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考點規(guī)范練37　空間幾何體的表面積與體積 一、基礎(chǔ)鞏固 1. 圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20π,則r=(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 答案B 解析由條件及幾何體的三視圖可知該幾何體是由一個圓柱被過圓柱底面直徑的平面所截剩下的半個圓柱及一個半球拼接而成的.其表面積由一個矩形的面積、兩個半圓的面積、圓柱的側(cè)面積的一半及一個球的表面積的一半組成. ∴S表=2r2r+212πr2+πr2r+124πr2=5πr2+4r2=16+20π,解得r=2. 2.(2018浙江,3)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積(單位:cm3)是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.2 B.4 C.6 D.8 答案C 解析由三視圖可知該幾何體為直四棱柱. ∵S底=12(1+2)2=3,h=2,∴V=Sh=32=6. 3. 如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1的六個頂點都在半徑為1的半球面上,AB=AC,側(cè)面BCC1B1是半球底面圓的內(nèi)接正方形,則側(cè)面ABB1A1的面積為(　　) A.22 B.1 C.2 D.3 答案C 解析由題意知,球心在側(cè)面BCC1B1的中心O上,BC為△ABC所在圓面的直徑,所以∠BAC=90,△ABC的外接圓圓心N是BC的中點,同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中點. 設(shè)正方形BCC1B1的邊長為x, 在Rt△OMC1中,OM=x2,MC1=x2,OC1=R=1(R為球的半徑),所以x22+x22=1,即x=2,則AB=AC=1. 所以側(cè)面ABB1A1的面積S=21=2. 4.(2018安徽江南十校聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖由矩形和等腰直角三角形組成,側(cè)視圖由半圓和等腰直角三角形組成,俯視圖的實線部分為正方形,則該幾何體的表面積為 (　　) A.3π+42 B.4(π+2+1) C.4(π+2) D.4(π+1) 答案A 解析由三視圖知幾何體的上半部分是半圓柱,圓柱的底面半徑為1,高為2,其表面積為S1=12π22+π12=3π,下半部分為正四棱錐,底面棱長為2,斜高為2,其表面積S2=41222=42,所以該幾何體的表面積為S=S1+S2=3π+42. 5.點A,B,C,D在同一個球的球面上,AB=BC=6,∠ABC=90.若四面體ABCD體積的最大值為3,則這個球的表面積為(　　) A.2π B.4π C.8π D.16π 答案D 解析由題意,知S△ABC=3,設(shè)△ABC所在球的小圓的圓心為Q,則Q為AC的中點,當(dāng)DQ與面ABC垂直時,四面體ABCD的最大體積為13S△ABCDQ=3, ∴DQ=3,如圖,設(shè)球心為O,半徑為R,則在Rt△AQO中,OA2=AQ2+OQ2,即R2=(3)2+(3-R)2,∴R=2, 則這個球的表面積為S=4π22=16π.故選D. 6.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米有(　　) A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 答案B 解析設(shè)底面圓半徑為R,米堆高為h. ∵米堆底部弧長為8尺,∴142πR=8,∴R=16π. ∴體積V=1413πR2h=112π16π25. ∵π≈3,∴V≈3209(立方尺). ∴堆放的米約為32091.62≈22(斛). 7. (2018江蘇,10)如圖,正方體的棱長為2,以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為　　　　　. 答案43 解析由題意知,多面體是棱長均為2的八面體,它是由兩個有公共底面的正四棱錐組合而成的,正四棱錐的高為1,所以這個八面體的體積為2V正四棱錐=213(2)21=43. 8.已知棱長為4的正方體被一平面截成兩個幾何體,其中一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是　　　　　. 答案32 解析由三視圖,可得棱長為4的正方體被平面AJGI截成兩個幾何體,且J,I分別為BF,DH的中點,如圖,兩個幾何體的體積各占正方體的一半,則該幾何體的體積是1243=32. 9.已知三棱錐P-ABC內(nèi)接于球O,PA=PB=PC=2,當(dāng)三棱錐P-ABC的三個側(cè)面的面積之和最大時,球O的表面積為　　　　　. 答案12π 解析由題意三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA,PB,PC兩兩互相垂直,三棱錐P-ABC的三個側(cè)面的面積之和最大,三棱錐P-ABC的外接球就是它擴展為正方體的外接球,求出正方體的體對角線的長為23,所以球O的直徑是23,半徑為3,球O的表面積為4π(3)2=12π. 10.在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90,其正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形,俯視圖是直角邊的長為1的等腰直角三角形,設(shè)點M,N,P分別是棱AB,BC,B1C1的中點,則三棱錐P-A1MN的體積是　　　　　. 