2019屆高考數(shù)學二輪復習 專題三 第2講 空間中位置關系的判斷與證明(文)學案.docx
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第2講空間中位置關系的判斷與證明1以幾何體為載體考查空間點、線、面位置關系的判斷,主要以選擇、填空題的形式,題目難度較小;2以解答題的形式考查空間平行、垂直的證明,并常與幾何體的表面積、體積相滲透1直線、平面平行的判定及其性質(zhì)(1)線面平行的判定定理:a,b,aba(2)線面平行的性質(zhì)定理:a,a,bab(3)面面平行的判定定理:a,b,abP,a,b(4)面面平行的性質(zhì)定理:,a,bab2直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)(1)線面垂直的判定定理:m,n,mnP,lm,lnl(2)線面垂直的性質(zhì)定理:a,bab(3)面面垂直的判定定理:a,a(4)面面垂直的性質(zhì)定理:,l,a,ala熱點一空間點、線、面位置關系的判定【例1】(2018保定期末)已知是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,則的一個充分條件是( )A,B,C,D,解析由a,b是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,在A中,則a與b相交、平行或異面,故A錯誤;在B中,則a與b相交、平行或異面,故B錯誤;在C中,由,則,又,由線面垂直的性質(zhì)可知,故C正確;在D中,則a與b相交、平行或異面,故D錯誤答案C探究提高判斷與空間位置關系有關的命題真假的方法:(1)借助空間線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進行判斷(2)借助空間幾何模型,如從長方體模型、四面體模型等模型中觀察線面位置關系,結合有關定理,進行肯定或否定(3)借助于反證法,當從正面入手較難時,可利用反證法,推出與題設或公認的結論相矛盾的命題,進而作出判斷【訓練1】(2017廣東省際名校聯(lián)考)已知,為平面,a,b,c為直線,下列命題正確的是()Aa,若ba,則bB,c,bc,則bCab,bc,則acDabA,a,b,a,b,則解析選項A中,b或b,不正確B中b與可能斜交,B錯誤C中ac,a與c異面,或a與c相交,C錯誤利用面面平行的判定定理,易知D正確答案D熱點二空間平行、垂直關系的證明【例2】(2018聊城一中)如圖,在四棱錐中,平面PCD平面ABCD,(1)求證:平面PAD平面PBC;(2)求直線PB與平面PAD所成的角;(3)在棱PC上是否存在一點E使得直線平面PAD,若存在求PE的長,并證明你的結論證明(1)因為,所以,四邊形為直角梯形,,又,滿足,又,又,平面PAD平面PBC. (2)取CD的中點H,連接BH,PH,作于G,如圖,在四邊形ABCD中,所以為正方形,所以;因為平面PCD平面ABCD,平面PCD平面ABCD=CD,所以平面;所以,.因為,所以;在直角三角形中,所以,又,所以平面,所以到平面的距離等于;設直線PB與平面PAD所成的角為,則,即直線PB與平面PAD所成的角為,(3)存在為中點,即滿足條件,證明如下:取中點,連接.如圖,因為分別是的中點,所以且,所以且,即為平行四邊形,所以;因為平面,平面,所以平面,此時探究提高垂直、平行關系證明中應用轉化與化歸思想的常見類型(1)證明線面、面面平行,需轉化為證明線線平行(2)證明線面垂直,需轉化為證明線線垂直(3)證明線線垂直,需轉化為證明線面垂直(4)證明面面垂直,需轉化為證明線面垂直,進而轉化為證明線線垂直【訓練2】(2017成都診斷)如圖1,在正方形ABCD中,點E,F(xiàn)分別是AB,BC的中點,BD與EF交于點H,點G,R分別在線段DH,HB上,且將AED,CFD,BEF分別沿DE,DF,EF折起,使點A,B,C重合于點P,如圖2所示圖1圖2(1)求證:GR平面PEF;(2)若正方形ABCD的邊長為4,求三棱錐PDEF的內(nèi)切球的半徑(1)證明在正方形ABCD中,A,B,C為直角在三棱錐PDEF中,PE,PF,PD兩兩垂直又PEPFP,PD平面PEF,即,在PDH中,RGPDGR平面PEF(2)解正方形ABCD邊長為4由題意知,PEPF2,PD4,EF2,DF2SPEF2,SDPFSDPE4SDEF26設三棱錐PDEF內(nèi)切球的半徑為r,則三棱錐的體積為VPDEFPDSPEF(SPEF2SDPFSDEF)r,解得