2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 第2講 概率、隨機(jī)變量及其分布列(理)學(xué)案.docx
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第2講概率、隨機(jī)變量及其分布列考向預(yù)測(cè)1計(jì)數(shù)原理、古典概型、幾何概型的考查多以選擇或填空的形式命題,中低檔難度;2概率模型多考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、相互獨(dú)立事件、互斥事件及對(duì)立事件等;對(duì)離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的考查是重點(diǎn)中的“熱點(diǎn)”1概率模型公式及相關(guān)結(jié)論(1)古典概型的概率公式P(A)(2)幾何概型的概率公式P(A)(3)條件概率在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率:P(B|A)(4)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率:若A,B相互獨(dú)立,則P(AB)P(A)P(B)(5)若事件A,B互斥,則P(AB)P(A)P(B),P()1P(A)2獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p,那么它在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)Cpk(1p)nk,k0,1,2,n用X表示事件A在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù),則X服從二項(xiàng)分布,即XB(n,p)且P(Xk)Cpk(1p)nk3超幾何分布在含有M件次品的N件產(chǎn)品中,任取n件,其中恰有X件次品,則P(Xk),k0,1,2,m,其中mminM,n,且nN,MN,n,M,NN*,此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布超幾何分布的模型是不放回抽樣,超幾何分布中的參數(shù)是M,N,n4離散型隨機(jī)變量的均值、方差(1)離散型隨機(jī)變量的分布列為:x1x2x3xinPp1p2p3pipn離散型隨機(jī)變量的分布列具有兩個(gè)性質(zhì):pi0;p1p2pipn1(i1,2,3,n)(2)E()x1p1x2p2xipixnpn為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望或均值D()(x1E()2p1(x2E()2p2(xiE()2pi(xnE()2pn叫做隨機(jī)變量的方差(3)數(shù)學(xué)期望、方差的性質(zhì)E(ab)aE()b,D(ab)a2D()XB(n,p),則E(X)np,D(X)np(1p)X服從兩點(diǎn)分布,則E(X)p,D(X)p(1p)熱點(diǎn)一隨機(jī)變量的分布列、均值與方差【例1】(2019黃山一模)2015年11月27日至28日,中共中央扶貧開發(fā)工作會(huì)議在北京召開,為確保到2020年所有貧困地區(qū)和貧困人口一道邁入全面小康社會(huì)黃山市深入學(xué)習(xí)貫徹習(xí)近平總書記關(guān)于扶貧開發(fā)工作的重要論述及系列指示精神,認(rèn)真落實(shí)省委、省政府一系列決策部署,精準(zhǔn)扶貧、精準(zhǔn)施策,各項(xiàng)政策措施落到實(shí)處,脫貧攻堅(jiān)各項(xiàng)工作順利推進(jìn),成效明顯貧困戶楊老漢就是扶貧政策受益人之一據(jù)了解,為了幫助楊老漢早日脫貧,負(fù)責(zé)楊老漢家的扶貧隊(duì)長(zhǎng)、扶貧副隊(duì)長(zhǎng)和幫扶責(zé)任人經(jīng)常到他家走訪,其中扶貧隊(duì)長(zhǎng)每天到楊老漢家走訪的概率為14,扶貧副隊(duì)長(zhǎng)每天到楊老漢家走訪的概率為13,幫扶責(zé)任人每天到楊老漢家走訪的概率為12()求幫扶責(zé)任人連續(xù)四天到楊老漢家走訪的概率;()設(shè)扶貧隊(duì)長(zhǎng)、副隊(duì)長(zhǎng)、幫扶責(zé)任人三人某天到楊老漢家走訪的人數(shù)為X,求X的分布列;()楊老漢對(duì)三位幫扶人員非常滿意,他對(duì)別人說:“他家平均每天至少有1人走訪”請(qǐng)問:他說的是真的嗎?解()設(shè)幫扶責(zé)任人連續(xù)四天到楊老漢家走訪的事件為A,則P(A)=12121212=116,幫扶責(zé)任人連續(xù)四天到楊老漢家走訪的概率為116()隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3P(X=0)=342312=14;P(X=1)=142312+341312+342312=1124;P(X=2)=141312+142312+341312=14;P(X=3)=141312=124隨機(jī)變量X的分布列為:X0123P14112414124()E(X)=1124+12+18=1312,所以E(X)1,所以楊老漢說的是真的探究提高1求隨機(jī)變量的均值和方差的關(guān)鍵是正確求出隨機(jī)變量的分布列2對(duì)于實(shí)際問題中的隨機(jī)變量X,如果能夠斷定它服從二項(xiàng)分布B(n,p),則其概率、期望與方差可直接利用公式P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2,n),E(X)np,D(X)np(1p)求得【訓(xùn)練1】(2017西安二模)中國(guó)鐵路客戶服務(wù)中心為方便旅客購(gòu)買車票,推出三種購(gòu)票方式:窗口購(gòu)票、電話購(gòu)票、網(wǎng)上購(gòu)票,旅客任選一種購(gòu)票方式若甲、乙、丙3名旅客都準(zhǔn)備購(gòu)買火車票,并且這3名旅客選擇購(gòu)票的方式是相互獨(dú)立的(1)求這三名旅客中至少有兩人選擇網(