答案124 解析由題意,可得直三棱柱ABC-A1B1C1如圖所示. 其中AB=AC=AA1=BB1=CC1=A1B1=A1C1=1. ∵M,N,P分別是棱AB,BC,B1C1的中點,∴MN=12,NP=1. ∴S△MNP=12121=14. ∵點A1到平面MNP的距離為AM=12, ∴VP-A1MN=VA1-MNP=131412=124. 11.(2018重慶二診)已知邊長為2的等邊三角形ABC的三個頂點A,B,C都在以O(shè)為球心的球面上,若球O的表面積為148π3,則三棱錐O-ABC的體積為　　　　　. 答案333 解析設(shè)球的半徑為R,則4πR2=148π3,解得R2=373. 設(shè)△ABC所在平面截球所得的小圓的半徑為r, 則r=23322=233. 故球心到△ABC所在平面的距離為d=R2-r2=373-43=11,即為三棱錐O-ABC的高, 所以VO-ABC=13S△ABCd=13342211=333. 12.一個幾何體的三視圖如圖所示.已知正視圖是底邊長為1的平行四邊形,側(cè)視圖是一個長為3、寬為1的矩形,俯視圖為兩個邊長為1的正方形拼成的矩形. (1)求該幾何體的體積V; (2)求該幾何體的表面積S. 解(1)由三視圖可知,該幾何體是一個平行六面體(如圖),其底面是邊長為1的正方形,高為3,所以V=113=3. (2)由三視圖可知,該平行六面體中,A1D⊥平面ABCD,CD⊥平面BCC1B1,所以AA1=2,側(cè)面ABB1A1,CDD1C1均為矩形.S=2(11+13+12)=6+23. 二、能力提升 13. 如圖,在多面體ABCDEF中,已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形,且△ADE,△BCF均為正三角形,EF∥AB,EF=2,則該多面體的體積為(　　) A.23 B.33 C.43 D.32 答案A 解析如圖,分別過點A,B作EF的垂線,垂足分別為G,H,連接DG,CH,容易求得EG=HF=12,AG=GD=BH=HC=32, 所以S△AGD=S△BHC=12221=24. 所以V=VE-ADG+VF-BHC+VAGD-BHC =2VE-ADG+VAGD-BHC =1324122+241=23. 14. (2018湖南衡陽一模)芻薨,中國古代算術(shù)中的一種幾何形體,《九章算術(shù)》中記載“芻薨者,下有褒有廣,而上有褒無廣.芻,草也.薨,屋蓋也.”翻譯為“底面有長有寬為矩形,頂部只有長沒有寬為一條棱,芻薨字面意思為茅草屋頂”.如圖為一芻薨的三視圖,其中正視圖為等腰梯形,側(cè)視圖為等腰三角形,若用茅草搭建它,則覆蓋的面積至少為 (　　) A.65 B.75 C.85 D.95 答案C 解析由題意,得茅草覆蓋面積即為幾何體的側(cè)面積. 由題意可知,該幾何體的側(cè)面為兩個全等的等腰梯形和兩個全等的等腰三角形.其中,等腰梯形的上底長為2,下底長為4,高為22+12=5;等腰三角形的底邊長為2,高為22+12=5.故側(cè)面積為S=212(2+4)5+21225=85. 即需要茅草覆蓋的面積至少為85,故選C. 15.(2018全國Ⅲ,文12)設(shè)A,B,C,D是同一個半徑為4的球的球面上四點,△ABC為等邊三角形且其面積為93,則三棱錐D-ABC體積的最大值為(　　) A.123 B.183 C.243 D.543 答案B 解析 由△ABC為等邊三角形且面積為93,設(shè)△ABC邊長為a, 則S=12a32a=93. ∴a=6,則△ABC的外接圓半徑r=3223a=23<4. 設(shè)球的半徑為R,如圖,OO1=R2-r2=42-(23)2=2. 當(dāng)D在O的正上方時,VD-ABC=13S△ABC(R+|OO1|)=13936=183,最大.故選B. 16. 如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點E,F分別在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,過點E,F的平面α與此長方體的面相交,交線圍成一個正方形. (1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由); (2)求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值. 解(1)交線圍成的正方形EHGF如圖: (2)作EM⊥AB,垂足為M, 則AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8. 因為EHGF為正方形,所以EH=EF=BC=10. 于是MH=EH2-EM2=6,AH=10,HB=6. 因為長方體被平面α分成兩個高為10的直棱柱,所以其體積的比值為兩棱柱底面積之比,即9779也正確. 三、高考預(yù)測 17.已知球的直徑SC=4,A,B是該球球面上的兩點,AB=3,∠ASC=∠BSC=30,則棱錐S-ABC的體積為(　　) A.33 B.23 C.3 D.1 答案C 解析如圖,過A作AD垂直SC于D,連接BD.因為SC是球的直徑, 所以∠SAC=∠SBC=90. 又∠ASC=∠BSC=30, 又SC為公共邊,所以△SAC≌△SBC. 因為AD⊥SC,所以BD⊥SC. 由此得SC⊥平面ABD. 所以VS-ABC=VS-ABD+VC-ABD=13S△ABDSC. 因為在Rt△SAC中,∠ASC=30,SC=4, 所以AC=2,SA=23. 由于AD=SACASC=3. 同理在Rt△BSC中也有BD=SBCBSC=3. 又AB=3,所以△ABD為正三角形. 所以VS-ABC=13S△ABDSC =1312(3)2sin604=3,故選C.