r三棱錐PDEF的內(nèi)切球的半徑為1(2017全國卷)如圖,在下列四個正方體中,A,B為正方體的兩個頂點,M,N,Q為所在棱的中點,則在這四個正方體中,直線AB與平面MNQ不平行的是()2(2016全國卷),是兩個平面,m,n是兩條直線,有下列四個命題:如果mn,m,n,那么如果m,n,那么mn如果,m,那么m如果mn,那么m與所成的角和n與所成的角相等其中正確的命題有_(填寫所有正確命題的編號)3(2016全國卷)平面過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點A,平面CB1D1,平面ABCDm,平面ABB1A1n,則m,n所成角的正弦值為()ABCD4(2018全國I卷)如圖,在平行四邊形中,以為折痕將折起,使點到達點的位置,且(1)證明:平面平面;(2)為線段上一點,為線段上一點,且,求三棱錐的體積1(2016浙江卷)已知互相垂直的平面,交于直線l若直線m,n滿足m,n,則()AmlBmnCnlDmn2(2017全國卷)在正方體ABCDA1B1C1D1中,E為棱CD的中點,則()AA1EDC1BA1EBDCA1EBC1DA1EAC3(2018全國II卷)如圖,在三棱錐中,為的中點(1)證明:平面;(2)若點在棱上,且,求點到平面的距離4(2016全國卷)如圖,四棱錐PABCD中,PA底面ABCD,ADBC,ABADAC3,PABC4,M為線段AD上一點,AM2MD,N為PC的中點(1)證明:MN平面PAB;(2)求四面體NBCM的體積1(2017梅州質(zhì)檢)已知,是兩個不同的平面,m,n是兩條不重合的直線,則下列命題中正確的是()A若m,n,則mnB若m,nm,則nC若m,n,則mnD若,n,mn,則m2如圖,在三棱錐DABC中,若ABCB,ADCD,E是AC的中點,則下列正確的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BDCC平面ABC平面BDE,且平面ADC平面BDED平面ABC平面ADC,且平面ADC平面BDE3(2017石家莊質(zhì)檢)設m,n是兩條不同的直線,是三個不同的平面,給出下列四個命題:若m,n,則mn;若,m,則m;若n,mn,m,則m;若,則其中真命題的個數(shù)是()A0 B1 C2 D34如圖,在空間四邊形ABCD中,點MAB,點NAD,若,則直線MN與平面BDC的位置關系是_5(2017石家莊模擬)在如圖所示的幾何體中,四邊形CDEF為正方形,四邊形ABCD為等腰梯形,ABCD,AC,AB2BC2,ACFB(1)求證:AC平面FBC(2)求四面體FBCD的體積(3)線段AC上是否存在點M,使EA平面FDM?若存在,請說明其位置,并加以證明;若不存在,請說明理由6.(2018全國III卷)如圖,矩形所在平面與半圓弧所在平面垂直,是上異于,的點(1)證明:平面平面;(2)在線段上是否存在點,使得平面?說明理由參考答案1【解題思路】在平面MNQ中找是否有直線與直線AB平行【答案】法一對于選項B,如圖(1)所示,連接CD,因為ABCD,M,Q分別是所在棱的中點,所以MQCD,所以ABMQ,又AB平面MNQ,MQ平面MNQ,所以AB平面MNQ同理可證選項C,D中均有AB平面MNQ因此A項不正確故選A圖(1)圖(2)法二對于選項A,其中O為BC的中點(如圖(2)所示),連接OQ,則OQAB,因為OQ與平面MNQ有交點,所以AB與平面MNQ有交點,即AB與平面MNQ不平行A項不正確故選A2【解題思路】根據(jù)題設條件構建相應的模型(可在長方體中構建)【答案】當mn,m,n時,兩個平面的位置關系不確定,故錯誤,經(jīng)判斷知均正確,故正確答案為故填3【解題思路】利用平行關系轉化m,n所成角【答案】如圖所示,設平面CB1D1平面ABCDm1,因為平面CB1D1,所以m1m,又平面ABCD平面A1B1C1D1,且平面B1D1C平面A1B1C1D1B1D1,所以B1D1m1,故B1D1m因為平面ABB1A1平面DCC1D1,且平面CB1D1平面DCC1D1CD1,同理可證CD1n故m,n所成角即直線B1D1與CD1所成角,在正方體ABCDA1B1C1D1中,CB1D1是正三角形,故直線B1D1與CD1所成角為60,其正弦值為故選A4【解題思路】(1)首先根據(jù)題的條件,可以得到,即,再結合已知條件BAAD,利用線面垂直的判定定理證得AB平面ACD,又因為AB平面ABC,根據(jù)面面垂直的判定定理,證得平面ACD平面ABC;(2)根據(jù)已知條件,求得相關的線段的長度,根據(jù)第一問的相關垂直的條件,求得三棱錐的高,之后借助于三棱錐的體積公式求得三棱錐的體積.