wǎng)上購(gòu)票的概率;(2)記這三名旅客購(gòu)票方式的種數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望解(1)記“三名旅客中恰有兩人選擇網(wǎng)上購(gòu)票”為事件A,“三名旅客都選擇網(wǎng)上購(gòu)票”為事件B,且A,B互斥則P(A)C,P(B)因此,三名旅客中至少有兩人選擇網(wǎng)上購(gòu)票的概率PP(A)P(B)(2)由題意,的所有可能取值為1,2,3,則P(1)C;P(2)C;P(3)所以隨機(jī)變量的分布列為:123P故的期望E()123熱點(diǎn)二概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題【例2】(2018德州期末)在創(chuàng)新“全國(guó)文明衛(wèi)生城”過程中,某市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對(duì)創(chuàng)城工作的了解情況,進(jìn)行了一次創(chuàng)城知識(shí)問卷調(diào)查(一位市民只能參加一次),通過隨機(jī)抽樣,得到參加問卷調(diào)查的100人的得分統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示:(1)由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為,此次問卷調(diào)查的得分ZN(,198),近似為這100人得分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表),利用該正態(tài)分布,求P(382Z802);(2)在(1)的條件下,“創(chuàng)城辦”為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案:得分不低于的可以獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi),得分低于的可以獲贈(zèng)1次隨機(jī)話費(fèi);每次獲贈(zèng)的隨機(jī)話費(fèi)和對(duì)應(yīng)的概率為:現(xiàn)有市民甲參加此次問卷調(diào)查,記X(單位:元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望附:參考數(shù)據(jù)與公式:19814,若XN(,2),則P(-X+)=06826,P(-2X+2)=09544,P(-3X+3)=09974解(1)由題意得:,=662,=19814,P(662-14Z662+14)=P(522Z802)=06826,P(662-214Z662+214)=P(382Z942)=09544,P(382Z522)=12P(382Z942)-P(522Z802)=01359綜上,P(382Z802)=P(382Z522)+P(522Z802)=01359+06826=08185(2)由題意知,P(Z)=P(Z)=12,獲贈(zèng)話費(fèi)X的可能取值為20,40,50,70,100,P(X=20)=1234=38;P(X=40)=123434=932;P(X=50)=1214=18;P(X=70)=123414+121434=316,P(X=100)=121414=132;X的分布列為:EX=2038+40932+5018+70316+100132=1654探究提高本題考查統(tǒng)計(jì)與概率的綜合應(yīng)用,意在考查考生的識(shí)圖能力和數(shù)據(jù)處理能力此類問題多涉及相互獨(dú)立事件、互斥事件的概率,在求解時(shí),要明確基本事件的構(gòu)成【訓(xùn)練2】(2017全國(guó)卷改編)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件,并測(cè)量其尺寸(單位:cm)根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(,2)(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(3,3)之外的零件數(shù),求P(X1)及X的數(shù)學(xué)期望;(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(3,3)之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性;下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸:經(jīng)計(jì)算得xi997,0212,其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸,i1,2,16用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值,利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查?剔除(3,3)之外的數(shù)據(jù),用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)(精確到001)附:若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(,2),則P(3Z3)0997 4,0997 4160959 2,009解(1)由題可知尺寸落在(3,3)之內(nèi)的概率為0997 4,落在 (3,3)之外的概率為0002 6由題可知XB(16,0002 6),P(X1)1P(X0)10997 4160040 8E(X)160002 60041 6(2)如果生產(chǎn)狀態(tài)正常,一個(gè)零件尺寸在(3,3)之外的概率只有0002 6,一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中,出現(xiàn)尺寸在(3,3)之外的零件的概率只有0040 