2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 幾個(gè)重要的不等式章末檢測(cè)試卷 北師大版選修4-5.docx
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第二章 幾個(gè)重要的不等式章末檢測(cè)試卷(二)(時(shí)間:90分鐘滿分:120分)一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)1已知m2n22,t2s28,則|mtns|的最大值為()A2B4C8D16答案B解析(m2n2)(t2s2)(mtns)2,(mtns)22816,|mtns|4.當(dāng)且僅當(dāng)msnt時(shí),等號(hào)成立2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式12(n2,nN)時(shí),第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式()A12B12C12D12答案A解析第一步驗(yàn)證n2時(shí)不等式成立,即12.3已知a,b,c為正數(shù),則(abc)的最小值為()A1B.C3D4答案D解析(abc)()2()22224,當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取等號(hào)4設(shè)a,b,c為正數(shù),ab4c1,則2的最大值是()A.B.C2D.答案B解析1ab4c()2()2(2)2()2()2(2)2(121212)(2)2,(2)23,即2,當(dāng)且僅當(dāng)ab4c時(shí)等號(hào)成立5已知數(shù)列an中,a11,a22,an12anan1(nN),用數(shù)學(xué)歸納法證明a4n能被4整除,假設(shè)a4k能被4整除,然后應(yīng)該證明()Aa4k1能被4整除Ba4k2能被4整除Ca4k3能被4整除Da4k4能被4整除答案D解析假設(shè)當(dāng)nk時(shí),即a4k能被4整除,然后應(yīng)證明當(dāng)nk1時(shí),即a4(k1)a4k4能被4整除6設(shè)a,b,c均為實(shí)數(shù),則的最大值為()A.B.C.D.答案B解析由(a22b23c2)2,即(a22b23c2)(abc)2,.7用數(shù)學(xué)歸納法證明“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN)”時(shí),從“nk到nk1”時(shí),左邊應(yīng)增加的式子是()A2k1B2k3C2(2k1) D2(2k3)答案C解析當(dāng)nk1時(shí),(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)(k1)(k2)(kk)2(2k1),2(2k1)是從nk到nk1時(shí),左邊應(yīng)增加的式子8若x,y,z是非負(fù)實(shí)數(shù),且9x212y25z29,則函數(shù)u3x6y5z的最大值為()A9B10C14D15答案A解析u2(3x6y5z)21(3x)(2y)(z)212()2()2(9x212y25z2)9981.u9.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào)二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)9用數(shù)學(xué)歸納法證明coscos3cos(2n1)(sin0,nN),在驗(yàn)證當(dāng)n1時(shí),等式右邊的式子是_答案cos解析當(dāng)n1時(shí),右邊cos.10仔細(xì)觀察下列不等式:,則第n個(gè)不等式為_(kāi)答案(nN)11觀察下列不等式:1,11,1,12,1,由此猜測(cè)第n個(gè)不等式為_(kāi)答案1(nN)解析1211,3221,7231,15241,31251,歸納第n個(gè)式子為1(nN)12設(shè)nN,f(n)5n23n11,通過(guò)計(jì)算n1,2,3,4時(shí)f(n)的值,可以猜想f(n)能被數(shù)值_整除答案8三、解答題(本大題共6小題,每小題10分,共60分)13求三個(gè)實(shí)數(shù)x,y,z,使得它們同時(shí)滿足下列方程:2x3yz13,4x29y2z22x15y3z82.解將兩個(gè)方程相加,得(2x)2(3y3)2(z2)2108,又第一個(gè)方程可變形為2x(3y3)(z2)18,由及柯西不等式,得(2x)2(3y3)2(z2)22x(3y3)(z2)2,即108182108,即柯西不等式中的等號(hào)成立所以2x3y3z26,故x3,y1,z4.14(2017江蘇)已知a,b,c,d為實(shí)數(shù),且a2b24,c2d216,證明:acbd8.證明由柯西不等式,得(acbd)2(a2b2)(c2d2),因?yàn)閍2b24,c2d216,所以(acbd)264,因此acbd8.15a,b,c都是正數(shù),求證:an(a2bc)bn(b2ac)cn(c2ab)0(n是任意正數(shù))證明設(shè)abc0,只需證an2bn2cn2anbcbncacnab.(*)由不等式的性質(zhì)知,an1bn1cn1,又abc,由排序原理,得an2bn2cn2an1bbn1ccn1a.又由不等式單調(diào)性知,abacbc,anbncn.an1bbn1ccn1aanbcbncacnab.由可得不等式(*)成立原不等式成立16用數(shù)學(xué)歸納法證明:f(n)352n123n1(nN)能被17整除證明(1)當(dāng)n1時(shí),f(1)353243911723,故f(1)能被17整除(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN)時(shí),命題成立即f(k)352k123k1能被17整除,則當(dāng)nk1時(shí),f(k1)352k323k452352k15223k15223k123k425f(k)1723k1.由歸納假設(shè)可知,f(k)能被17整除,又1723k1顯然可被17整除,故f(k1)能被17整除綜合(1)(2)可知,對(duì)任意正整數(shù)n,f(n)能被17整除17已知a,bR,nN.求證:n.證明(1)當(dāng)n1時(shí),顯然成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1,kN)時(shí),不等式成立,即k.要證nk1時(shí),不等式成立,即證k1.在k的兩邊同時(shí)乘以,得k1.要證k1,只需證,因?yàn)?(ak1bk1)(ab)(akbk)2(ak1bk1)(ak1abkakbbk1)0ak1abkakbbk10(ab)(akbk)0.又ab與(akbk)同正負(fù)(或同時(shí)為0),所以不等式(ab)(akbk)0顯然成立所以當(dāng)nk1時(shí),不等式成立綜合(1)(2)可知,對(duì)任何nN,不等式恒成立18是否存在常數(shù)a,b,c,使得等式122232342n(n1)2(an2bnc)對(duì)一切正整數(shù)成立?并證明你的結(jié)論解假設(shè)存在a,b,c,使題中等式對(duì)一切正整數(shù)成立,則當(dāng)n1,2,3時(shí),上式顯然成立,可得解得a3,b11,c10.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明等式122232342n(n1)2(3n211n10)對(duì)一切正整數(shù)均成立(1)當(dāng)n1時(shí),命題顯然成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1,kN)時(shí),命題成立,即122232342k(k1)2(3k211k10),則當(dāng)nk1時(shí),有122232k(k1)2(k1)(k2)2(3k211k10)(k1)(k2)2(k2)(3k5)(k1)(k2)2(3k25k12k24)3(k1)211(k1)10即當(dāng)nk1時(shí),等式也成立由(1)(2)可知,對(duì)任何正整數(shù)n,等式都成立- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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