由(S11)2S12,得S1;由(S21)2(S2S1)S2,得S2;由(S31)2(S3S2)S3,得S3.(2)猜想:Sn.證明:當n1時,顯然成立;假設(shè)當nk(k1且kN*)時,Sk成立則當nk1時,由(Sk11)2ak1Sk1,得Sk1.從而nk1時,猜想也成立綜合得結(jié)論成立8已知函數(shù)f(x)xsinx,數(shù)列an滿足:0a11,an1f(an),n1,2,3,證明:0an1an1.答案略解析先用數(shù)學歸納法證明0an1,n1,2,3,.當n1時,由已知,結(jié)論成立假設(shè)當nk時結(jié)論成立,即0ak1.因為0x0,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù)又f(x)在0,1上連續(xù),從而f(0)f(ak)f(1),即0ak11sin11.故當nk1時,結(jié)論成立由可知,0an1對一切正整數(shù)都成立又因為0an1時,an1anansinanansinan0,所以an1an.綜上所述0an1an1.9(2018保定模擬)已知f(x)xx2,設(shè)0a1,an1f(an),nN,證明:an.答案略證明(1)當n1時,0a1,不等式an成立;因a2f(a1)(a1)2,故n2時不等式也成立(2)假設(shè)nk(k2)時,不等式ak成立,因為f(x)xx2的對稱軸為x,知f(x) 在(,上為增函數(shù),所以由ak,得f(ak)f()于是有ak1.所以當nk1時,不等式也成立根據(jù)(1)、(2)可知,對任何nN,不等式an成立10已知數(shù)列an的各項都是正數(shù),且滿足:a01,an1an(4an),(nN)證明:anan12,(nN)答案略證明方法一:用數(shù)學歸納法證明:(1)當n0時,a01,a1a0(4a0),所以a0a12,命題正確(2)假設(shè)nk時命題成立,即ak1ak2.則當nk1時,akak1ak1(4ak1)ak(4ak)2(ak1ak)(ak1ak)(ak1ak)(ak1ak)(4ak1ak)而ak1ak0,所以akak10.又ak1ak(4ak)4(ak2)22.所以nk1時命題成立由(1)(2)可知,對一切nN時有anan12.方法二:用數(shù)學歸納法證明:(1)當n0時,a01,a1a0(4a0),所以0a0a12.(2)假設(shè)nk時有ak1ak2成立,令f(x)x(4x),f(x)在0,2上單調(diào)遞增,所以由假設(shè)有f(ak1)f(ak)f(2)即ak1(4ak1)ak(4ak)2(42)也即當nk1時,akak12成立所以對一切nN,有akak12.11在數(shù)列an,bn中,a12,b14,且an,bn,an1成等差數(shù)列,bn,an1,bn1成等比數(shù)列(nN*)(1)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜測an,bn的通項公式,并證明你的結(jié)論;(2)證明:.答案(1)a26,a312,a420,b29,b316,b425,ann(n1),bn(n1)2,證明略 (2)略解析(1)由條件得2bnanan1,an12bnbn1.由此可得a26,b29,a312,b316,a420,b425.猜測ann(n1),bn(n1)2.用數(shù)學歸納法證明:當n1時,由上可得結(jié)論成立假設(shè)當nk時,結(jié)論成立,即akk(k1),bk(k1)2.那么當nk1時,ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2),bk1(k2)2.所以當nk1時,結(jié)論也成立由,可知ann(n1),bn(n1)2對一切正整數(shù)都成立(2)2(n1)n.故()()().1用數(shù)學歸納法證明不等式的過程中,由nk推導nk1時,不等式的左邊增加的式子是_答案解析不等式的左邊增加的式子是,故填.2用數(shù)學歸納法證明:對任意的nN*,.答案略解析(1)當n1時,左邊,右邊,左邊右邊,所以等式成立(2)假設(shè)當nk(kN*且k1)時等式成立,即有,則當nk1時,所以當nk1時,等式也成立由(1)(2)可知,對一切nN*等式都成立3(2017湖北宜昌一中模擬)已知函數(shù)f(x)x3x,數(shù)列an滿足條件:a11,an1f(an1)試比較與1的大小,并說明理由答案1解析f(x)x21,an1f(an1),an1(an1)21.函數(shù)g(x)(x1)21x22x在區(qū)間1,)上單調(diào)遞增,于是由a11,得a2(a11)21221,進而得a3(a21)21241231.由此猜想:an2n1.下面用數(shù)學歸納法證明這個猜想:當n1時,a12111,結(jié)論成立;假設(shè)nk(k1且kN*)時結(jié)論成立,即ak2k1,則當nk1時,由g(x)(x1)21在區(qū)間1,)上單調(diào)遞增知,ak1(ak1)2122k12k11,即nk1時,結(jié)論也成立由、知,對任意nN*,都有an2n1.即1an2n,.1()n1.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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