8,發(fā)生的概率很小,因此一旦發(fā)生這種情況,就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查,可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的由x997,s0212,得的估計(jì)值為997,的估計(jì)值為0212,由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在(3,3)之外,因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查剔除(3,3)之外的數(shù)據(jù)922,剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(16997922)1002因此的估計(jì)值為10021(2018全國(guó)I卷)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝,每箱200件,每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn),如檢驗(yàn)出不合格品,則更換為合格品檢驗(yàn)時(shí),先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn),再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn),設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0p1),且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p),求f(p)的最大值點(diǎn)p0(2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件,結(jié)果恰有2件不合格品,以(1)中確定的作為的值已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元,若有不合格品進(jìn)入用戶手中,則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用(i)若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn),這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X,求EX;(ii)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù),是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)?1(2017邯鄲質(zhì)檢)2017年4月1日,國(guó)家在河北省白洋淀以北的雄縣、容城、安新3縣設(shè)立雄安新區(qū),這是繼深圳經(jīng)濟(jì)特區(qū)和上海浦東新區(qū)之后又一具有全國(guó)意義的新區(qū),是千年大計(jì)、國(guó)家大事。多家央企為了配合國(guó)家戰(zhàn)略支持雄安新區(qū)建設(shè),紛紛申請(qǐng)?jiān)谛聟^(qū)建立分公司若規(guī)定每家央企只能在雄縣、容城、安新3個(gè)片區(qū)中的一個(gè)片區(qū)設(shè)立分公司,且申請(qǐng)其中任一個(gè)片區(qū)設(shè)立分公司都是等可能的,每家央企選擇哪個(gè)片區(qū)相互之間互不影響且必須在其中一個(gè)片區(qū)建立分公司向雄安新區(qū)申請(qǐng)建立分公司的任意4家央企中,(1)求恰有2家央企申請(qǐng)?jiān)凇靶劭h”片區(qū)建立分公司的概率;(2)用X表示這4家央企中在“雄縣”片區(qū)建立分公司的個(gè)數(shù),用Y表示在“容城”或“安新”片區(qū)建立分公司的個(gè)數(shù),記|XY|,求的分布列2(2017北京卷)為了研究一種新藥的療效,選100名患者隨機(jī)分成兩組,每組各50名,一組服藥,另一組不服藥一段時(shí)間后,記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù),并制成下圖,其中“*”表示服藥者,“”表示未服藥者(1)從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人,求此人指標(biāo)y的值小于60的概率;(2)從圖中A,B,C,D四人中隨機(jī)選出兩人,記為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于17的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望E();(3)試判斷這100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差的大小(只需寫出結(jié)論)1(2017成都二診)甲乙兩名同學(xué)參加定點(diǎn)投籃測(cè)試,已知兩人投中的概率分別是和,假設(shè)兩人投籃結(jié)果相互沒有影響,每人各次投球是否投中也沒有影響(1)若每人投球3次(必須投完),投中2次或2次以上,記為達(dá)標(biāo),求甲達(dá)標(biāo)的概率;(2)若每人有4次投球機(jī)會(huì),如果連續(xù)兩次投中,則記為達(dá)標(biāo)達(dá)標(biāo)或能斷定不達(dá)標(biāo),則終止投籃記乙本次測(cè)試投球的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)2(2017新鄉(xiāng)三模)為推行“新課堂”教學(xué)法,某化學(xué)老師分別用傳統(tǒng)教學(xué)和“新課堂”兩種不同的教學(xué)方式,在甲、乙兩個(gè)平行班級(jí)進(jìn)行教學(xué)實(shí)驗(yàn)為了比較教學(xué)效果,期中考試后,分別從兩個(gè)班級(jí)中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下表:記成績(jī)不低于70分者為“成績(jī)優(yōu)良”分?jǐn)?shù)50,60)60,70)70,80)80,90)90,100甲班頻數(shù)56441乙班頻數(shù)13655(1)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面22列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0025的前提下認(rèn)為“成績(jī)優(yōu)良與教學(xué)方式有關(guān)”?