【答案】(1)由已知可得,BAAC又BAAD,且,所以AB平面ACD又AB平面ABC,所以平面ACD平面ABC(2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=又,所以作QEAC,垂足為E,則由已知及(1)可得DC平面ABC,所以QE平面ABC,QE=1因此,三棱錐的體積為1【解題思路】構建模型再進一步證明【答案】由已知,l,l,又n,nl,C正確故選C2【解題思路】畫出其圖形,一一驗證選項【答案】如圖,由題設知,A1B1平面BCC1B1,從而A1B1BC1又B1CBC1,且A1B1B1CB1,所以BC1平面A1B1CD,又A1E平面A1B1CD,所以A1EBC1故選C3【解題思路】(1)連接,欲證平面,只需證明,即可;(2)過點作,垂足為,只需論證的長即為所求,再利用平面幾何知識求解即可.【答案】(1)因為,為的中點,所以,且連結因為,所以為等腰直角三角形,且,由知,由,知平面(2)作,垂足為又由(1)可得,所以平面故的長為點到平面的距離由題設可知,所以,所以點到平面的距離為4【解題思路】(1)取BP中點,利用中位線;(2) N點到底面的距離是P點到底面的距離的一半【答案】(1)證明由已知得AMAD2如圖,取BP的中點T,連接AT,TN,由N為PC中點知TNBC,TNBC2又ADBC,故TNAM,所以四邊形AMNT為平行四邊形,于是MNAT因為AT平面PAB,MN平面PAB,所以MN平面PAB(2)解因為PA平面ABCD,N為PC的中點,所以N到平面ABCD的距離為PA如圖,取BC的中點E,連接AE由ABAC3得AEBC,AE由AMBC得M到BC的距離為,故SBCM42所以四面體NBCM的體積VNBCMSBCM1【解題思路】根據(jù)題設條件構建相應的模型(可在長方體中構建)【答案】對于A,m,n,則mn或m,n異面,故A錯誤;對于B,若m,nm,則n或n,故B錯誤;對于C,若n,則n或n,又m,mn,故C正確;對于D,若,n,mn,則m可能與相交,也可能與平行,也可能在內(nèi),故D錯誤故選C2【解題思路】等腰三角形三線合一可得線線垂直關系【答案】因為ABCB,且E是AC的中點,所以BEAC,同理有DEAC,又BEDEE,于是AC平面BDE因為AC平面ABC,所以平面ABC平面BDE又AC平面ACD,所以平面ACD平面BDE,所以選C3【解題思路】根據(jù)題設條件構建相應的模型(可在長方體中構建)【答案】mn或m,n異面,故錯誤;易知正確;m或m,故錯誤;或與相交,故錯誤故選B4【解題思路】相似比可得平行關系【答案】由,得MNBD而BD平面BDC,MN平面BDC,所以MN平面BDC故填平行5【解題思路】(1)底面長度確定,可用勾股定理證垂直;(2) FC即為棱錐的高;(3)先利用中點找出M,再證明【答案】(1)證明在ABC中,因為AC,AB2,BC1,所以AC2BC2AB2,所以ACBC又因為ACFB,BCFBB,BC,F(xiàn)B平面FBC,所以AC平面FBC(2)解因為AC平面FBC,F(xiàn)C平面FBC,所以ACFC因為CDFC,ACCDC,所以FC平面ABCD在等腰梯形ABCD中可得CBDC1,所以FC1所以BCD的面積為S所以四面體FBCD的體積為VFBCDSFC(3)解線段AC上存在點M,且點M為AC中點時,有EA平面FDM證明如下:連接CE,與DF交于點N,取AC的中點M,連接MN因為四邊形CDEF是正方形,所以點N為CE的中點所以EAMN因為MN平面FDM,EA平面FDM,所以EA平面FDM所以線段AC上存在點M,且M為AC的中點,使得EA平面FDM成立6.【解題思路】(1)先證,再證,進而完成證明(2)判斷出為中點,證明,然后進行證明即可【答案】(1)由題設知,平面CMD平面ABCD,交線為CD因為BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM因為M為CD上異于C,D的點,且DC為直徑,所以DMCM又BCCM=C,所以DM平面BMC而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC(2)當P為AM的中點時,MC平面PBD證明如下:連結AC交BD于O因為ABCD為矩形,所以O為AC中點連結OP,因為P為AM中點,所以MCOPMC平面PBD,OP平面PBD,所以MC平面PBD- 配套講稿:
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