甲班乙班總計(jì)成績(jī)優(yōu)良成績(jī)不優(yōu)良總計(jì)附:K2,其中nabcd臨界值表:P(K2k0)01000500250010k02706384150246635(2)現(xiàn)從上述40人中,學(xué)校按成績(jī)是否優(yōu)良采用分層抽樣的方法抽取8人進(jìn)行考核在這8人中,記成績(jī)不優(yōu)良的乙班人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望參考答案1【解題思路】(1)利用獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)成功次數(shù)對(duì)應(yīng)的概率,求得f(p)=C202p2(1-p)18,之后對(duì)其求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號(hào),確定其單調(diào)性,從而得到其最大值點(diǎn),這里要注意0p0;當(dāng)p(01,1)時(shí),f(p)400,故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)1【解題思路】(1)本題是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),二項(xiàng)分布,可得P(X2);(2)依題意計(jì)算的可能取值,并計(jì)算其概率,列出分布列【答案】解(1)依題意,每家央企在“雄縣”片區(qū)建立分公司的概率為,去另外兩個(gè)片區(qū)建立分公司的概率為,這4家央企恰有2家央企在“雄縣”片區(qū)建立分公司的概率為PC(2)由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率,則P(Xk)C(k0,1,2,3,4),隨機(jī)變量的所有可能取值為0,2,4P(0)P(X2);P(2)P(X1)P(X3);P(4)P(X0)P(X4)所以隨機(jī)變量的分布列為:024P2【解題思路】(1)從圖中找出服藥的且指標(biāo)y的值小于60的人數(shù);(2)此問是超幾何分布,依題意計(jì)算的可能取值,并計(jì)算其概率,列出分布列;(3)根據(jù)圖示中數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性即可判斷方差的大小【答案】解(1)由題圖知,在服藥的50名患者中,指標(biāo)y的值小于60的有15人,所以從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人,此人指標(biāo)y的值小于60的概率為03(2)由題圖知,A,B,C,D四人中,指標(biāo)x的值大于17的有2人:A和C所以的所有可能取值為0,1,2P(0),P(1),P(2)所以的分布列為:012PE()0121(3)由圖知100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差比未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差大1【解題思路】(1) 投中2次或2次以上,記為達(dá)標(biāo),就是投中2次或投中3次;(2)應(yīng)注意連中2次終止,也可能前兩次至多中一次,第三次不中,這時(shí)可以肯定不能達(dá)標(biāo),也終止,所以應(yīng)依題意列舉所有可能情況,再確定X的可能取值,并計(jì)算其概率,列出分布列【答案】解(1)記“甲達(dá)標(biāo)”為事件A,則P(A)C(2)X的所有可能的值為2,3,4P(X2),P(X3),P(X4)所以X的分布列為:X234PE(X)2342【解題思路】(1) 完成22列聯(lián)表,并起算K2;(2)應(yīng)注意優(yōu)良中的人怎么抽和成績(jī)不優(yōu)良的乙班人數(shù)無關(guān),所以只需考慮不優(yōu)良的11人中抽取3人的情況,此時(shí)此3人可能分屬甲乙兩班,屬于超幾何分布,確定X的可能取值,并計(jì)算其概率,列出分布列【答案】解(1)由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得22列聯(lián)表:甲班乙班總計(jì)成績(jī)優(yōu)良91625成績(jī)不優(yōu)良11415總計(jì)202040根據(jù)22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),得K2的觀測(cè)值為k52275024,能在犯錯(cuò)概率不超過0025的前提下認(rèn)為“成績(jī)優(yōu)良與教學(xué)方式有關(guān)”(2)由表可知在8人中成績(jī)不優(yōu)良的人數(shù)為83,則X的可能取值為0,1,2,3P(X0);P(X1);P(X2);P(X3)X的分布列為:X0123PE(X)0123- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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- 2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 第2講 概率、隨機(jī)變量及其分布列理學(xué)案 2019 高考 數(shù)學(xué) 二輪 復(fù)習(xí) 專題 概率 隨機(jī)變量 及其 分布
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